Algebra, teoria primer

16 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
Matlab/Octave. Cal alertar que la comanda exp(A) NO(!) dona l’expressió anterior, sinó simplement
la que resulta d’aplicar la funció exp a cada coeficient de la matriu. Per exemple, amb A com abans
donaria:
( ) e
αλ
1
exp(A) =
e α e αλ .
Anàlogament per a sin(A), cos(A), ... .
3.9 Càlcul matricial per a matrius de Jordan
Proposició (càlcul per blocs).
(1) Per al càlcul de potències, és vàlid operar per blocs:
( ) k (
A1 0 A
k
= 1 0
0 A 2 0 A k 2
)
.
(2) Igualment per a les combinacions polinomials, exponencial,...
Corol·lari (càlcul per a matrius diagonals). Per a matrius diagonals resulta simplement:
(1)
⎛
⎜
⎝
λ 1
⎞k
⎛
. ..
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
λ n
λ k 1
⎞
⎟
⎠ .
. ..
λ k n
(2)
e
⎛
⎝
λ 1
. ..
λ n
⎞
⎠
=
⎛
⎜
⎝
e λ 1
. ..
e λn ⎞
⎟
⎠ .
(3) Anàlogament per a inverses, arrels, sinus, etc.
Proposicions (càlcul per a blocs nilpotents). Per a un bloc nilpotent N = N(n):
(1) Les potències resulten:
⎛
⎞
0
0
1 0
.
N =
.. . ..
=⇒
⎜
⎝ 1 0
⎟
⎠
0 1 0
⎛
0
⎞ ⎛
0
0 0
N 2 1 0 0
=
1 0 0
, N 3 =
⎜ .
⎝ .. . .. . .. ⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 1 0 0
0
0
0 0
0 0 0
1 0 0 0
. .. . .. . .. . ..
0 1 0 0 0
⎞
, ...
⎟
⎠