Algebra, teoria primer

Tema 1

Nombres Complexos

1.1, 1.2. – Forma binòmica.

En l’espai vectorial

2 s’identifica

2 : a (a, 0)

i es considera un “producte intern”

( a,

b)

( a

, b)

( aa

bb,

ab

ba)

que generalitza el “producte per escalars reals”

a ( a

, b)

( a,

0)( a,

b)

( aa,

ab)

És commutatiu, distributiu respecte a la suma, té neutre 1 (1, 0)

i hi ha invers de cada

element. (Dels conjunts dotats d’operacions “suma” i “producte” amb aquestes

propietats, se’n diuen “cossos”). Igualment es verifica la relació fonamental

( 0, 1)(0, 1) ( 1,

0) 1

Aquestes propietats motiven les definicions següents:

Def. –

(1) Denotem

1 (1, 0) ; i

(0, 1)

amb la qual cosa els elements de

2 poden representar-se en la forma

( a,

b)

a bi

anomenada forma binòmica.

(2) S’anomena cos dels nombres complexos, C, al format pels elements

z a bi

amb la suma habitual i el producte anterior, que amb aquesta notació resulten

1.1

( a bi)

( a

bi)

( a a)

( b b)

i

( a bi)

( a

bi)

( aa

bb)

( ab

ba)

i

(2’) Destaquem especialment:

2

1 z z ; i 1

(3) Amb la notació anterior, a, b s’anomenen respectivament la seva part real i part

imaginària

a R(z) , b I(z)

(3’) El complex conjugat és

z

a bi

Obs.- La denominació històrica de “nombres imaginaris” als de la forma (0,a)=ai

sembla respondre a la propietat de tenir quadrat negatiu. Tanmateix, cal evitar

prejudicis: geomètricament, els “nombres reals” es representen sobre l’eix

horitzontal de pla i els “nombres imaginaris” sobre el vertical, sense més

distincions; en enginyeria, els corrents continus es representen per nombres reals i

els alterns per nombres complexos, amb propietats i manipulacions totalment

anàlogues, com veurem.

Exem. – Amb les regles anteriors les operacions amb complexos resulten senzilles:

(1)

1 2 i 2 i

2 i (2 i)(2

i)

5

1 a bi

(1’) En general:

2 2

a bi a b

2

i 1

2i

i(2

i)

(1 2i)(2

i)

(2)

2

2

2 i (2 i)

(2 i)(2

i)

i(3

4i)

5i

(4 2i)

2

5(2 i)

5(2 i)

5

2

3

(3) 1

(1 2i

) (1 2i)

(1 2i)

4

1

(1 2i)

1

(1 2i)

1

(1 8i

24 32i

16)

2i

i

(8

2

24i)

12

4i

(4) Resolem l’equació de segon grau

z

2

(4 2i)

z 3 6i

0

1.2

de forma anàloga a les de coeficients reals:

4 2i

z

2 i

2i

2

(4 2i)

4(3 6i)

4 2i

2

2

3

2 i (1 i)

1

2i

8i

Obs. – Algunes relacions relatives a la conjugació:

z z

z z

; zz

z z

z z 2a

; z z 2bi

zz a

2

b

2

;

z

z

a

a

2

2

b

b

2

2

1.3, ..., 1.5. – Forma exponencial.

La relació

e i

cos

i sin

motiva la definició següent:

Def. – Essent

z a bi C:

(1) S’anomenen el seu mòdul i el seu argument:

z

a

2

b

2

arg z 2n

, n : cos

a

z

, sin

b

z

(2) Amb això z pot escriure’s en la seva forma exponencial:

z

z

i

e

Obs. –

(1) Resulta útil la representació gràfica:

1.3

(2) Sovint es tria un valor principal de l’argument, restringint-nos a un interval de

llargària 2 :

(2’) En particular:

0 arg z 2 , ó arg z , ó ...

arg z , si a 0

b

arg z arctg , si a 0 , b 0

a

b

arg z arctg , si a 0 , b 0

a

Exem. –

i

3

i

i 0 i2

2

i

2

(1) 1 e e ; i e ; 1

e ; i e

1

i

1

i

2e

i

4

3 2e

3 i 2e

i

3

i

6

(2) La forma exponencial és més útil que la binòmica per a productes, quocients i

potències:

100

i

100

4

50 i25

50 i

( 1

i ) 2e

2 e 2 e

1

25

i 25

1 2

25 6

3 i 2 e

i

i

5 6 3 5 6 4

2 e 2 e 2 (

20

i 20

i 3 20 3

2 e

1

2

50

3 i)

(2’) En particular obtenim la coneguda fórmula de Moivre:

(cos

i sin)

k

( e

)

i

k

e

ik

cos( k)

i sin( k)

1.4

(3) En canvi, per la suma cal passar a la forma binòmica:

e

i

3

e

i

6

1

i

2

3

3 i

2

1

2

3 1

3

(1 i)

e

2

i

4

Aplicació. – Representació complexa dels corrents alterns

El tractament dels corrents continus es generalitza als corrents alterns simplement

substituint la representació real de les magnituds elèctriques per una representació

complexa. Per tal d’evitar confusions, s’empra el símbol j en lloc del i (el qual es

reserva per a la intensitat de corrent).

(1) Concretament, les magnituds elèctriques en corrents alterns tenen la forma

cosinuidal

m ( t)

2M

cos( t

)

on M és el valor eficaç i la fase. La freqüència és constant en cada país.

A cadascuna s’associa el fasor complex

i

M Me

(2) Per exemple, els fasors de les tensions bàsiques (= fase / neutre) d’un trifàsic tenen

la forma

amb el mateix mòdul i arguments 0, 120º i 240º.

Les operacions algebraiques complexes permeten demostrar trivialment que

U

A

U

B

U

C

0

o calcular les tensions compostes (= fase / fase)

U

AB

U

A

U

, B

En particular:

1.5

U

AB

3 U A

que correspon aproximadament a les relacions 125/220, 220/380 habituals en usos

domèstics.

(3) Les lleis de Kirchoff (per corrents i voltatges respectivament) resulten simplement:

k

U

k

(KCL) I 0 , en cada nus

(KVL) 0 , en cada malla

ara amb la suma de nombres complexos.

(4) També generalitza la llei de Ohm:

(Ohm)

U

k

I

k

Z

k

, en cada branca

on Z

k

s’anomena la impedància (complexa) de la branca.

En el cas de resistències tenim

Com que

u ( t)

Ri(

t)

U RI

Z R

R

m

( t)

jm(

t)

en el cas de condensadors i bobines obtenim respectivament:

(4’) Així, per un circuit R-L-C com el de la figura

resulta

1

Z RLC

R j

L

C

1.6

(5) Calculem la capacitat C que, connectada en paral·lel a la impedància inicial Z d’un

circuit

fa que la impedància composta sigui real, condició que optimitza el rendiment

energètic del circuit (anul·la l’anomenada “potència reactiva”, i per tant maximitza

la “activa”).

Si denotem:

- Z

C

: la impedància composta, resultat d’afegir C en paral·lel a la Z inicial.

- i 1

: el corrent per Z.

- i 2

: el corrent per C.

- U : la tensió aplicada.

les lleis de Kirchoff i de Ohm donen:

Per tant:

Z C

U

( I

Z

U

I

1

1

1

U

jC

I

I

2

2

)

1

Z C

1

Z

1

jC

Aleshores

1

Z

C

En definitiva:

1

I

Z

Z C

1 Z

I

jC

Z

1

j

C

Z

1

I(

Z)

0

2 2

1

C

1

C

Z

I(

Z)

2

1.7

on I(.) indica “part imaginària”.

1.6. – Arrels de complexos.

Segons acabem de veure, si

z e

i

, les seves potències successives són

z

e

, z

e

2 i2

3 i3

,

Recíprocament:

e

e

e

e

i

k

k

e

2

i

k k

2

i

2

k k

i

k

k

2

i

( k 1)

k k

z

e

2

i

e

k

4

i

e

i

z

z

2( k 1)

z

tenim per tant:

Prop. (arrels d’un complex) –

Essent

i

z z e C, 0 2

1.8

les seves arrels k-èsimes són els complexos z0 z1,

, z k 1

definits per:

,

z

0

arg z

arg z

1

arg z

0

k

2

k k

k 1

z

1

z

k 1

2

( k 1)

k k

k

z

Obs. –

(1) La representació gràfica següent il·lustra la proposició:

(2) En particular, vegeu la pàgina següent per k 2, 3, 4 .

1.9

1.10

Exem. –

(1)

3

1

e

e

e

i0

2

i

3

4

i

3

1

1

i

2

1

i

2

3

2

3

2

(2)

3

1

e

e

e

i

3

2

i

3 3

1

i

2

2

i

2

3 3

1

3

2

1

i

2

3

2

(3)

i

e

e

i

4

1

i

2

i

4

1

i

2

(4) Les representacions gràfiques anteriors il·lustren que la suma de les k arrels k-èsimes

d’un complex z qualsevol és 0. En efecte:

z

0

z

k

k

z

z

1

z

e

e

i

k

i

k

1

e

1

e

k 1

2

i

k

2

i ( k 1)

k

1

e

e

2

i

k

e

2

i

k

2

i ( k 1)

k

0

Aplicacions. –

(1) La transformació que descompon en monofàsics un operador d’inductàncies és

1.11

on:

F

1

1

1

3

1

1

2

1

2

C, 3 1, 1

és a dir:

1

i

2

3

2

En qualsevol dels casos:

4

2

1

2 4

1

Per tant:

0

2

1

0

1

0 0

2

F 0

0 1

,

0

1 0

4

F

1

0

0

0

1

0

0

0

1

(2) Oscil·lacions del preu del tocino

Durant més de la meitat del S.XX, el preu de la carn de tocino als USA va

experimentar variacions cícliques quadriennals (corresponents a 8 cicles semestrals

de producció) d’amplitud constant, generant grans distorsions econòmiques als

productors. Un model matemàtic per explicar-ho (i intentar corregir-ho), basat en la

hipòtesi que els productors utilitzen com preu de referència per a les seves

produccions la mitjana de les darreres 5 temporades, condueix a que el preu en la

temporada k ve donat per

k

p( k)

c i

i

, k 1, 2, (*)

i

on

i

són les solucions complexes de l’equació:

t

6

( t

5

4

t

3

t

2

t 1)

0

(**)

essent un paràmetre real susceptible de ser regulat mitjançant polítiques

adequades, amb 1.

1.12

(2.1) Verifiquem que, efectivament, el model dóna per a p (k)

oscil·lacions

quadriennals, amb amplitud constant, per certs valors de

i

.

Clarament, no ha de ser 1 (ja que les oscil·lacions s’amplificarien

i

infinitament) i poden menysprear les 1 (ja que les seves potències

tendeixen a 0). Ens interessen, doncs, les solucions de (**) amb 1.

Clarament no ho són 1

i

Si 1, amb 1, tenim (per càlcul, o bé observant les il·lustracions

gràfiques anteriors):

4

2

1

3

2

1

2

i

i

Per tant, si és arrel de l’equació (**), amb 1 i 1, ha de ser

6 2

0

5

on 1

1

2

. Equivalentment:

4

0

5

Doncs, tenim les possibilitats següents:

(a) i

, 1, 5

1

i

5

(b) , 1 2 , 2, 07

2

1

2

1

i

(c) , 1 2 ,

2

1

5

2

Descartem la tercera, ja que el model requereix 1.

Si en (*) considerem només solucions del tipus (a), resulta

p ( k)

p(

k 4)

és a dir, el preu oscil·laria bianualment.

Si incloem solucions tipus (a) i (b), obtenim

p ( k)

p(

k 8)

1.13

amb oscil·lants quadriennals, com les que es volien modelitzar.

(2.2) Concloem que, segons aquest model, si es volen evitar aquestes oscil·lacions

5

periòdiques del preu, cal implantar unes polítiques que facin 5, .

1

2

1.14

Tema 2

Polinomis i Fraccions Racionals

2.1.- Definicions i operacions elementals.

Def. –

(1) Polinomi de grau n, amb coeficients en K, i variable t:

P

n

( t)

p0 p1t

... p n

t ; p0

, p1,...,

pn K

(1’) El conjunt de tots ells: K n

t .

t

Doncs:

Els de tots els polinomis, de qualsevol grau: K .

K K t K t ... K

n

t ... K t

0

(2) p0

terme independent.

p1

coeficient del terme lineal.

p2

coeficient del terme quadràtic.

(2’) pn

coeficient principal.

P (t) mònic p 1.

1

n

1

P (t) normalitzat P(

t)

(que és mònic).

Obs. – Per conveni, es diu que P ( t)

0 no té grau.

Def. –

(1) Suma: P t)

Q(

t)

p

q

p

q t ...

p n

(

0 0 1 1

(2) Producte per λ: P t)

p

p

t ...

