Algebra, teoria primer

P(
t)
Q(
t)
t
P(
t)
Q(
t)
t
P(
t)
Q(
t)
P(
t)
tQ(
t)
1
2
3
2
2t
t
2
2t
1
Obs. –
(1) Les operacions anteriors verifiquen les propietats habituals d’associativitat,
distributivitat, etc., de manera que (1) + (2) donen estructura de “espai vectorial” i
amb (3), de “anell commutatiu”.
(2) És immediat que:
gr(
P Q)
grP grQ
gr( P Q)
max( grP,
grQ)
, si grP grQ
gr( P Q)
max( grP,
grQ)
, si grP grQ
2.2.- Determinació de polinomis.
Per definició, els coeficients p
0
, p1,...,
pn
determinen unívocament un
polinomi P( t) K
n
t
. Veurem més endavant (fórmula de Taylor) que també ho fan el
valor de P(t) i de les seves primeres n derivades, en un punt qualsevol.
Assenyalem ara que queda igualment determinat pel seu valor en n+1 punts.
Prop. (determinació pel valor en n+1 punts) –
(1) Existeix un únic polinomi P t) K t
( amb valors prefixats en n+1 punts diferents:
n
P( a0 ) b0
, ( a ) b 1 1
P , ..., P(
a n
) bn
(2) En particular:
t
P(
t),
Q(
t) K
n
mateix valor en n+1 punts diferents
P( t)
Q(
t)
Obs. –
(1) Els coeficients de P(t) poden calcular-se mitjançant un sistema d’equacions. Així,
2
per n 2 , P( t)
p p t p t queda determinat pel sistema
0
1
2
2.2