Algebra, teoria primer

22 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
• sumar a una fila un múltiple d’una altra.
(2) Una matriu es diu r-esglaonada per files si és de la forma
(c 1 ) (c 2 ) (c r )
∗ ... ... ... ... ...
∗ ... ... ...
...
∗ ...
0
✻
r
❄
on ∗ indica escalars no nuls, situats en els ”esglaons”. Les columnes corresponents c 1 ,c 2 ,...,
s’anomenen columnes pivot.
(3) Es diu r-esglaonada reduïda si les columnes pivot estan formades per 0, excepte un 1 en la posició
∗.
Observació. Anàlogament es poden considerar transformacions elementals per columnes, formes esglaonades
per columnes, etc.
Exemples.
⎛
(1) A = ⎝
⎛
(2) B = ⎝
1 0 1 0 3
0 0 2 6 4
0 0 0 0 0
⎞
0 1 0 1 2 4
0 0 2 0 5 6
0 0 0 0 3 4
⎠ és 2-esglaonada, essent les columnes pivot les 1 i 3.
⎞
⎠ és 3-esglaonada, essent les columnes pivot les 2, 3 i 5.
Proposició. Tota matriu pot transformar-se mitjançant pivot per files en una esglaonada per files (més
encara, reduïda).
Exemple.
⎛
⎝
1 0 1 0 3
1 0 3 6 7
2 0 4 6 10
Matlab/Octave.
⎞
⎠
∼
II − I
III − 2I
∼
(1/2)II:
}
⎛
⎝
⎛
⎝
1 0 1 0 3
0 0 2 6 4
0 0 2 6 4
1 0 1 0 3
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
(1) rref(A) dona la forma esglaonada reduïda de A.
⎞
⎠
⎞
∼
III−II:
⎛
⎝
I−II:
⎠ ∼
⎛
⎝
1 0 1 0 3
0 0 2 6 4
0 0 0 0 0
1 0 0 −3 1
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
⎞
⎠ = A
⎞
⎠ = A red