(

0 1

2

(3) Producte: P ( t)

Q(

t)

p

q

p

q p q t p

q p q p q t ...

2

Exemple - P ( t)

t t 1, Q ( t)

t 1

0 0 0 1 1 0

0 2 1 1 2 0

2.1

P(

t)

Q(

t)

t

P(

t)

Q(

t)

t

P(

t)

Q(

t)

P(

t)

tQ(

t)

1

2

3

2

2t

t

2

2t

1

Obs. –

(1) Les operacions anteriors verifiquen les propietats habituals d’associativitat,

distributivitat, etc., de manera que (1) + (2) donen estructura de “espai vectorial” i

amb (3), de “anell commutatiu”.

(2) És immediat que:

gr(

P Q)

grP grQ

gr( P Q)

max( grP,

grQ)

, si grP grQ

gr( P Q)

max( grP,

grQ)

, si grP grQ

2.2.- Determinació de polinomis.

Per definició, els coeficients p

0

, p1,...,

pn

determinen unívocament un

polinomi P( t) K

n

t

. Veurem més endavant (fórmula de Taylor) que també ho fan el

valor de P(t) i de les seves primeres n derivades, en un punt qualsevol.

Assenyalem ara que queda igualment determinat pel seu valor en n+1 punts.

Prop. (determinació pel valor en n+1 punts) –

(1) Existeix un únic polinomi P t) K t

( amb valors prefixats en n+1 punts diferents:

n

P( a0 ) b0

, ( a ) b 1 1

P , ..., P(

a n

) bn

(2) En particular:

t

P(

t),

Q(

t) K

n

mateix valor en n+1 punts diferents

P( t)

Q(

t)

Obs. –

(1) Els coeficients de P(t) poden calcular-se mitjançant un sistema d’equacions. Així,

2

per n 2 , P( t)

p p t p t queda determinat pel sistema

0

1

2

2.2

p

p

p

0

0

0

p a

1

p a

1

1

0

1

p a

2

p

p

2

2

p

2

a

a

2

0

2

1

a

2

2

b

b

1

0

b

2

és a dir

1

1

1

a

a

a

0

1

2

a

a

a

2

0

2

1

2

2

p0

b

p1

b

p2

b

0

1

2

que efectivament és compatible determinat ja que el determinant de la matriu és no

nul (Vandermonde).

(2) Alternativament, es pot escriure directament:

P(

t)

b

0

t

a1

t

a2

a

a a

a

0

1

0

2

b

1

t

a0

t

a2

a

a a

a

1

0

1

2

b

2

t

a0

t

a1

a

a a

a

2

0

2

1

Es generalitza de forma natural a graus superiors.

2.3.- Divisió. Divisibilitat.

Prop. (divisió en potències decreixents) –

Donats P ( t),

D(

t)

amb grP grD , existeixenQ, R únics t.q.:

P( t)

D(

t)

Q(

t)

R(

t)

amb grR grD (o bé R(t)=0).

Exemple -

P ( t)

t

2 , D ( t)

t 1:

t

2

2

t t

t

t 1

1

t 1

t 1

Aleshores: Q ( t)

t 1, R ( t)

1

(= 0 si α = -1)

Obs. –

(1) S’anomena: P, dividend; D, divisor; Q, quocient; R, residu.

2.3

(2) grQ grP grD .

Def. – En les condicions anteriors, si R(t) = 0, es diu que D divideix P. També que D és

un divisor de P, o que P és múltiple de D.

2.4.- Fórmula de Taylor.

n

n

Donat P( t) K

n

t , si dividim successivament per ( t a)

,( t a)

1 , , t a , on a K

qualsevol, resulta:

n

P(

t)

( t a)

R

R

n1

1

0

( t)

( t a)

0

n1

R ( t)

( t a)

R

R ( t)

1

n

n1

0

n1

( t)

( t)

R

n2

( t)

Recopilant:

Prop. (fórmula de Taylor) –

(1) Per tot P t) K t

( , a K , existeixen , K

n

n

1

,

0

P( t)

t a t a

t a

n

n1

n

( )

n1 ( )

1(

)

0

(2) De forma més precisa:

P(

a)

P

( a)

0

P(

a)

,

1

,

2

, ...,

n

1! 2!

D n P(

a)

n!

Obs. –

n

n 1

(1) En termes d’espais vectorials, (1) diu que ( t a)

,( t a)

, ,( t a),

1 generen

K n

t , i per tant en són una base.

Aleshores, (2) especifica les coordenades de P(t) en aqueixa base.

(2) Des d’un punt de vista empíric, la fórmula de Taylor assegura que, si un fenomen

depèn polinomialment del temps, el coneixement profund de les seves propietats en

un instant t=a permet predir amb precisió la seva evolució futura

2.4

2.5.- Arrels d’un Polinomi. Multiplicitat.

Def.- Si P ( a)

0 , es diu que a K és una arrel de P(t),

Per als casos més habituals K =

ó C, tenim:

Teor. –

(1) (teorema fonamental de l’Àlgebra) En C[t], tot polinomi té alguna arrel.

(2) En [t], tot polinomi té alguna arrel real, o bé dues arrels complexes conjugades.

p

Obs. - Si P (t) [t], les arrels racionals Q han de verificar:

q

p divisor del terme independent

q divisor del coeficient principal

3 2

Per exemple, les possibles arrels racionals de P ( t)

2t

13t

3 són

3 3 1 1

, , , .

2 1 2 1

Per avaluació, veiem que ho és 1/2.

La fórmula de Taylor ens permet una doble visió de la “multiplicitat” d’una arrel:

Lema.- En les condicions de la fórmula de Taylor:

P( a)

0 ( t a)

dividex P(t)

2

P( a)

P'(

a)

0 ( t a)

dividex P(t)

...

n1

n

P ( a)

P'(

a)

... D P(

a)

0 ( t a)

dividex P(t)

Def.-

(1) Si a K és una arrel de P(t), es diu que la seva multiplicitat és k si:

k

k 1

P(t) és divisible per ( t a)

, però no pas per ( t a)

.

O bé, segons el lema anterior, si:

k1

P(

a)

D P(

a)

0, D k P( a)

0 .

(2) Es diu arrel simple, doble, ... si k = 1, 2, ...

2.5

3 2

Exem.- El polinomi P ( t)

t 8t

20t

16

, presenta clarament una arrel a=2. Com

que:

2

P '(2) (3t

16t

20)(2) 0

P ''(2)

(6t

16)(2)

0

P '''(2)

6 0

es tracta d’una arrel doble.

Alternativament es pot emprar l’algorisme de Ruffini.:

1

8

2

20

12

16

16

: 2

1

6

2

8

8

0

: 2

1

4

2

0

: 2

1

2

De fet, ens diu que :

2

2

P ( t)

( t 2) ( t 6t

8) ( t 2)( t 2)( t 4) ( t 2) ( t 4) .

Obs.-

(1) Gràficament, la multiplicitat dona el grau de tangència amb la horitzontal. Per

exemple, per a l’arrel a a=0:

2.6

(2) Igualment podem veure les arrels dobles, triples, ... com resultat de col.lapsar dues,

tres, ... arrels simples:

t( t

) t

0

t( t

)( t )

t

2

0,

0

3

2.6.- Factorització en factors primers.

Obs. – En general, si de P( t)

K t es coneixen

1,

,

s

arrels amb multiplicitat

k

1,

,k s

, tenim una primera factorització

k1

s

P( t)

( t ) ( t )

k Q(

) ; Q( ) 0 , 1 i s

1 s

t

En una segona fase, Q (t)

pot factoritzar-se en “polinomis primers”:

k

k

Q

( t)

Q

( t r

1

Q ( t)

)

1

Vegem-ho amb més detall per a K = ó C.

r

Def. -Q( t)

K t es diu que és primer (o irreductible) si només és divisible per escalars.

Exemple –

(1) Ho són tots els de grau 1.

(2) 2 2

t 1

és primer en [t], però no pas en C[t]: t 1 ( t i)(

t i)

.

(3) Els polinomis primers de grau més gran que 1 no tenen arrels, però el recíproc no és

2 2

cert: Q ( t)

( t 1)(

t 2)

no és primer en [t], malgrat no tenir arrels en .

i

Prop. –

(1) En C[t], els polinomis primers són els de grau 1.

(2) En [t], els polinomis primers són:

Els de grau 1.

Els de grau 2, amb discriminant negatiu (és a dir: q

2

q q q 0 ).

1

4

0 2

Teorema (factorització en polinomis primers) –

2

0

q1t

q2t

, amb

2.7

k1

ks

(1) En C[t]: P ( t)

p ( t ) ( t )

n

1

s

k

ks

2

h1

2

hr

(2) En [t]: P ( t)

p ( t

)

1 (

t

) ( t b t c ) (

t b t c )

2

on: b 4c

0 , 1 j r .

j

j

n

1

Obs. – Recordem que els darrers factors de (2) descomponen en C[t]:

t

2

b t c ( t )( t ) , C

j

j

j

s

j

j

1

1

r

r

Així:

3 2

2

En [t]: t t 2 ( t 1)(

t 2t

2)

3 2

En C[t]: t t 2 ( t 1)(

t (1 i))(

t (1 i))

2.7.- M.C.D. i M.C.M. de polinomis.

t

Def. - Donats P1 ( t),

P2

( t)

K :

(1) S’anomena el seu mínim comú múltiple, m.c.m.(P 1 ,P 2 ), al polinomi mònic de menor

grau divisible per P 1 i P 2 .

(2) S’anomena el seu màxim comú divisor, m.c.d.( P 1 ,P 2 ), al polinomi mònic de major

grau que divideix P 1 i P 2 .

(3) En particular, P 1 i P 2 es diu que són primers entre ells si m.c.d.( P 1 ,P 2 ) = 1.

Prop. – En les condicions anteriors, si es coneixen les factoritzacions en polinomis

primers:

(1) m.c.m.(P 1 ,P 2 ): tots els factors, amb l’exponent més gran.

(2) m.c.d.( P 1 ,P 2 ): els factors comuns, amb l’exponent més petit.

(3) Primers entre ells cap factor comú.

(3’) En particular, per K = ó C:

primers entre ells arrels (reals i complexes) diferents.

2.9.- Descomposició en fraccions simples.

Def. –

2.8

(1) Considerem fraccions racionals ( t)

D(

t)

(2) Es diu que P D és la seva forma reduïda si:

PD

PD ( P D P D) .

P, D són primers entre ells.

D és mònic.

(3) P D s’anomena pròpia si grP grD .

P , amb ( t),

D(

t)

Kt

,

D(

t)

0

P .

(4) S’anomenen fraccions simples les de la forma P , amb: D , primer; grP grD .

Exemple –

(1) Fraccions simples en C[t]:

k

( t )

t

(2) Ídem en [t]: ,

k 2

4

( t )

( t bt c)

2

on b 4c

0 .

Teorema (descomposició en fraccions simples) –

k

D

Considerem una fracció racional P ( t)

D ( t)

, i suposem:

Aleshores:

(i) P DQ R , on Q, R són el quocient i el residu.

(ii) D D

k

1

1

D

k

s

s

, la factorització en factors primers.

P(

t)

D(

t)

R(

t)

Q(

t)

D(

t)

Q(

t)

s

i1

R

i1

Di

R

i2

ik

2

D

D

i

R

i

i

k

i

on R j

ij

D i

són fraccions simples.

Exemple – En

[t], tindrem:

3t

1

3 2

( t 1)

( t 1)

2

1

2

t 1

( t 1)

2

3

( t 1)

3

1t

1

2t

2

2

2 2

t 1

( t 1)

2.9

on els coeficients

1

, 2,

3,

1,

2,

1,

2

poden determinar-se igualant els numeradors

després de fer comú denominador en el segon membre:

2

3t

1

( t 1)

( t

1

3

( t

)( t 1)

( t

1

1

2

1)

2

2

( t 1)

( t

2

2

1)

( t

)( t 1)

2

2

1)

2

2

( t

3

3

2

1)

2

Igualant els coeficients del mateix grau obtindríem un sistema compatible determinat:

grau 0: 1 1

2

3

1

2

grau 1: 3 21 22

1

2

1

2

3

2

. . .

grau 6: 0 1

1

Per simplificar els càlculs, poden obtenir-se equacions alternatives avaluant ambdós

membres per diferents valors de t. Per exemple, les arrels del denominador:

t = 1: 4 33

3

t = i: 3i

1 ( 2i

2

)( i 1)

(2

2

22

) i(22

2

2

)

1 2 , 3 22 2

2

2

2

2

Observeu que si féssim t i

obtindríem les mateixes equacions. En general resulten

les mateixes equacions en donar a t el valor d’una arrel complexa i el de la seva

conjudada.

2.10, 2.11.- Aplicació al càlcul de primitives, anti-transformades, ...

