Algebra, teoria primer

(2) grQ grP grD .
Def. – En les condicions anteriors, si R(t) = 0, es diu que D divideix P. També que D és
un divisor de P, o que P és múltiple de D.
2.4.- Fórmula de Taylor.
n
n
Donat P( t) K
n
t , si dividim successivament per ( t a)
,( t a)
1 , , t a , on a K
qualsevol, resulta:
n
P(
t)
( t a)
R
R
n1
1
0
( t)
( t a)
0
n1
R ( t)
( t a)
R
R ( t)
1
n
n1
0
n1
( t)
( t)
R
n2
( t)
Recopilant:
Prop. (fórmula de Taylor) –
(1) Per tot P t) K t
( , a K , existeixen , K
n
n
1
,
0
P( t)
t a t a
t a
n
n1
n
( )
n1 ( )
1(
)
0
(2) De forma més precisa:
P(
a)
P
( a)
0
P(
a)
,
1
,
2
, ...,
n
1! 2!
D n P(
a)
n!
Obs. –
n
n 1
(1) En termes d’espais vectorials, (1) diu que ( t a)
,( t a)
, ,( t a),
1 generen
K n
t , i per tant en són una base.
Aleshores, (2) especifica les coordenades de P(t) en aqueixa base.
(2) Des d’un punt de vista empíric, la fórmula de Taylor assegura que, si un fenomen
depèn polinomialment del temps, el coneixement profund de les seves propietats en
un instant t=a permet predir amb precisió la seva evolució futura
2.4