LIBRO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TEORÍA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA
PROBLEMA#436 Se está planeando la construcción de salas gemelas en un moderno proyecto de centro comercial. Cada sala
tendrá capacidad de 150 clientes. Los arquitectos del centro comercial se encuentran decidiendo el número de ventanillas de
atención. En las horas punta, los cines deben iniciar sus funciones cada 10 minutos, cubriendo con al menos una capacidad del
80% de la sala. Deberá tenerse en cuenta que los clientes compran sus entradas por pareja.
Suponiendo que los tiempos entre arribos y el servicio son aleatorios, con un tiempo promedio del servicio de 1 minuto, ¿cuál
deberá ser el número mínimo de ventanillas a construir, si el tiempo que debe pasar un cliente en la compra de su entrada, no
excederá de 1 minuto con 30 segundos?
SOLUCION
Datos: 1 cliente se cuenta por pareja; capacidad de la sala 150 personas; debe estar lleno la sala al menos el 80%.
clientes potenciales
2
intervalo
150 clientes ∗ (0, 80)
2
10 minutos
60 clientes
k = # de ventanillas? ; λ =
=
= = 6 clientes por minuto.
10 minutos
λ = 6 clientes 60 minutos
1
∗ = 360 personas por hora; = 1 minuto ↔ 1 = 1minuto(μ) ↔ μ = 60 personas por hora.
minuto 1 hora
μ
Tambien podemos trabajar en minutos: λ = 6 personas por minuto(llegada); μ = 1 persona cada minutos(servicio)
W =
( λ μ ) k
(μ)
∗ (p o
) + 1 μ ❺ ↔ W = W q + 1 ❺ = 1 minuto y 30 segundos, estará en el sistema.
μ
(k − 1)! (k ∗ μ − λ) 2
[
]
λ
Comprabar:
k ∗ μ ≤ 1 ↔ 6
6 ∗ 1 ≤ 1;
6
7 ∗ 1 ≤ 1;
6
≤ 1; entones: k deberá ser mayor a 6; k = 7, 8, 9, 10, . . ,.
8 ∗ 1
a) Para k = 7 ventanillas
1
p o =
( λ μ
[∑
)n ( λ ⓿ =
k−1
μ )k k ∗ μ
n=0
]
n!
+ [
k!
(
k ∗ μ − λ )] [ (6 1 )0
0! ] + (6 1 )1
1!
p o =
1
1 + 6 + 18 + 36 + 54 + 324
5
+ 324
5
+ 1944
5
+ (6 1 )2
2!
+ (6 1 )3
3!
JULIO VARGAS HERBAS*350
1
+ (6 1 )4
4!
= 1 = 5 ≅ 0, 0016 ≅ 0, 16%
3167 3167
5
+ (6 1 )5
5!
+ (6 1 )6
6!
+ [ (6 1 )7
7!
=
7 ∗ 1
(
7 ∗ 1 − 6 )]
( λ k
μ ) (μ)
W =
(k − 1)! (k ∗ μ − λ) 2 ∗ (p o ) + 1 μ ❺ = [
( 6 7
1 ) (1)
(7 − 1)! (7 ∗ 1 − 6) 2] ∗ ( 5
3167 ) + 1 1 = 1944 + 1 = 1, 61 minutos en el sistema.
3167
[
]
b) Para k = 8 ventanillas
1
p o =
( λ n
μ ) ( λ ⓿ =
k
k−1
μ ) k ∗ μ
[∑
n=0 ] + (
n! k! k ∗ μ − λ )
[
]
1
p o =
1 + 6 + 18 + 36 + 54 + 324
5
+ 324
5
[ (6 1 ) 0
0!
] + (6 1 ) 1
1!
+ (6 1 ) 2
2!
+ 1944
35
+ 5832 =
35
+ (6 1 ) 3
3!
+ (6 1 ) 4
4!
1
+ (6 1 ) 5
5!
+ (6 1 ) 6
6!
+ (6 1 ) 7
7!
1
= 35 ≅ 0, 0021 ≅ 0, 21%
16337 16337
35
=
8
+ [ (6 1 ) 8 ∗ 1
(
8! 8 ∗ 1 − 6 )]
( λ k
μ ) (μ)
W =
(k − 1)! (k ∗ μ − λ) 2 ∗ (p o ) + 1 μ ❺ = [
( 6 8
1 ) (1)
(8 − 1)! (8 ∗ 1 − 6) 2] ∗ ( 35
16337 ) + 1 1 = 2916 + 1 = 1, 18 minutos en el sistema.
16337
[
]
c) Para k = 9 ventanillas
1
p o =
( λ n
μ ) ( λ ⓿ =
k
k−1
μ ) k ∗ μ
[∑
n=0 n!
] + [ (
k! k ∗ μ − λ )]
[ (6 1 ) 0
0!
] + (6 1 ) 1
1!
+ (6 1 ) 2
2!
+ (6 1 ) 3
3!
+ (6 1 ) 4
4!
1
+ (6 1 ) 5
5!
+ (6 1 ) 6
6!
+ (6 1 ) 7
7!
+ (6 1 ) 8
8!
=
9
+ [ (6 1 ) 9 ∗ 1
9!
(
9 ∗ 1 − 6 )]
1
1
p o =
1 + 6 + 18 + 36 + 54 + 324
5
+ 324
5
+ 1944
35
+ 1458
35
+ 2916 = = 35 ≅ 0, 0024 ≅ 0, 24%
14879 14879
35 35
W =
972 15851
+ 1 = = 1, 065 minutos en el sistema.
14879 14879
Se observa que con 8 ventanillas es menor el tiempo que espera que el de 1 minuto y 30 segundos que tenía que esperar en
comprar su boleto, si tenemos 8 ventanillas tendrá que esperar solamente 1,18 minutos o 1 minutos y 11 segundos.