Exemple – Per calcular la primitiva de

N(

t)

t

D(

t)

cal efectuar els passos següents:

6

5 4 3 2

3t

4t

4t

4t

t 1

5 4 3 2

t 3t

4t

4t

3t

1

(1) En primer lloc, dividint com a l’apartat 2.3, obtindrem en general

N( t)

D(

t)

Q(

t)

R(

t)

N(

t)

R(

t)

Q(

t)

,

D(

t)

D(

t)

on la darrera fracció és pròpia. En el nostre cas

2

N(

t)

t 1

t

D(

t)

D(

t)

2.10

(2) En segon lloc, cal factoritzar D (t)

en factors primers, per a la qual cosa cal conèixer

alguna arrel de D (t). Segons hem vist en 2.5, les úniques possibles arrels racionals són

1 . Avaluant D (t)

veiem que D ( 1)

0 , però D ( 1) 0 , de manera que 1 n’és

efectivament una arrel. De fet, com que

D ( 1) D'(1)

D''(1)

0, D '''(1)

0

es tracta d’una arrel triple. Dividint D (t)

per

3 2

D ( t)

( t 1)

( t 1)

.

3

( t 1) (altre cop com a 2.3), obtenim

(2’) Alternativament, haguéssim pogut dividir reiteradament per t 1

emprant el

mètode de Ruffini, obtenint el mateix resultat

1 -3 4 -4 3 -1

1 -2 2 -2 1 1

1 -2 2 -2 1 0

1 -1 1 -1 1

1 -1 1 - 1 0

1 0 1 1

1 0 1 0

1 1 1

1 1 2

(3) El pas següent és reduir la fracció R(t)/D(t). Per a això, verifiquem si algun factor

primer de D(t) ho és també de R(t). En efecte, 1 és arrel (simple) de R(t), de manera que

podem simplificar el factor t-1:

R(

t)

( t 1)(

t 1)

t 1

3 2

2 2

D(

t)

( t 1)

( t 1)

( t 1)

( t

.

1)

(4) Hem obtingut doncs, una funció pròpia irreductible, la qual podem descompondre en

fraccions simples com a l’apartat 2.9:

t 1

2 2

( t 1)

( t

1

1)

( t 1)

2

2

t

.

2

t 1

t 1

t 1

2

2

2

1

( t 1)

2(

t 1)(

t 1)

( t )(

t 1)

t 1:

2 2

1

1

1

2.11

2

t i : i 1

( i

)(

i 1)

2

2i

1 2

,

1

t 0 : 1 1 2

2

.

2

1 1

1 2 ,

2 2

(4’) Alternativament, haguéssim pogut obtenir

1

,

2

, , igualant els coeficients

dels termes del mateix grau:

grau 0 : 1 1

2

grau 1 : 1 2 2

grau 2 : 0 1

2

2

grau 3:

0 2

(5) Recopilant, hem obtingut finalment

N(

t)

1

t

D(

t)

( t 1)

2

1

2

t

1

1

1

2

t

2

t

1

1

2

1

.

2

t 1

La primitiva de cada sumand és immediata, obtenint finalment:

2

N(

t)

t

D(

t)

2

1

t 1

1

2

1 1

t |+ ln ( t 2 1)

arctg t C .

4 2

ln | 1

2.12.- Divisió en potències creixents.

Obs. – En certs contextos (transformada Z, realització de sistemes de control, ...)

interessa la “divisió en potències creixents”, que dóna una sèrie (infinita). Per exemple:

t

2

t

t

t

t

t

2

( 1)

t

2

2

1

t

t

( 1)

t

2

2.12

Matrius. Determinants 3

Tema 3

Matrius. Determinants

(3.A) Matrius

3.1 Matrius

Definició.

(1) Una matriu A d’ordre m × n és un conjunt d’escalars (de R, C, o en general d’un cos K)

disposats rectangularment en m files i n columnes:

⎛

⎞ ⎛

a 11 ... a 1n a 1 1 ... a 1 ⎞

n

A = ⎝ ... ... ... ⎠ ≡ ⎝ ... ... ... ⎠ , a ij ≡ a i

a m1 ... a mn a m 1 ... a m j ∈ K.

n

Sovint escriurem simplement:

A = (a ij ) ≡ (a i j ).

Els índexs i,j dels elements (o coeficients) a ij ≡ a i j es refereixen a la fila i columna, respectivament.

(2) El conjunt d’aquestes matrius s’escriu M m×n (K), o simplement M n (K) si són quadrades (és a

dir, si n = m).

Observacions. Hi ha una àmplia nomenclatura i tipologia referents a matrius. Vegem-ne alguns exemples.

En molts casos la nomenclatura és força expressiva i ens estalviarà presentacions formals.

(1)

És clar el significat de la fila i-èsima o la columna j-èsima d’una matriu.

(1’) Per a matrius quadrades, la diagonal principal és la formada pels elements a 11 ,... ,a mn , i la seva

suma se’n diu la traça de la matriu:

trA = a 11 + · · · + a mn .

Es parla també de les subdiagonals i supradiagonals.

(2) Direm matriu fila si m = 1 i matriu columna si n = 1.

(2’) Com veurem, les matrius columna les identificarem amb vectors. En altres llocs (per exemple,

MatLab) també les matrius fila.

(3) Es diu matriu quadrada si n = m.

(3’) Una matriu quadrada es diu simètrica si a ij = a ji (és a dir, són iguals els coeficients simètrics

respecte a la diagonal principal) i antisimètrica si a ij = −a ji (en particular a ii = 0). Exemples

respectius són:

⎛

⎝

1 2 3

2 4 5

3 5 6

⎞

⎠ ,

⎛

⎝

0 1 2

−1 0 3

−2 −3 0

⎞

⎠ .

4 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)

(3”) Una matriu quadrada es diu matriu diagonal, triangular superior, o triangular inferior,

respectivament, si:

• a ij = 0 per a i ≠ j; per exemple

• a ij = 0 per a i > j; per exemple

• a ij = 0 per a i < j; per exemple

⎛

⎝

⎛

⎝

⎛

⎝

1 0 0

0 2 0

0 0 3

1 2 3

0 4 5

0 0 6

1 0 0

2 3 0

4 5 6

Les triangulars es diuen ”estrictes” si la diagonal principal és nul·la.

(4) Una matriu es pot considerar particionada per blocs, i generalitzar la tipologia anterior a diagonal

per blocs o triangulars per blocs. Per exemple:

⎛

⎝

1 0 0

0 2 3

0 4 5

⎞

⎠ ,

⎛

⎝

1 2 3

0 4 5

0 6 7

⎞

⎠

⎞

⎠

⎞

⎠

⎞

⎠ ,

⎛

⎝

1 0 0

2 3 4

5 6 7

⎞

⎠ .

(5) També és clara la referència a submatrius d’una donada. Destaquem que s’anomena matriu

adjunta (o complementària) de l’element a ij la submatriu que resulta de suprimir la fila i-èsima

i la columna j-èsima.

Exemples.

(1) La matriu nul·la i identitat d’ordre n:

⎛

O n = ⎝

0 ... 0

... ... ...

0 ... 0

⎞

⎠ ; I n =

⎛

⎜

⎝

1 0 ... 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

⎞

⎟

⎠

(2) Donat un graf (o xarxa) com el de la figura

2 3

1

4 5


la seva matriu associada (també ”matriu de connexions”) és: a ij = 1 si el nus i està connectat al j;

altrament, a ij=0 . Així per al graf anterior resulta

⎛

⎞

0 1 1 1 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

⎜

⎟

⎝ 1 1 0 0 1 ⎠

1 0 1 1 0

que és simètrica, Si el graf és orientat, com ara

2 ✲ 3

✻ ❦ ✸

❄

✰ 1

✛

4 5

és a ij = 1 ó a ij = −1 segons el nus i sigui final o origen respectivament. En l’exemple anterior resulta

⎛

⎞

0 −1 −1 −1 −1

1 0 −1 1 0

1 1 0 0 −1

⎜

⎟

⎝ 1 −1 0 0 1 ⎠

1 0 1 −1 0

que és antisimètrica. Observem que si en el graf es suprimeix el nus i-èsim, la nova matriu associada és

l’adjunta del coeficient a ii .

Matlab/Octave. Hi ha comandes per construcció directa de diverses matrius. Per exemple les matrius

nul·la, la identitat i la de tot a ij = 1, s’obtenen respectivament mitjançant: zero(n), eyes(n), ones(n)

Igualment per compondre matrius a partir d’altres. Per exemple, diag(A,B) dona la matriu diagonal

per blocs corresponent.

En general, són programaris molt potents per al tractament de matrius (construcció, modificació, determinació

d’elements, predefinides, operacions, etc.), de manera que és convenient consultar referències

específiques.

3.2 Alguns exemples rellevants: Jordan, Vandermonde, ”companion”

Definicions.

(1) Se’n diuen blocs de Jordan les de la forma:

⎛

J λ (n) =

⎜

⎝

λ 0

1 λ

1 . . .

. .. λ

0 1 λ

⎞

.

⎟

⎠


(1’) En particular, si λ = 0 se’n diuen blocs nilpotents:

⎛

⎞

0 0

1 0

N(n) = J 0 (n) =

1 . . .

.

⎜

⎝

. ..

⎟

0 ⎠

0 1 0

(2) Se’n diuen matrius de Jordan les diagonals per blocs de Jordan (amb possiblemet diferents

grandàries i elements diagonals).

Observacions.

(1) Veurem de seguida que els blocs nilpotents tenen nul·la la seva potència n-èsima. D’aquí la seva

denominació.

(2) Casos particulars especialment importants de matrius de Jordan són:

- les matrius diagonals: tots els blocs de Jordan tenen grandària 1

- les matrius no-derogatòries: els coeficients diagonals de cada bloc són diferents

(3) Les matrius de Jordan jugaran un paper clau en la simplificació de matrius: veurem que tota

matriu quadrada pot reduir-se a una de Jordan (anomenada la seva ”forma canònica de Jordan”).

Matlab/Octave. Els blocs nilpotents i de Jordan poden construir-se fàcilment amb:

N(n) = diag (ones (1,n-1),-1)

J λ (n) = λ ∗eyes (n) + N(n)

Definició. Les matrius de Vandermonde són les de la forma

⎛

V (a 0 ,... ,a n ) =

on a 0 ,... a n són escalars diferents.

Exemples.

(1) Determinem una paràbola

⎜

⎝

1 a 0 (a 0 ) 2 ... (a 0 ) n ⎞

1 a 1 (a 0 1) 2 ... (a 1 ) n

⎟

... ... ... ... ... ⎠

1 a n (a n ) 2 ... (a n ) n

P(t) = α + βt + γt 2

que per a t = 2,3,4, valgui 3,6,11, respectivament. Cal resoldre el sistema:

⎫

α + 2β + 4γ = 3 ⎬

α + 3β + 9γ = 6

⎭

α + 4β + 16γ = 11


Observeu que la matriu del sistema es V (2,3,4). En aquest cas fàcilment resulta:

P(t) = 3 − 2t + t 2 .

(2) En general, quan ens preguntem per un polinomi

P(t) = p 0 + p 1 t + · · · + p n t n

que prengui valors b 0 ,... ,b n en els punts a 0 ,... ,a n

P(a i ) = b i ,

0 ≤ i ≤ n

el sistema d’equacions resultant és

⎛ ⎞ ⎛

p 0

p 1

V (a 0 ,... ,a n ) ⎜ ⎟

⎝ . ⎠ = ⎜

⎝

p n

⎞

b 0

b 1

⎟

. ⎠ .

b n

Veurem que el sistema és compatible determinat, de manera que existeix la solució P(t) i és

única.

Matlab/Octave. La comanda

V = vander (a), on a = [a 0 ,a 1 ,...,a n ],

dona la matriu anterior, però amb les columnes ordenades en sentit contrari. Per obtenir l’anterior caldria

reordenar-les amb

V (:,end : −1 : 1).

Definició. Les matrius de Sylvester o ”companion” són les de la forma

⎛

⎞

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

C(a 1 ,...,a n ) =

... ... ... ... ...

.

⎜

⎟

⎝ 0 0 0 ... 1 ⎠

−a n −a n−1 −a n−2 ... −a 1

Exemples.

(1) Apareixen quan una equació diferencial lineal d’ordre n es transforma en un sistema de n equacions

d’ordre 1. Per exemple, si en la clàssica equació de la mecànica

mẍ(t) = −µẋ(t) − kx(t) + F(t)

introduïm la velocitat v = ẋ, es por escriure com el sistema

⎛ ⎞

( ) ẋ

= ⎝ 0 1 ( ) ( ) (

˙v − µ m

− k ⎠ x 0 k

+ = C

v F m , µ x

m)(

v

m

) ( 0

+

F

)

.


(2) La seva propietat més rellevant és que

Q(t) = det(tI − C(a 1 ,...,a n )) = t n + a 1 t n−1 + · · · + a n−1 t + a n .

