LIBRO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TEORÍA DE JUEGOS
d − b
y 1 =
a + d − b − c = 3 − (−1)
2 + 3 − (−1) − (−2) = 4 8
a − c
y 2 =
a + d − b − c = 2 − (−2)
2 + 3 − (−1) − (−2) = 4 = 4 8 + 4 8 = 8 = 1; la probabilidades 1 o 100%, siempre.
8
8 }
a ∗ d − b ∗ c
v =
a + d − b − c = 2(3) − (−1)(−2) 6 − 2
=
2 + 3 − (−1) − (−2) 8
= 4 8 = 1 ; ganó la fila, en inversionista AA ganó.
2
SOLUCIÓN DE UN JUEGO MATRICIAL POR EL MÉTODO SIMPLEX
Para resolver un juego matricial a través por el método simplex, los coeficientes de la matriz siempre de trabajan con positivos,
el es -10 entonces nuestro k = 11.
si en la matriz numero negativo
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n
A ∗ = { a 21 a 22 a 23 . . .
a 31 a 32 a 33 . . .
a 2n }
a 3n
Podemos formar la tabla inicial del simplex.
a 11 a 12 a 13 ………. a 1n 1 0 0 0 ………. ………. 0 1
a 21 a 22 a 23 ………. a 2n 0 1 0 0 ………. ………. 0 1
a 31 a 32 a 33 ………. a 3n 0 0 1 0 ………. ………. 0 1
a 41 a 42 a 43 ………. a 4n 0 0 0 1 ………. ………. 0 1
………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. 1
………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. 1
a m1 a m2 a m3 ………. a mn 0 0 0 0 ………. ………. 1 1
-1 -1 -1 ………. -1 0 0 0 0 0 0 0 0
P 0 = 1 v ∗ Q; Q0 = 1 v ∗ P; v = 1 v ∗ − k
PROBLEMA#450 Considere el siguiente juego matricial de 2x3. Donde las filas son los hombres y en columna las mujeres.
3 −1 0
A = { } ; Encontrar el valor del juego.
−2 1 −1
SOLUCION
Vemos en la matriz de juegos el más pequeño negativo es -2 con que número vuelvo positivo con k = 3 y sumar a toda matriz.
3 −1 0
A = {
−2 1 −1 } → agregamos k = 3, a cada entrada de A: 6 2 3
A∗ = { } ; con esta matriz vamos a trabajar.
1 4 2
Tabla inicial del simplex.
θ VB P 1 P 2 P 3 Q 1
Q 2
b j
1/3 Q 1
6 2 3 1 0 1
1/2 Q 2
1 4 2 0 1 1
FO -1 -1 -1 0 0 0
θ VB P 1 P 2 P 3 Q 1
Q 2
b j
1/2 P 3
2 2/3 1 1/3 0 1/3
1/8 Q 2
-3 8/3 0 -2/3 1 1/3
FO 1 -1/3 0 1/3 0 1/3
θ VB P 1 P 2 P 3 Q 1
Q 2
b j
P 3
11/4 0 1 1/2 -1/4 1/4
P 2
-9/8 1 0 -1/4 3/8 1/8
FO 5/8 0 0 1/4 1/8 3/8
Ahora sacamos los datos de la tabla óptima del simplex.
P = (P 1 , P 2 , P 3 ) = (0, 1 8 , 1 4 ) ;
P 0 = 1 v ∗ Q = 1 ( 1 3 4 ; 1 8 ) = 8 3 (1 4 ; 1 8 ) = ( 8
12 ; 8
24 ) = ( 8
12 + 8
24 ) = 1;
8
Q = (Q 1, Q 2 ) = ( 1 4 , 1 8 ) ; v∗ = 3 ; k = 3
8
JULIO VARGAS HERBAS*375
Q0 = 1 v ∗ P = 1 (0, 1 3 8 , 1 4 ) = 8 3 (0, 1 8 , 1 8
) = 0 +
4 24 + 8
12 = 1
8
v = 1 v ∗ − k = 1 − 3 = 8 8 − 9
− 3 =
3 3 3
= − 1 ganan las columnas, en este caso ganaron las mujeres a los hombres.
3
8
Otra manera de determinar el valor del juego:
3 −1 0
0
A = { } ; la columana mayor desaparece: A = {−1 } ; a = −1; b = 0;
−2 1 −1 1 −1
c = 1; d = −1
a ∗ d − b ∗ c
v =
a + d − b − c =
(−1)(−1) − (0)(1)
−1 + (−1) − (0) − (1) = − 1 ; ganan las columnas.
3