Algebra, teoria primer

26 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
(1) El determinant d’una matriu triangular és el producte dels elements de la diagonal principal:
a 1 1 ∗ ∗ ... ∗
0 a 2 2 ∗ ... ∗
... ... ... ... ...
= a 1 1 a2 2 ...an n .
∣
0 0 0 ... a n ∣
n
(2) Anàlogament per a matrius triangulars per blocs:
⎛
det⎜
⎝
A 1 1 ∗ ∗ ... ∗
0 A 2 2 ∗ ... ∗
... ... ... ... ...
0 0 0 ... A m m
⎞
⎟
⎠ = det(A1 1)(det A 2 2)... (det A m m).
Exemple.
⎛
⎞
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
det
0 0 11 12 13
= (1·7−6·2)(11·15·19+14·18·13+17·12·16−11·18·16−14·12·19−17·15·13)
⎜
⎟
⎝ 0 0 14 15 16 ⎠
0 0 17 18 19
Matlab/Octave. El determinant d’una matriu s’obté directament amb la comanda det( ).
3.17 Aplicacions geomètriques
Observación. Els determinants tenen àmplia utilització en geometria. Per exemple:
(1) Producte vectorial en R 3
Donats dos vectors de R 3 :
v = (a, b, c), v ′ = (a ′ , b ′ , c ′ )
el seu producte vectorial és
(∣ ∣ ∣∣∣
v ∧ v ′ b c ∣∣∣ =
b ′ c ′ , −
∣ a c
∣ ∣∣∣ a ′ c ′ ,
∣ a b
∣)
∣∣∣
a ′ b ′ ,
o més esquemàticament
⎛
v ∧ v ′ = det⎝
⎞
e 1 e 2 e 3
a b c ⎠ .
a ′ b ′ c ′
(2)
Àrees, volums, ...
Per a n = 2, l’àrea del triangle de vèrtexs (0,0), (a,b) i (a ′ ,b ′ ) és:
( ) a b
det
a ′ b ′ .