Veurem que aquest polinomi juga un paper clau en la reducció de matrius (s’anomena ”polinomi

característic”).

(3) També com a ”formes canòniques de control” de sistemes controlables uniparamètrics. D’aquí el

seu paper clau, per exemple, per estabilitzar un sistema controlable mitjançant una realimentació

que reassigni adequadament els seus pols.

Matlab/Octave. La comanda

C = compan(a), on a = [1,a 1 ,...,a n ].

dóna la matriu anterior, però amb les files i columnes ordenades en sentit contrari. Per obtenir l’anterior

caldria reordenar-les amb

3.3 Operacions suma i producte

C(:, end : −1 : 1)

C(end : −1 : 1, :).

Definició. La suma de dues matrius i el producte per un escalar es realitza ”per coeficients”, mentre que

el producte de dues matrius és fa ”fila per columna”:

( 1 2 3

4 5 6

( 1 2 3

λ

4 5 6

( 1 2 3

4 5 6

) ( 7 8 9

+

10 11 12

)

=

) ( ) λ 2λ 3λ

=

4λ 5λ 6λ

) ⎛ ⎞

7 8

⎝ 9 10 ⎠ =

11 12

( 8 10 12

14 16 18

)

( 7 + 18 + 33 8 + 20 + 36

28 + 45 + 66 32 + 50 + 72

Proposicions. Propietats elementals de les operacions anteriors:

(1) Per a la suma:

• associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

• commutativa: A + B = B + A

• neutre: A + O = A, on O és la matriu nul·la.

• oposada: A + (−A) = O, on si A = (a ij ), és −A = (−a ij )

(2) Per al producte per escalar:

• associativa: (λµ)A = λ(µA)

)

=

( 58 64

139 154

)

.


• distributives: (λ + µ)A = λA + µA, λ(A + B) = λA + λB

• 1 · A = A.

(3) Per al producte de matrius:

Observacions.

• associativa: (AB)C = A(BC)

• distributiva: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

• neutre: I A = AI = A, on I és la matriu identitat.

(1) Si A ∈ M m×n (K) i B ∈ M p×q (K), el producte AB només té sentit si n = p, i aleshores:

AB ∈ M n×q (K). Si m = q, té sentit BA, però: BA ∈ M p×n (K). Si n = p i m = q, és:

AB ∈ M m (K), BA ∈ M n (K).

(2) Alertem que el producte de matrius no és commutatiu, en general. De fet, acabem de veure que

les expressions AB i BA només són comparables si A i B són quadrades. Aleshores, però:

Per exemple:

A =

( 1 1

1 1

)

, B =

AB ≠ BA, en general (!) .

( 1 0

1 0

(3) Hi ha matrius divisors de zero, és a dir:

)

; AB =

( 2 0

2 0

AB = O , amb A ≠ O i B ≠ O(!).

)

, BA =

( 1 1

1 1

)

.

Per exemple:

(3’) Però:

A =

( 1 0

1 0

)

, B =

BA =

( 0 0

1 1

( 0 0

2 0

)

; AB =

)

≠ O .

( 0 0

0 0

)

.

(4) Observeu també que pot ser :

Per exemple:

A =

AB = A,

( 0 0

1 1

amb B ≠ I(!).

)

, B =

( 0 1

1 0

)

.

(4’) Però:

BA =

( 1 1

0 0

)

≠ A.


(5) Les operacions anteriors són vàlides per blocs:

( ) ( )

A1 A 2 B1 B 2

+

A 3 A 4 B 3 B 4

( ) ( )

A1 A 2 B1 B 2

A 3 A 4 B 3 B 4

=

=

( )

A1 + B 1 A 2 + B 2

A 3 + B 3 A 4 + B 4

( )

A1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4

.

A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4

Matlab/Octave. Hem assenyalat abans que és convenient consultar referències específiques ja que disposen

de diverses comandes per operacions matricials, operacions element a elements, funcions aplicades

a cada element, etc. Tanmateix, destaquem algunes referides a les operacions anteriors:

– suma: A + B

– producte per escalars: λ* A

– producte matricial: A * B; mtimes (A, B).

3.4 Matriu inversa

Definició. Essent A ∈ M n (K), s’anomena la seva inversa A −1 , si existeix, aquella que:

AA −1 = I

(o equivalentment, A −1 A = I).

Aleshores A es diu invertible (o regular). Altrament es diu singular.

Proposició. Si A és invertible, la seva inversa és única:

AB = I ⇐⇒ B = A −1

(⇐⇒ BA = I).

Exemples.

(1)

(2)

(3)

( 1 1

1 2

( 1 2

0 1

( 1 2

0 −1

) −1

=

) −1

=

) −1

=

( 2 −1

−1 1

( 1 −2

0 1

)

( 1 2

0 −1

)

)

(4) Matrius no invertibles són, per exemple:

( 0 1

0 0

)

,

( 1 1

2 2

)

, ...

Veurem de seguida condicions de inversibilitat i formes de calcular la inversa.

Proposicions. Si A és invertible:


(1) Valen les regles de ”simplificació” habituals:

AB = AC =⇒ B = C

AB = C =⇒ BA −1 = C

BA = C =⇒ B = CA −1

(2) (A −1 ) −1 = A.

(3) (λA) −1 = 1 λ A−1

(4) Si a més B és invertible, també ho és el producte AB, i:

Observacions.

(AB) −1 = B −1 A −1 .

(1) Per a matrius no invertibles no són certes les regles de simplificació anteriors. Per exemple:

( ) ( ) ( )

1 1

1 −1

0 0

A = , B = , C =

1 1

0 0

1 −1

( ) 1 −1

AB = AC = , tot i que B ≠ C (!).

1 −1

(2) També aquí és vàlid operar per blocs. Per exemple, si A i B són invertibles:

Matlab/Octave.

( A C

0 B

) −1 (

A1 −A −1 CB −1 )

=

0 B −1

(1) La inversa d’una matriu A s’obté directament amb les comandes:

inv (A), inverse (A), A^(-1)

(2) Per ”dividir” dues matrius (és a dir, multiplicar-ne una per la inversa de l’altra), resulten més

eficients:

3.5 Matriu transposada

AB −1 : A/B, mrdivide (A,B)

B −1 A : B \A, mldivide (B,A).

Definició. Donada A = (a ij ) ∈ M m×n (K), s’anomena la seva matriu transposada, A t (també A ′ , A T ,

...) , la definida per:

A t = (a ji ).

Proposició. Propietats elementals són:


• (A t ) t = A

• (λA) ′ = λA ′

• (A + B) ′ = A ′ + B ′

• (AB) ′ = B ′ A ′

• Si A és invertible, també ho és A t i: (A t ) −1 = (A −1 ) t .

Exemples.

(1)

( 1 2 3

4 5 6

⎛

) t

= ⎝

1 4

2 5

3 6

⎞

⎠

(2) A simètrica ⇐⇒ A t = A

A ansimètrica ⇐⇒ A t = −A

(3) Per a qualsevol A:

A + A t és simètrica; A − A t és antisimètrica; AA t és simètrica.

(4) Si escrivim els vectors v, w com matrius columna, el seu producte escalar pot expressar-se:

〈v,w〉 = v t w .

Si v = w resultaria el quadrat del mòdul de v.

(4’) Més en general, si Q és una matriu simètrica, se’n diu la seva ”forma quadràtica” associada:

q(v) = v t Q v .

Observació. Una matriu A ∈ M n (K) es diu ortogonal si

AA t = I ,

o equivalentment A t A = I , o també A −1 = A t . Per exemple:

( √ )

1/2 − 3/2

A = √ .

3/2 1/2

Matlab/Octave. La transposada d’una matriu A s’obté amb transpose (A) o simplement A’.


(3.B) Càlcul matricial elemental

3.6 Càlcul matricial: presentació

Com veurem amb més detall en els darrers temes, les potències/exponencial d’una matriu permeten

resoldre els sistemes dinàmics lineals discrets/diferencials respectivament:

x(k + 1) = Ax(k) ⇐⇒ x(k) = A k x(0)

ẋ(t) = Ax(t) ⇐⇒ x(t) = e tA x(0)

De fet, aquestes i altres funcions de matrius apareixen en diferents contextos. El càlcul matricial aborda

el seu càlcul i l’estudi de les seves propietats.

Esquemàticament, considerarem dues etapes:

(a) Per a matrius de Jordan (en particular, diagonals), ho resoldrem de seguida en tres passos:

reducció a cada bloc diagonal

càlcul directe per a blocs nilpotents

generalització a blocs de Jordan qualssevol (mitjançant el binomi de Newton,...)

(b) Per a una matriu qualsevol, el punt clau és transformar-la en la seva forma diagonal (si és possible)

o més en general en la seva forma canònica de Jordan, la qual cosa requereix bona part dels temes

següents. Mitjançant aquesta transformació, el càlcul matricial general es redueix al cas (a).

3.7, 3.8 Potències. Combinacions polinomials. Exponencial d’una matriu

Definició. Essent A ∈ M n (K), la seva potència k-èsima es defineix simplement:

A k = A (k) ... A

Exemples.

(1)

(2)

⎛

⎜

⎝

k

⎞

a 1 0

. ..

⎟

⎠

0 a n

( 1 0

1 1

) k

=

=

( 1 0

k 1

⎛

⎜

⎝

)

a k 1 0

. ..

0 a k n

⎞

⎟

⎠

(2’) Més en general, comproveu per inducció que:

( λ 0

1 λ

) k

=

( ) λ

k

0

kλ k−1 λ k

Observacions.

(1) Una matriu s’anomena nilpotent si alguna seva potència és nul·la. Per exemple:

( −1 1

−1 1

) 2

=

( 0 0

0 0

)


(1’) En general, totes les triangulars estrictes són nilpotents:

⎛

⎝

( 0 1

0 0

0 1 2

0 0 3

0 0 0

) 2

=

⎞

⎠

3

=

( ) 0 0

0 0

⎛ ⎞

0 0 0

⎝ 0 0 0 ⎠ .

0 0 0

(2) El binomi de Newton és aplicable quan les matrius commuten (AB = BA):

( k

(A + B) k =

0

) ( k

A k +

1

)

( k

A k−1 B + · · · +

i

)

( k

A k−i B i + · · · +

k

)

B k .

Matlab/Octave. Comandes per a la potència k-èsima d’una matriu quadrada A són:

A^k ; mpower (A,k).

Definició. - Essent A ∈ M n (K), la seva combinació polinomial segons el polinomi P(t) = p 0 +p 1 t+···+

p r t r , és:

P(A) = p 0 I + p 1 A + · · · + p r A r .

Exemples.

(1) Si P(t) = t 2 − 4t − 1:

P

( 1 2

2 3

)

=

( 1 2

2 3

(2) Si la matriu A és triangular, de la forma

) 2 ( 1 2

− 4

2 3

⎛ ⎞

a ∗ ∗

A = ⎝ 0 b ∗ ⎠

0 0 c

) ( 1 0

−

0 1

)

=

( 0 0

0 0

)

.

resulta:

P(A) = O ,

amb P(t) = (t − a)(t − b)(t − c).

(2’) De fet, el resultat és cert per a qualsevol grandària n de la matriu.

Observacions.

(1)

És clar que les combinacions polinomials d’una matriu commuten. És a dir, que per a qualsevol

matriu quadrada A i qualssevol polinomis P(t) i Q(t) es verifica:

P(A)Q(A) = Q(A)P(A).


(2) Es demostra que les combinacions polinomials anteriors poden generalitzar-se als desenvolupaments

en sèrie de les funcions analítiques, com ara

e t ≡ exp(t) = 1 + 1 1! t + 1 2! t2 + · · · + 1 k! tk + · · ·

sin t = t − 1 3! t3 + 1 5! t5 − · · ·

cos t = 1 − 1 2! t2 + 1 4! t4 − · · ·

la qual cosa permet definir exp(A), sin(A), cos(A),... Ens interessa especialment la primera.

Definició. Essent A ∈ M n (K), definim la seva exponencial mitjançant

Exemple. Anem a calcular que:

e A = I + 1 1! A + 1 2! A2 + · · · + 1 k! Ak + · · ·

( λ 0

A = α

1 λ

)

=⇒ e A = e αλ ( 1 0

α 1

)

.

En efecte, ja hem vist

( ) λ

A k = α k k

0

kλ k−1 λ k .

Per tant

e A =

( 1 0

0 1

)

+ 1 1! α ( λ 0

1 λ

)

+ 1 ( ) λ

2

0

2! α2 2λ λ 2 + · · · + 1 ( ) λ

k

0

k! αk kλ k−1 λ k + · · ·

(e A ) 11 = (e A ) 22 = 1 + 1 1! αλ + 1 2! α2 λ 2 + · · · + 1 k! αk λ k + · · · = e αλ

(e A ) 12 = 0

(e A ) 21 = 0 + 1 1! α + 1 2! α2 2λ + · · · + 1 k! αk kλ k−1 + · · · =

= α(0 + 1 + 1 1! αλ + · · · + 1

(k − 1)! αk−1 λ k−1 + · · · ) = αe αλ

Observació. Es demostra que, amb certes hipòtesis, es generalitzen les propietats de la exponencial

ordinària. Per exemple:

e A+B = e A e B , si AB = BA.

