Algebra, teoria primer

6 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
(1’) En particular, si λ = 0 se’n diuen blocs nilpotents:
⎛
⎞
0 0
1 0
N(n) = J 0 (n) =
1 . . .
.
⎜
⎝
. ..
⎟
0 ⎠
0 1 0
(2) Se’n diuen matrius de Jordan les diagonals per blocs de Jordan (amb possiblemet diferents
grandàries i elements diagonals).
Observacions.
(1) Veurem de seguida que els blocs nilpotents tenen nul·la la seva potència n-èsima. D’aquí la seva
denominació.
(2) Casos particulars especialment importants de matrius de Jordan són:
- les matrius diagonals: tots els blocs de Jordan tenen grandària 1
- les matrius no-derogatòries: els coeficients diagonals de cada bloc són diferents
(3) Les matrius de Jordan jugaran un paper clau en la simplificació de matrius: veurem que tota
matriu quadrada pot reduir-se a una de Jordan (anomenada la seva ”forma canònica de Jordan”).
Matlab/Octave. Els blocs nilpotents i de Jordan poden construir-se fàcilment amb:
N(n) = diag (ones (1,n-1),-1)
J λ (n) = λ ∗eyes (n) + N(n)
Definició. Les matrius de Vandermonde són les de la forma
⎛
V (a 0 ,... ,a n ) =
on a 0 ,... a n són escalars diferents.
Exemples.
(1) Determinem una paràbola
⎜
⎝
1 a 0 (a 0 ) 2 ... (a 0 ) n ⎞
1 a 1 (a 0 1) 2 ... (a 1 ) n
⎟
... ... ... ... ... ⎠
1 a n (a n ) 2 ... (a n ) n
P(t) = α + βt + γt 2
que per a t = 2,3,4, valgui 3,6,11, respectivament. Cal resoldre el sistema:
⎫
α + 2β + 4γ = 3 ⎬
α + 3β + 9γ = 6
⎭
α + 4β + 16γ = 11