Algebra, teoria primer

20 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
i cada estat inicial x(0), una successió (vectorial) d’estats
x(1) = Ax(0) + Bu(0)
x(2) = Ax(1) + Bu(1) = Ax(0) + ABu(0) + Bu(1)
...
D’aquí que en la ”teoria de control lineal” jugui un paper clau la successió (matricial) de Kalman
C(k) = (B, AB, ..., A k−1 B).
També es generalitzen a matrius (en particular, a vectors) les habituals funcions escalars dependents
d’una variable contínua t ∈ R:
Definicions.
(1) Una funció a valors matricials (en particular, vectorials) és una aplicació que a cada t ∈ R fa
correspondre una matriu A(t).
(1’) Equivalentment, és una ”matriu de funcions” en el sentit que cada coeficient de A(t) és alhora
una funció (escalar) a ij (t):
( )
a11 (t) ...
A(t) =
.
... ...
(2) Els conceptes de límit, continuïtat, derivada, ... es generalitzen aplicant-ho a cada funció a ij (t).
Exemples.
(1) lim
0
⎛
⎝
⎞
sin t (
t ⎠ 1
=
t ln t 2 0
( sin t e
t
(2) D
1 ln(t 2 + 1)
Observacions.
)
.
⎛
)
= ⎝ cos t
0
et
2t
t 2 + 1
⎞
⎠.
(1) Les regles de derivació es generalitzen de forma natural, sempre tenint ben present la no commutativitat
del producte de matrius (en general):
D(A(t)B(t)) =
D(A(t) 3 ) =
D(A(t)) −1
(2) En particular, per a funcions vectorials:
Ȧ(t)B(t) + A(t)Ḃ(t)
Ȧ(t)(A(t))2 + A(t) A(t)A(t) ˙ + (A(t)) 2 A(t) ˙
= −(A(t)) −1 Ȧ(t)(A(t)) −1
D〈v(t), w(t)〉
D(v(t) ∧ w(t)) =
= 〈˙v(t), w(t)〉 + 〈v(t), ẇ(t)〉
˙v(t) ∧ w(t) + v(t) ∧ ẇ(t)