En particular, si escrivim J λ = λI + N , tenim

e J λ

= e λ e N .

Igualment:

e 0 = I, e −A e A = I, e iA = cos A + isin A, ....


Matlab/Octave. Cal alertar que la comanda exp(A) NO(!) dona l’expressió anterior, sinó simplement

la que resulta d’aplicar la funció exp a cada coeficient de la matriu. Per exemple, amb A com abans

donaria:

( ) e

αλ

1

exp(A) =

e α e αλ .

Anàlogament per a sin(A), cos(A), ... .

3.9 Càlcul matricial per a matrius de Jordan

Proposició (càlcul per blocs).

(1) Per al càlcul de potències, és vàlid operar per blocs:

( ) k (

A1 0 A

k

= 1 0

0 A 2 0 A k 2

)

.

(2) Igualment per a les combinacions polinomials, exponencial,...

Corol·lari (càlcul per a matrius diagonals). Per a matrius diagonals resulta simplement:

(1)

⎛

⎜

⎝

λ 1

⎞k

⎛

. ..

⎟ ⎜

⎠ = ⎝

λ n

λ k 1

⎞

⎟

⎠ .

. ..

λ k n

(2)

e

⎛

⎝

λ 1

. ..

λ n

⎞

⎠

=

⎛

⎜

⎝

e λ 1

. ..

e λn ⎞

⎟

⎠ .

(3) Anàlogament per a inverses, arrels, sinus, etc.

Proposicions (càlcul per a blocs nilpotents). Per a un bloc nilpotent N = N(n):

(1) Les potències resulten:

⎛

⎞

0

0

1 0

.

N =

.. . ..

=⇒

⎜

⎝ 1 0

⎟

⎠

0 1 0

⎛

0

⎞ ⎛

0

0 0

N 2 1 0 0

=

1 0 0

, N 3 =

⎜ .

⎝ .. . .. . .. ⎟ ⎜

⎠ ⎝

0 1 0 0

0

0

0 0

0 0 0

1 0 0 0

. .. . .. . .. . ..

0 1 0 0 0

⎞

, ...

⎟

⎠


(1’) En particular és n-nilpotent (d’aquí la seva denominació):

(N(n)) n = O .

(2) L’exponencial resulta, doncs:

e αN = I + 1 1! αN + 1 2! α2 N 2 + · · · +

1

(n − 1)! αn−1 N α−1 =

⎛

⎜

⎝

⎞

1 ... 0

.

α/1! .. . ..

α 2 .

/2! .. . ..

⎟

⎠

.

. .. . ..

Exemple. El binomi de Newton permet generalitzar els resultats anteriors. Per exemple, essent

⎛

N = ⎝

0 0 0

1 0 0

0 1 0

⎞

⎠

resulta

⎛

⎝

1 0 0

1 1 0

0 1 1

⎞

⎠

k

= (I + N) k =

= I + kN +

( ( ( k k k

I

0)

k + I

1)

k−1 N + I

2)

k−2 N 2 + · · · =

k(k − 1)

2

⎛

⎝

0 0 0

0 0 0

1 0 0

⎞

⎠ =

⎛

⎜

⎝

1 0 0

k 1 0

k(k−1)

2

k 1

⎞

⎟

⎠

Proposicions (Càlcul per a blocs de Jordan qualssevol).

(1) Aplicant el binomi de Newton, com a l’exemple anterior, a J λ (n) = λI + N(n), resulta:

⎛

⎞

λ 0

1 λ

(J λ (n)) k =

.

⎜ 1 ..

⎟

⎝ ... λ ⎠

0 1 λ

k

⎛

=

⎜

⎝

⎞

λ k 0

) . ..

1

) . .. . ..

⎟

⎠

.

. .. . .. . ..

λ k−1( k

λ k−2( k

2

(2) També l’exponencial de l’exemple anterior per n=2 es generalitza:

⎛

⎞

1 0

. e αJλ(n) = e αλ α/1! ..

⎜

⎝ α 2 .

/2! .. . ..

⎟

⎠

.

. .. . .. . ..


Exemple. Essent

resulta:

⎛

A k = ⎜

⎝

(−1) k

A =

⎛

⎜

⎝

−1

⎞

3 k

k3 k−1 3 k ⎟

k(k−1)

2

3 k−2 k3 k−1 3 k

3

1 3

1 3

⎞

⎟

⎠ ,

⎛

⎠ , eαA = ⎜

⎝

e −α

⎞

e 3α

e 3α α 1!

e 3α ⎟

⎠

e3α α2

2!

e 3α α 1!

e 3α

3.10 Matrius dependents d’una variable

Les successions numèriques es generalitzen de forma natural a matrius:

Definició.

(1) Una successió de matrius (o successió matricial)

A(0), A(1), A(2), ..., A(k), ...

és una aplicació que a cada k ∈ N fa correspondre una matriu A(k).

(1’) Equivalentment, és una ”matriu de successions” en el sentit que cada coeficient de A(k) és alhora

una successió numèrica a ij (k):

( )

a11 (k) ...

A(k) =

.

... ...

(2) El seu límit, limA(k), és la matriu amb coeficients lim a ij (k), si existeixen.

Exemple.

(1)

⎛

lim ⎜

⎝

k sin 1 k

k + 1

k 2 + 1

2 k+1 ⎞

(

( 2 k + 1

1 + 1 ) k

⎟ 1 2

⎠ = 0 e

k

)

.

(2) Exemples elementals són: la successió aritmètica i la geomètrica (de raó A): A 0 + kA, A 0 A k ,

respectivament.

(2’) En particular, ja hem vist que per a un bloc de Jordan A = J λ és:

⎛

⎞k

λ 0

⎛

⎞

λ 1 λ

k 0

A k = (J λ ) k =

. 1 ..

λ k−1( k) . ..

1

=

⎜

⎝

. ..

⎟ ⎜

λ ⎠ ⎝ λ k−2( k) . .. . ..

.

⎟

2

⎠

.

0 1 λ

. .. . .. . ..


(2”) Clarament, doncs:

lim(J λ ) k = O ⇐⇒ |λ| < 1.

Observacions.

(1) En particular, si A(k) són matrius columna (de vegades també per matrius fila) es diuen successions

vectorials.

(2) De manera natural es generalitzen a successions de matrius les regles de càlcul de límits (tenint

ben present la no commutativitat de matrius, en general):

lim A(k) = A

lim B(k) = B

}

=⇒

lim(A(k) + B(k)) = A + B

lim(A(k)B(k)) = AB

...

(3) També com en el cas de successions numèriques, a partir de A(k) es construeix una nova successió

formada per les sumes acumulades

A(0), A(0) + A(1), A(0) + A(1) + A(2), ...

que s’anomena la seva sèrie associada. El seu límit s’interpreta com la suma de tots els termes

de la successió inicial A(k).

Ho hem fet servir, sense formalitzar-ho, per definir l’exponencial e A com a límit de la sèrie

associada a (1/k!)A k :

e A = lim

(I + 1 1! A + 1 2! A2 + · · · + 1 )

k! Ak ≡ I + 1 1! A + 1 2! A2 + · · · + 1 k! Ak + · · ·

(4) La successió pot estar definida de forma explícita com en els exemples anteriors, però també de

forma implícita, per recurrència, per algorismes, ... Per exemple, es pot definir una successió de

complexos v(k) mitjançant:

Resulta:

v(k) és l’arrel k-èsima de 1, del primer quadrant, més pròxim a i.

v(1) = 1, v(2) = 1, v(3) = (1 + i √ 3)/2, v(4) = i, ...

lim v(k) = i

Aplicació. L’equació d’estats d’un sistema lineal de control

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); A ∈ M n (K), B ∈ M m×u (K)

dona, per a cada successió (matricial) de controls

u(0),u(1),...,u(k),...


i cada estat inicial x(0), una successió (vectorial) d’estats

x(1) = Ax(0) + Bu(0)

x(2) = Ax(1) + Bu(1) = Ax(0) + ABu(0) + Bu(1)

...

D’aquí que en la ”teoria de control lineal” jugui un paper clau la successió (matricial) de Kalman

C(k) = (B, AB, ..., A k−1 B).

També es generalitzen a matrius (en particular, a vectors) les habituals funcions escalars dependents

d’una variable contínua t ∈ R:

Definicions.

(1) Una funció a valors matricials (en particular, vectorials) és una aplicació que a cada t ∈ R fa

correspondre una matriu A(t).

(1’) Equivalentment, és una ”matriu de funcions” en el sentit que cada coeficient de A(t) és alhora

una funció (escalar) a ij (t):

( )

a11 (t) ...

A(t) =

.

... ...

(2) Els conceptes de límit, continuïtat, derivada, ... es generalitzen aplicant-ho a cada funció a ij (t).

Exemples.

(1) lim

0

⎛

⎝

⎞

sin t (

t ⎠ 1

=

t ln t 2 0

( sin t e

t

(2) D

1 ln(t 2 + 1)

Observacions.

)

.

⎛

)

= ⎝ cos t

0

et

2t

t 2 + 1

⎞

⎠.

(1) Les regles de derivació es generalitzen de forma natural, sempre tenint ben present la no commutativitat

del producte de matrius (en general):

D(A(t)B(t)) =

D(A(t) 3 ) =

D(A(t)) −1

(2) En particular, per a funcions vectorials:

Ȧ(t)B(t) + A(t)Ḃ(t)

Ȧ(t)(A(t))2 + A(t) A(t)A(t) ˙ + (A(t)) 2 A(t) ˙

= −(A(t)) −1 Ȧ(t)(A(t)) −1

D〈v(t), w(t)〉

D(v(t) ∧ w(t)) =

= 〈˙v(t), w(t)〉 + 〈v(t), ẇ(t)〉

˙v(t) ∧ w(t) + v(t) ∧ ẇ(t)


Les propietats que més ens interessen es recullen en la proposició següents:

Proposicions.

(1) Ja hem vist que

⎛

e tJ λ

= e λt ⎜

⎝

⎞

1 ... 0

.

t/1! .. . ..

t 2 .

/2! .. . ..

= e λt e tJ 0

.

⎟

⎠

.

. .. . ..

(1’) Se’n dedueix:

lim e tJ λ

= 0 ⇐⇒ R(λ) < 0.

+∞

(2) En general, per a qualsevol matriu quadrada A:

De tA = Ae tA = e tA A

Observacions.

(1) Anàlogament

D sin tA = Acos tA

D cos tA = −Asin tA

... ...

(2) Verifiquem la propietat (2) anterior per a A = J λ :

De tJ λ

⎛

= D(e λt e tJ 0

) = λe λt e tJ 0

+ e λt ⎜

⎝

⎞

0 0

.

1 .. . ..

.

t/1! .. . ..

=

⎟

⎠

.

. .. . ..

= λe λt e tJ 0

+ e λt Ne tJ 0

= (λI + N)e λt e tJ 0

= J λ e tJ λ

(3.C) Rang d’una matriu

3.11, 3.12 Transformacions ”pivot”. Matrius esglaonades

Definicions.

(1) Direm transformacions elementals (o simplement ”pivot”) per files d’una matriu:

• permutar dues files.

• multiplicar una fila per un escalar (no nul).


• sumar a una fila un múltiple d’una altra.

(2) Una matriu es diu r-esglaonada per files si és de la forma

(c 1 ) (c 2 ) (c r )

∗ ... ... ... ... ...

∗ ... ... ...

...

∗ ...

0

✻

r

❄

on ∗ indica escalars no nuls, situats en els ”esglaons”. Les columnes corresponents c 1 ,c 2 ,...,

s’anomenen columnes pivot.

(3) Es diu r-esglaonada reduïda si les columnes pivot estan formades per 0, excepte un 1 en la posició

∗.

Observació. Anàlogament es poden considerar transformacions elementals per columnes, formes esglaonades

per columnes, etc.

Exemples.

⎛

(1) A = ⎝

⎛

(2) B = ⎝

1 0 1 0 3

0 0 2 6 4

0 0 0 0 0

⎞

0 1 0 1 2 4

0 0 2 0 5 6

0 0 0 0 3 4

⎠ és 2-esglaonada, essent les columnes pivot les 1 i 3.

⎞

⎠ és 3-esglaonada, essent les columnes pivot les 2, 3 i 5.

Proposició. Tota matriu pot transformar-se mitjançant pivot per files en una esglaonada per files (més

encara, reduïda).

Exemple.

⎛

⎝

1 0 1 0 3

1 0 3 6 7

2 0 4 6 10

Matlab/Octave.

⎞

⎠

∼

II − I

III − 2I

∼

(1/2)II:

}

⎛

⎝

⎛

⎝

1 0 1 0 3

0 0 2 6 4

0 0 2 6 4

1 0 1 0 3

0 0 1 3 2

0 0 0 0 0

(1) rref(A) dona la forma esglaonada reduïda de A.

⎞

⎠

⎞

∼

III−II:

⎛

⎝

I−II:

⎠ ∼

⎛

⎝

1 0 1 0 3

0 0 2 6 4

0 0 0 0 0

1 0 0 −3 1

0 0 1 3 2

0 0 0 0 0

⎞

⎠ = A

⎞

⎠ = A red


(2) [R,jb] = rref(A) dona

- R: la forma esglaonada reduïda de A

- jb: columnes pivot (el vector format pels índex de les columnes pivot). Així, en l’exemple

anterior seria : jb = [1,3].

3.13, 3.14 Rang d’una matriu

Una mateixa matriu pot derivar en diferents formes esglaonades segons les transformacions de pivot que

s’apliquin. Però el nombre final d’esglaons sempre resulta el mateix:

Proposició. Donada una matriu A ∈ M m×n (K), el nombre d’esglaons en tota esglaonada per files

obtinguda per pivot per files és el mateix, amb independència de les transformacions aplicades i de la

forma final.

Definició. Donada A ∈ M m×n (K), el seu rang és el nombre d’esglaons referit a la proposició anterior:

A ∼

∗ ...

0

... ...

∗ ...

...

... ...

... ...

∗ ...

✻

r = rangA

❄

Observació. Es pot provar que

rang A = rang A ′ .

En particular, doncs, el pivot per columnes tampoc no altera el rang de la matriu.

Exemples.

(1) En els exemples anteriors:

rang A = 2; rang B = 3.

(2) Discutim, segons els valors de α, β ∈ R, el rang de la matriu

Per tant:

⎛

A = ⎝

1 0 2 3

2 α 4 −1

3 0 6 β

⎞

⎠ ;

• α = 0 =⇒ rang A = 2, per a qualsevol β.

• β = 9 =⇒ rang A = 2, per a qualsevol α.

• altrament, rang A = 3.

⎛

A ∼ ⎝

1 0 2 3

0 α 0 −7

0 0 0 β − 9

⎞

⎠ .


Matlab/Octave. El rang d’una matriu s’obté directament amb la comanda rank( ):

rang A = rank(A) (= length(jb), on [R,jb] = rref(A)).

Aplicació. Controlabilitat de Sistemes Lineals

(1) Un dels resultats fonamentals de la Teoria de Sistemes Lineals de Control és que un sistema

és completament controlable si i només si

Així, per al sistema de control

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), A ∈ M n , B ∈ M n×m ,

rang (B, AB, ..., A n−1 B) = n .

⎛

ẋ(t) = ⎝

1 1 2

0 0 α

1 0 1

⎞

⎛

⎠ x(t) + ⎝

estudiem la seva controlabilitat segons el valor de α ∈ R:

(B, AB, A 2 B) = ⎝

Clarament és controlable si, i només si, α ≠ 0.

⎛

1 1 3

0 0 α

0 1 2

⎞

1

0

0

⎛

⎠ ∼ ⎝

⎞

⎠u(t)

1 1 3

0 1 2

0 0 α

(2) Més en general, els índex de controlabilitat es calculen a partir dels rangs:

rang B

rang (B, AB)

rang (B, AB, A 2 B)

· · ·

rang (B, ..., A n−1 B).

⎞

⎠ .

3.15 Aplicació a la invertibilitat d’una matriu

Si A ∈ M n (K) té rang màxim, veurem que resulten ser compatibles determinats els sistemes d’equacions

per al càlcul de la inversa. També és clar que la forma esgraonada reduïda és la identitat. Per tant:

Proposició. Essent A ∈ M n (K):

(1) A és invertible ⇐⇒ rang A = n.

(2) A és invertible ⇐⇒ A ∼ I per pivot (de files).


Exemple. Reprenem un exemple anterior:

⎛

A = ⎝

1 0 3

2 α −1

3 0 β

Per tant: A invertible ⇐⇒ α ≠ 0 i β ≠ 9.

⎞

⎛

⎠ ∼ ⎝

1 0 3

0 α −7

0 0 β − 9

⎞

⎠ .

(3.D) Determinants.

3.16 Determinant d’una matriu quadrada

Donada A ∈ M n (K) es diu el seu determinant el resultat de sumar els productes de n coeficients, de

files i columnes diferents, amb totes les combinacions possibles i signes adequats:

Definició. - Essent A ∈ M n (K), el seu determinant es defineix mitjançant:

det A ≡ |A| = ∑ σ

ε(σ)a σ(1)

1 a σ(2)

2 ...a σ(n)

n ,

on:

• σ recorre les permutacions dels índexs {1, 2, ..., n}.

• ε(σ) = 1 (respect. ε(σ) = −1) si és parell (respect. imparell) el nombre de ”inversions” en la

n-pla (σ(1), ... , σ(n)), és a dir, el nombre de parelles (i, j) per a les quals σ(i) > σ(j).

Exemples.

(1) n = 2: det( a

1

1 a 1 2

a 2 1 a 2 2

⎛

(2) n = 3: det⎝

a 1 1 a 1 2 a 1 3

... ... ...

a 3 1 ... a 3 3

)

= a 1 1 a2 2 − a2 1 a1 2

⎞

⎠ = a 1 1 a2 2 a3 3 + a2 1 a3 2 a1 3 + a3 1 a1 2 a2 3 − a1 1 a3 2 a2 3 − a2 1 a1 2 a3 3 − a3 1 a2 2 a1 3

Observació. Esquemàticament, per a n = 2 ó n = 3:

Proposició (matrius triangulars).


(1) El determinant d’una matriu triangular és el producte dels elements de la diagonal principal:

a 1 1 ∗ ∗ ... ∗

0 a 2 2 ∗ ... ∗

... ... ... ... ...

= a 1 1 a2 2 ...an n .

∣

0 0 0 ... a n ∣

n

(2) Anàlogament per a matrius triangulars per blocs:

⎛

det⎜

⎝

A 1 1 ∗ ∗ ... ∗

0 A 2 2 ∗ ... ∗

... ... ... ... ...

0 0 0 ... A m m

⎞

⎟

⎠ = det(A1 1)(det A 2 2)... (det A m m).

Exemple.

⎛

⎞

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

det

0 0 11 12 13

= (1·7−6·2)(11·15·19+14·18·13+17·12·16−11·18·16−14·12·19−17·15·13)

⎜

⎟

⎝ 0 0 14 15 16 ⎠

0 0 17 18 19

Matlab/Octave. El determinant d’una matriu s’obté directament amb la comanda det( ).

3.17 Aplicacions geomètriques

Observación. Els determinants tenen àmplia utilització en geometria. Per exemple:

(1) Producte vectorial en R 3

Donats dos vectors de R 3 :

v = (a, b, c), v ′ = (a ′ , b ′ , c ′ )

el seu producte vectorial és

(∣ ∣ ∣∣∣

v ∧ v ′ b c ∣∣∣ =

b ′ c ′ , −

∣ a c

∣ ∣∣∣ a ′ c ′ ,

∣ a b

∣)

∣∣∣

a ′ b ′ ,

o més esquemàticament

⎛

v ∧ v ′ = det⎝

⎞

e 1 e 2 e 3

a b c ⎠ .

a ′ b ′ c ′

(2)

Àrees, volums, ...

Per a n = 2, l’àrea del triangle de vèrtexs (0,0), (a,b) i (a ′ ,b ′ ) és:

( ) a b

det

a ′ b ′ .


Per a n = 3, el volum del tetraedre de vèrtexs (0,0,0), (a,b,c), (a ′ ,b ′ ,c ′ ) i (a ′′ ,b ′′ ,c ′′ ) és:

3.18 Propietats del determinant

Proposicions. Essent A ∈ M n (K):

⎛

det ⎝

⎞

a b c

a ′ b ′ c ′ ⎠ .

a ′′ b ′′ c ′′

(1) Antisimètrica. Si Ã resulta de permutar dues files (o columnes), aleshores: det Ã = − detA.

(2) Multilinealitat. Ho enunciem per a la primera fila. És vàlid anàlogament per a altres files o

columnes:

⎛

a 1 1 + b1 1 a 1 2 + b1 2 ... a 1 n + ⎞

b1 n

(2.1) det ⎜ a 2 1 a 2 2 ... a 2 n ⎟

⎝ ... ... ... ... ⎠ =

a n 1 a n 2 ... a n n

⎛

(2.2) det ⎜

⎝

⎛

= det⎜

⎝

λa 1 1 λa 1 2 ... λa 1 n

a 2 1 a 2 2 ... a 2 n

... ... ... ...

a n 1 a n 2 ... a n n

(3) Transposició. det(A ′ ) = detA.

(4) Producte. det(AB) = (det A)(det B).

a 1 1 a 1 2 ... a 1 n

a 2 1 a 2 2 ... a 2 n

... ... ... ...

a n 1 a n 2 ... a n n

⎞

⎛

⎟

⎠ = λdet ⎜

⎝

⎞

⎛

⎟

⎠ + det ⎜

⎝

a 1 1 a 1 2 ... a 1 n

a 2 1 a 2 2 ... a 2 n

... ... ... ...

a n 1 a n 2 ... a n n

(5) Inversa. En particular, si A és invertible, det(A −1 ) = 1

det A .

Observacions. De la propietat (2) anterior es dedueix:

(1) En general: det(A + B) ≠ (det A) + (det B).

(2) Per a qualsevol λ ∈ K: det(λA) = λ n det A.

(3) det A = 0 en qualsevol de les situacions següents:

Exemples.

(3.1) Una fila (o columna) és nul·la.

(3.2) Dues files (o columnes) són proporcionals.

(3.3) Una fila (o columna) és combinació lineal de les altres.

b 1 1 b 1 2 ... b 1 n

a 2 1 a 2 2 ... a 2 n

... ... ... ...

a n 1 a n 2 ... a n n

⎞

⎟

⎠ .

⎞

⎟

⎠ .


⎛

(1) det ⎝

⎛

(2) det ⎝

1 2 12

3 4 34

5 6 56

1 2 3

4 5 6

7 8 9

⎞

⎞

⎠ = 0.

⎠ = 0.

3.19 Menors: d’ordre k; complementaris; principals

Definicions.

(1) Essent A ∈ M n (K), no necessàriament quadrada, s’anomena un seu k-menor (o menor d’ordre

k) al determinant de qualsevol submatriu quadrada k × k.

(2) En particular, si A ∈ M n (K) és quadrada i Â i j la matriu adjunta de l’element ai j

que resulta de suprimir la fila i-èsima i la columna j-èsima), s’anomena:

(és a dir, la

(2.1) det Âi j = menor complementari de ai j .

(2.2) (−1) i+j detÂi j = adjunt de ai j .

(3) Igualment per A ∈ M n (K) quadrada, els seus k-menors principals són els determinants de les

submatrius que resulten de suprimir (n −k) files i les (n −k) columnes dels mateixos índexs. És

a dir, k-submatrius distribuïdes simètricament respecte a la diagonal principal.

Exemples.

(1) Per a la matriu A =

(2) Per a la matriu A = ⎝

columna són:

( 1 2 3

4 5 6

⎛

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(3) Per a la mateixa matriu A de (2):

)

, els seus 2-menors són

∣ 1 2

∣ ∣ ∣∣∣ 4 5 ∣ ; 1 3

∣∣∣ 4 6 ∣ ; 2 3

5 6 ∣ .

⎞

⎠, els seus menors complementaris dels elements de la primera

det Â1 1 =

∣ 5 6

8 9 ∣ ; det Â2 1 =

∣ 2 3

8 9 ∣ ; detÂ3 1 =

∣ 2 3

5 6 ∣ .

• 1-menors principals: |1|, |5|, |9|.

• 2-menors principals:

∣ 1 2

∣ ∣∣∣ 4 5 ∣ , 1 3

7 9

1 2 3

• 3-menors principals:

4 5 6

∣ 7 8 9 ∣ .

∣ ∣∣∣ ∣ , 5 6

8 9

∣ .

3.20 Càlcul de determinants

Proposicions (mètode de Gauss)- - Essent A ∈ M n (K):


(1) El seu determinant no varia per ”pivot restringit”:

• Sumar a una fila (o columna) una combinació lineal de les altres.

(2) Mitjançant ”pivot restringit”, A pot transformar-se en una matriu triangular (o triangular per

blocs) que permet el càlcul directe del seu determinant.

Exemple. Sigui A =

⎛

⎜

⎝

3 −2 0 −1

0 2 2 4

3 −6 −9 −6

0 1 2 1

⎞

⎟

⎠ .

(1) Simplifiquem la matriu per ”pivot restringit”:

Per tant: detA = 3

∣

III − I :

2 2 4

−4 −9 −5

1 2 1

A ∼

⎛

⎜

⎝

(2) Alternativament, podem simplificar més la matriu:

3 −2 0 −1

0 2 2 4

0 −4 −9 −5

0 1 2 1

⎞

⎟

⎠ .

= 3(−18 − 10 − 32 + 36 + 20 + 8) = 12.

∣

}

III + 2II

IV − 1 2 II : ... ∼

Per tant: detA = 3 · 2 ·

∣ −5 3

1 −1 ∣ = 3 · 2(5 − 3) = 12.

(3) Encara la podríem haver simplificat més:

Per tant: detA = 3 · 2 · (−5) ·

⎛

IV + 1 5 III : · · · ∼ ⎜

⎝

( ) −2

= 12.

5

⎛

⎜

⎝

3 −2 0 −1

0 2 2 4

0 0 −5 3

0 0 1 −1

3 −2 0 −1

0 2 2 4

0 0 −5 −3

0 0 0 −2/5

Observació. Podem emprar el pivot general (no restringit) per calcular el determinant d’una matriu A

si tenim cura que:

• al permutar dues files o columnes, cal canviar-li el signe.

⎞

⎟

⎠ .

⎞

⎟

⎠ .


• al dividir una fila o columna per un escalar, cal multiplicar-lo pel mateix escalar.

Així, en l’exemple anterior:

⎛

det⎜

⎝

3 −2 0 1

0 2 2 4

3 −6 −9 −6

0 1 2 1

⎞ ⎛

⎟

⎠ = 6det ⎜

⎝

⎛

= 6det ⎜

⎝

= −6det ⎜

⎝

3 −2 0 1

0 1 1 2

1 −2 −3 −2

0 1 2 1

1 −2 −3 −2

0 4 9 5

0 1 1 2

0 1 2 1

⎛

⎞ ⎛

⎟

⎠ = 6det ⎜

⎝

⎞

1 −2 −3 −2

0 1 1 2

0 0 5 −3

0 0 1 −1

⎛

⎟

⎠ = 6det ⎜

⎞

⎝

0 4 9 5

0 1 1 2

1 −2 −3 −2

0 1 2 1

1 −2 −3 −2

0 0 5 −3

0 1 1 2

0 0 1 −1

⎞

⎟

⎠ =

⎞

⎟

⎠ = −6 · 1 · 1 · (−5 + 3) = 12.

⎟

⎠ =

Proposició (desenvolupament per una fila o columna). Per la fila i 0 :

detA =

n∑

(−1) i0+j a i 0

j (detÂi 0

j

),

j=1

on recordem que Âi 0

j

indica la submatriu adjunta de a i 0

j

.

Exemples. Per a la mateixa matriu A de l’exemple anterior:

(1) Per la primera fila:

det A = 3

∣

2 2 4

−6 −9 −6

1 2 1

∣ ∣∣∣∣∣ 0 2 4

∣ − (−2) 3 −9 −6

0 2 1

∣ ∣∣∣∣∣ 0 2 2

∣ + 0 − (−1) 3 −6 −9

0 1 2

∣ .

(2) Per la primera columna:

detA = 3

∣

2 2 4

−6 −9 −6

1 2 1

∣ ∣∣∣∣∣ −2 0 −1

∣ − 0 + 3 2 2 4

1 2 1

∣ − 0.

Observació. La proposició anterior és un cas particular del ”mètode de Laplace”, que considera desenvolupaments

per diverses files o columnes alhora.

3.21 Alguns determinants rellevants

Exemples.


(1) (determinant de Vandermonde)

∣ 1 a ∣

0 ∣∣∣

= a 1 − a 0

1 a 1 1 a 0 (a 0 ) 2 ∣ ∣∣∣∣∣ 1 a 1 (a 1 ) 2 = (a 2 − a 1 )(a 2 − a 0 )(a 1 − a 0 )

∣ 1 a 2 (a 2 ) 2

...

1 a 0 (a 0 ) 2 ... (a 0 ) n ∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 a 1 (a 1 ) 2 ... (a 1 ) n

= Π 0≤i<j≤n (a j − a i ) =

... ... ... ... ...

∣

1 a n (a n ) 2 ... (a n ) n

= (a n − a n−1 )... (a n − a 0 )(a n−1 − a n−2 )... (a n−1 − a 0 )...(a 1 − a 0 ).

(1’) En particular, observem que

detV (a 0 ,... ,a n ) ≠ 0 ⇐⇒ a 0 , a 1 ,...,a n

són diferents.

(2)

∣

α 1 1 ... 1

1 α 1 ... 1

... ... ... ... ...

1 1 1 ... α

= (α − 1) n−1 (α + n).

∣

3.22 Aplicació al càlcul del rang d’una matriu (per menors)

Si A és una matriu esglaonada per files és clar que:

Per tant:

• el r-menor format per les r primeres files de les columnes pivot és no nul.

• són nuls tots els menors d’ordre superior.

Proposició. Essent A ∈ M m×n (K):

Exemples.

(1) Ja havíem vist que rang A = 2 per a

rang A = l’ordre màxim dels menors no nuls.

⎛

A = ⎝

1 0 1 0 3

1 0 3 6 7

2 0 4 6 10

⎞

⎠ .


En efecte, tots els 3-menors són nuls:

∣

1 1 0

1 3 6

2 4 6

∣ ∣∣∣∣∣ 1 1 3

∣ = 1 3 7

2 4 10

∣ ∣∣∣∣∣ 1 0 3

∣ = 1 6 7

2 6 10

∣ ∣∣∣∣∣ 1 0 3

∣ = 3 6 7

4 6 10

∣ = 0.

En canvi, hi ha 2-menors no nuls, com ara:

∣ 1 1

1 3

∣ = 2 ≠ 0.

(2) Refem un altre exemple anterior:

⎛

A = ⎝

1 0 2 3

2 α 4 −1

3 0 6 β

⎞

⎠ .

Clarament, per a tot α i β, hi ha 2-menors no nuls, com ara

∣ 2 3

4 −1

∣ = 2 ≠ 0 .

Per tant, rang A serà com a mínim 2, i serà 3 per als valors de α i β per als quals hi hagi

algun 3-menor no nul.

• Si α = 0, tots els 3-menors són nuls; per tant, rang A = 2.

• Si α ≠ 0, clarament:

∣

∣

1 0 2

2 α 4

3 0 6

1 0 3

2 α −1

3 0 β

∣ ∣∣∣∣∣ 1 2 3

∣ = 2 4 −1

3 6 β ∣ = 0

∣ ∣∣∣∣∣ 0 2 3

∣ = α(β − 9); α 4 −1

0 6 β

= −α(2β − 18).

∣

Per tant: rang A = 3, si β ≠ 9; rang A = 2, si β = 9.

3.23 Aplicació a la invertibilitat d’una matriu i al càlcul de la seva inversa (per menors)

Clarament, A ∈ M n (K) té rang A = n si i només si det A ≠ 0. Per tant:

Proposició. Essent A ∈ M n (K):

(1) A és invertible si i només si det A ≠ 0.

(2) Aleshores: A −1 = 1

det A (αi j ), on αi j = (−1)i+j (Âj i ).


Exemples.

(1) A =

( a b

c d

)

és invertible si i només si ad − bc ≠ 0. Aleshores:

( )

A −1 1 d −b

=

ad − bc −c a

⎛

(2) A = ⎝

1 4 8

0 1 2

−1 2 3

⎞

⎠

detA = 1

∣ 1 2

∣ ∣∣∣ 2 3 ∣ + (−1) 4 8

1 2 ∣ = −1;

α 1 1 =

1 2

∣ 2 3 ∣ = −1;

α2 1 = −

0 2

∣ −1 3 ∣ = −2; α3 1 =

∣

per tant, és invertible.

0 1

−1 2

∣ = 1;

etc.

En definitiva:

⎛

A −1 = 1 ⎝

−1

−1 ...

−2 ...

1 ...

⎞

⎛

⎠ = ⎝

⎞

1 −4 0

2 −11 2 ⎠ .

−1 6 −1

Tema 4

Sistemes d’Equacions

4.1, 4.2, 4.3.- Sistemes d’equacions.

Observació – Els sistemes d’equacions lineals poden abordar-se des de diferents punts

de vista:

(1) Plantejament paramètric.

En el plantejament clàssic ens preguntem pel valor d’unes incògnites

satisfacin unes relacions del tipus:

x , ,

1

x que n

a

a

11

x

1

x

a

1n

a

x

mn

n

x

n

b

m1

1

1

b

m

on

a , b són escalars prefixats.

ij

i

(2) Plantejament vectorial.

Es pot replantejar en la forma

a

am

11

1

x

1

a1

a

n

mn

x

n

b1

bm

de manera que

vectors columna

(3) Plantejament matricial.

x , , x són els possibles coeficients d’una combinació lineal dels n

1

n

a , 1

,a n

m que donin el vector columna b

a

a

am

,

,

a

a1

a

11

n

1 n

,

1

mn

b1

b

bm

m , on:

Com veurem, resulta molt operativa la formulació com equació matricial Ax = b:

a11

am1

1

a1

n

x1

b

a

mn

xn

b

m

4.1

Def. –

(1) Un sistema d’equacions lineal és una relació de la forma:

Ax b

on A a ) , 1 i m , 1 j n , i

( ij

x )

t

( x 1

x n

són incògnites a determinar.

b )

t

( b 1

b m

són dades prefixades i

(2) El sistema es diu homogeni si b 0 . En cas contrari se’n diu complet i aleshores

s’anomena homogeni associat al que resulta de substituir b per 0.

(3) Anomenarem:

A : matriu del sistema

(A, b) : matriu ampliada

b

i

,,

b m

: termes independents

(4) Els valors de les incògnites compatibles amb la relació Ax b s’anomenen

solucions. El sistema es diu compatible/incompatible segons hi hagi o no,

respectivament, alguna solució.

(5) Si el sistema és compatible, s’anomena determinat/indeterminat segons tingui una

única solució o bé més d’una, respectivament.

(6) En el darrer cas, direm ordre (o grau) d’indeterminació al nombre d’incògnites que

poden fixar-se arbitràriament per tal que les altres tinguin solució única.

Obs. –

(1) Tot sistema homogeni és compatible, ja que com a mínim té la solució x 0.

(1’) Si el sistema és determinat, no n’hi ha cap altra.

(1”) El conjunt de solucions s’anomena el nucli de A (i s’escriu NucA, KerA, NullA, ...):

n

n

x

K : Ax

K

NucA 0

(2) A priori, no és evident que “l’ordre de indeterminació” estigui sempre ben definit: el

nombre d’incògnites arbitràriament fixades podria dependre de quines triéssim, o bé

dels valors prefixats. Veurem que no és el cas, i en aquest sentit s’anomena també el

nombre de graus de llibertat del sistema.

(2’) Veurem també quines incògnites poden actuar com variables (o paràmetres)

independents, de manera que els seus valors determinin unívocament els de les

altres (variables dependents).

(3) Se’n diu aïllar una variable expressar-la en termes de la resta.

4.2

(3’) En particular, veurem que en sistemes indeterminats les variables dependents poden

aïllar-se en funció de les independents. Aquesta presentació s’anomena solució

parametritzada del sistema.

4.4, 4.5.- Exemples.

Exem. – El clàssic trencaclosques infantil de determinar quantes gallines i quants conills

haurien d’haver per tal que el nombre total de potes fos P i el de caps C, el platejaríem

2x

4y

P

x y C

on x, y representen el nombre de gallines i de conills respectivament.

Analíticament, el sistema és compatible determinat:

x

4 C P P 2

, y

C

2

2

Tanmateix, perquè la solució tingui significat real, cal:

4C P 2C

0; P, parell

P

concordant amb l’apreciació òbvia que 2 4 . C

En particular, si

4 C P , tot són conills; si P 2C

, tot són gallines.

Exem. – Fluxos en xarxes

(1) En una xarxa orientada com la de la figura

ens preguntem pels possibles fluxos x1 , , x8

en cada branca per tal no hi hagi

acumulacions ni dèficits en cada nus, és a dir, que el balanç d’entrades i sortides en

cada nus sigui nul. Així:

nus 1: x x x x 0

5 6 7 8

1

x4

x5

nus 2: x

0

4.3

etc.

En definitiva

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

x1

0

0

0

0

0

0

0

1

x8

0

És força evident que les 4 últimes donen:

x

x

x

x

5

6

7

8

x

1

x

1

x

x

x

3

2

4

x

2

x

x

4

3

i que aleshores la primera també es compleix. Doncs:

les expressions anteriors donen la solució parametritzada del sistema, amb

x , x , x x com variables independents,

1 2 3,

4

el sistema és compatible indeterminat, d’ordre 4

(2) Si suposem ara que en cada nus hi ha entrada / sortida (segons el signe) externa

1 , ,

5

de manera que el balanç global és nul, les equacions relatives als nusos

2,

4 serien:

x

x

x

x

5

6

7

8

x

1

x

1

x

x

x

3

2

4

x

2

x

x

4

3

2

3

4

5

i la del nus 1 es compliria igualment ja que hem suposat

1

2

3

4

5

Es tractaria doncs, d’un sistema complet, on com abans:

les expressions anteriors donen la solució parametritzada del sistema, amb

x , x , x x com variables independents,

1 2 3,

4

el sistema és compatible indeterminat, d’ordre 4

0

4.4

(3) Observem que el raonament és independent de la naturalesa del flux: intensitats de

corrent en una xarxa elèctrica (1a llei de Kirchoff), peces en una cadena de

muntatge, vehicles en una xarxa viària, ... També del tipus d’escalars: reals per

corrents continus, complexos per corrents alterns, ...

Exem. – Models de dieta

Suposem que m components bàsics

designem per:

C , ,C

P

1,

, P . Si

1

m

són presents en n productes

n

a

ij

pes de C

i

en un gram de

P

j

els vectors

a

a

am

11

,

a

1

,

1

n

a1

a

n

mn

representen, per a cada producte

P , ,

1

Pn

, les seves aportacions als diferents

b

1,

,bm

d’aquests

components bàsics de manera que si volem tenir una quantitat

components, les solucions del sistema

a

am

11

1

x

1

a1

a

n

mn

x

n

b1

bm

donen les quantitats necessàries

1

x , ,

1

xn

de cada producte. En efecte, per al component

C , per exemple, tindríem, igualant les primeres coordenades

a

11x1

a1

n

xn

b1

i anàlogament per els altres.

Com la seva denominació indica, inicialment es va plantejar per l’alimentació:

C : les proteïnes, carbohidrats, ...

i

i

b : necessitats dietètiques de cadascun d’aquests components

P : els aliments disponibles.

j

Per exemple, la dieta de Cambridge, tan popular a la dècada dels 80.

Tanmateix s’aplica també a les aleacions, la contaminació, etc.

4.5

4.6.- Relació amb l’homogeni associat.

Hi ha relació immediata entre les solucions d’un sistema complet i les de l’homogeni

associat:

Prop. - (relació amb l’homogeni associat)

Donat un sistema complet compatible

i x

0

una solució particular:

Ax b , A M

mxn

( )

(1) { solucions dels sistema complet } =

= x

0

+ { solucions de l’homogeni associat }

(2) En particular és determinat si i només ho és l’homogeni associat.

(3) En cas contrari, tots dos tenen el mateix ordre d’indeterminació i admeten les

mateixes variables independents.

Exem. –

En l’exemple de flux en xarxa anterior, les solucions del sistema complet (2) resulten

ser les de l’homogeni (1) més la particular:

x

( 0,0,0,0,

2

,

3,

4

,

5

)

0

4.7.- El mètode de Gauss.

Un mètode clàssic de resolució consisteix a simplificar el sistema inicial mitjançant

transformacions en les equacions que no alterin les solucions: les transformacions que

actualment anomenem “pivot” per files.

Exem. – Considerem:

x y 3

x 3y

6z

7

2x

4y

8z

12

(1) Clarament podem substituir la tercera per

x 2y

4z

6

Si tant a la segona com la tercera restem la primera:

4.6

x y 3

2y

6z

4

y 4z

3

Si dividim per 2 la segona, i la restem a la tercera:

x y 3

y 3z

2

z 1

Ara la solució és immediata:

z 1,

y 1,

x 4

(2) Podríem haver simplificat encara més abans de resoldre: a la segona restem el

triple de la primera, i la obtinguda així la restem de la primera

x

y

z

4

1

1

Sistema trivial, que dona les solucions directament.

Aquest mètode es pot esquematitzar com a pivot per files de la matriu ampliada:

Prop. – Donat el sistema

Ax b

Si transformem la seva matriu ampliada mitjançant pivot per files

( A,

b)

~ ( A

, b)

el nou sistema

A

x b

té les mateixes solucions que l’inicial

Exem. – Refem l’exemple anterior pivotant per files la matriu ampliada. Observem que

en cada pas anem obtenim els sistemes successius anteriors:

4.7

Obs. -

(1) Si ( A , b)

és esglaonada per files, s’aprecia immediatament si el sistema és

compatible, i aleshores les solucions es troben fàcilment.

(1’) Més encara si és esglaonada reduïda: prenent com variables dependents les

corresponents a les columnes pivot, obtenim directament la solució parametritzada.

(2) Per sistemes homogenis, podem també permutar columnes de la matriu A, que

equival simplement a permutar les incògnites corresponents.

(2’) Si el sistema és complet, cal també permutar els termes independents corresponents.

4.8.- El teorema de Rouché-Frobënius. Resolució de sistemes per pivot.

Com s’ha fet notar en les observacions anteriors, un cop esglaonada la matriu ( A , b)

el

teorema següent és ben clar:

Teorema – Considerem el sistema d’equacions

(1) El sistema és compatible si i només si:

Ax b , A M

mxn

( )

rangA rang( A,

b)

( r)

(2) Aleshores el sistema és determinat si i només si:

n r

(3) Altrament el sistema és indeterminat d’ordre n r .

Obs. – Recopilant aquest resultat i els de l’apartat anterior:

(1) El sistema es compatible si, i només si, pivotant per files resulta:

4.8

(2)

(2) Si r=n, el sistema és determinat, i la solució única es troba fàcilment a partir

d’aquest sistema simplificat.

(2’) Més encara, si pivotem fins la forma esglaonada reduïda, la columna addicional

dona directament la solució.

(3) Si r<n, el sistema és (n-r)-indeterminat i d’aquesta forma reduïda és fàcil aïllar les

incògnites corresponents a les columnes pivot ( x i

; i c , 1

, cr

) en funció de les altres

n r , de manera que podem prendre com variables independents les que no

corresponen a columnes pivot.

(3’) Més encara, en la forma esglaonada reduïda apareixen ja aïllades les incògnites

corresponents a les columnes pivot (variables dependents), de manera que dona

directament la solució parametritzada del sistema

Matlab/Octave.- Aquesta operativa pot implementar-se simplement amb:

Aamp = [A,b]

[R,jb] = rref(Aamp)

(1) Resulta:

incompatible l’últim índex de jb és n+1

(2) En cas compatible:

determinat lengt(jb) = n

(2’) Aleshores:

la solució (única) és la darrera columna de R

(3) Si és compatible indeterminat, una solució parametritzada s’obté:

prenent com variables dependents les dels índex en jb,

les quals en R apareixen ja aïllades


ordre de indeterminació = n – length(jb)

4.9

(4) Optativament, com comprovació prèvia es pot aplicar Rouché-Frobenius tot

comparant:

rank(A), rank(Aamp), n

Exem. - Discutim, segons els valors de

Pivotant la matriu ampliada obtenim:

x y 3

x 3y

6z

7

x 2y

z

, , el sistema d’equacions:

(1) Si 3 i 5

, el sistema és incompatible, ja que

rang A = 2; rang (A,b) = 3.

En efecte, la tercera equació resulta

0 5 0

(2) Si 3 , el sistema és compatible determinat ja que:

rang A = rang (A,b) = 3.

(2’) Del sistema simplificat final resulta:

trivialment resoluble.

z ( 5) ( 3)

y 2 z

x 3 y

(2”) També podem continuar pivotant fins a l’esglaonada reduïda: si escrivim

( 5) ( 3)

Ara el sistema simplificat final dona directament la solució:

4.10

x 1

3

y 2 3

z

(3) Si 3 i 5:

El sistema és compatible 1-indeterminat ja que:

rang A = rang (A,b) = 2.

(3’) El sistema simplificat final és:

x 3z

1

y 3z

2

Podem aïllar les incògnites de les columnes pivot, resultant la solució

parametritzada, amb z com variable independent:

x 1

3z

y 2 3z

( 3”) Per z = 0 obtenim la solució particular:

x = 1, y = 2

El sistema homogeni associat te solució parametritzada:

x 3z

y 3z

4.9.- Cas particular de sistemes quadrats.

Igualment del teorema anterior es deriva, per sistemes quadrats:

Corol. (cas particular n = m) –

Essent el sistema

Ax b , A M

n

( )

4.11

(1) Qualsevol que sigui b, és compatible determinat si i només si A és regular, és a dir

(1’) O equivalentment

det A 0

rangA n

(2) Aleshores la solució (única) x

0

és:

x

0

A

1

b

(2’) Alternativament, pot obtenir-se pivotant fins a la forma esglaonada reduïda:

( A,

b)

~ ( I,

A

Exem. – Refem l’exemple anterior

2x 4y P

x y C

1 b

)

(1)

2

4

A

1

1

det A 2 4 2

0

(2)

A

1

1

2

x

A

y

1

1 4

1 1

1

2 2 1

P

1

P 4C

C

2 P 2C

4

2

(2’)

Matlab/Octave.- La comanda

A \ b

dóna directament la solució (única) si el sistema és compatible determinat.

Si no ho és (fins i tot si no és quadrat) dona una solució aproximada i una alerta d’error.

4.12

4.10.- Regla de Cramer.

Si en el corol·lari anterior tenim en compte la fórmula de càlcul de

resulta:

1

A per menors

Prop. (regla de Cramer) –

Essent un sistema quadrat complet:

Ax b

a11

A

an1

a1

n

,

a

nn

b

b

bn

1

(1) El sistema és compatible determinat si i només si

det A 0

(2) Aleshores, la coordenada i-èsima de la solució (única) x

0

ve donada per:

on la columna i-èsima de A ha estat substituïda per la de termes independents.

Exem. – Refem l’exemple anterior

x y 3

x 3y

6z

7

2x

4y

8z

12

det A

1

1

2

1

3

4

0

6

8

24 12

24 8 4 0

x

1

4

3

7

12

1

3

4

0

1

6 (72 72 72 56)

4

8

0

4

4.13

y

z

1

4

1

1

2

3

7

12

0

1

6 (56 36 72 24)

4

8

0

1

4

1

1

2

1

3

4

3

7

0

12

1

1

4.11.- Sistemes simultanis.

També del corol·lari anterior resulta la possibilitat de resoldre simultàniament diversos

sistemes amb la mateixa matriu:

Corol. (sistemes simultanis) –

Essent

A M

n

( ), regular, considerem els sistemes

Ax b , , Ax

1

b s

Tots ells són compatibles determinats, i les seves solucions poden obtenir-se “pivotant

conjuntament”:

Exem. – Essent

( A,

b , , b

)~ ( I,

A

b , ,

A

1

1

1 s

1

s

b

)

1

A 0

1

4

1

2

8

2

3

considerem els sistemes:

Ax e 1

, e2

Ax , Ax e3

Podem resoldre’ls simultàniament mitjançant:

1

( A,

e1 , e2

, e3)

0

1

1

4 8 1

~ 0

1 2 0

0

0 1

1

4 8 1 0

1 2 0 1

2 3 0 0

0 0

1

1 0

~ 0

6 1

0

0

1

0

~ 0

1

0

4 0

1 0

0 1

4

1

6

9

2

1

8 1

2 0

11 1

48

11

6

0 0

1 0

~

0 1

8

1

0

2

~ 0

1

1

0

0

0

0

1

1

2

1

4

11

6

0

2

1

4.14

Les tres darreres columnes són les solucions respectives dels tres sistemes considerats.

Matlab/Octave.- Com abans, directament

A \ [b 1 , ..., b s ]

4.12, 4.13, 4.14.- Càlcul de la inversa de una matriu per pivot.

Recordem que una matriu

A ( ) és invertible si i només si rangA n , o

M

n

equivalentment det A 0 . Hem vist també com la inversa

menors. Vegem ara que pot calcular-se pivotant.

En efecte, si

matricial

és a dir:

A M

n

( ) és invertible, la seva inversa

AX I

1

A pot calcular-se per

1

A és la solució del sistema

a11

an1

a1

n

x11

a

nn

xn

1

x1

n 1

x

nn 0

0

0

0

1

Equivalentment, cal resoldre els n-sistemes

1

0

x11

xn

1

0

A , , A

0

x

n1

xnn

0

1

Ja hem vist abans que és possible resoldre simultàniament diversos sistemes amb la

mateixa matriu, de manera que tenim:

Prop. – Si

A M

n

( ) és invertible, la seva inversa pot calcular-se pivotant per files:

( A , I)

~ ( I,

A

1

)

Exem. – Reprenent l’exemple anterior per

1

A 0

1

4

1

2

8

2

3

4.15

havíem obtingut:

Per tant:

A

1

1

2

1

4

11

6

0

2

1

4.16

Tema 5

Espais Vectorials

5.0. - Introducció.

La noció “espai vectorial” permet tractar unificadament situacions molt diferents,

referint-les a un model especialment simple, de manera que les operacions i càlculs

puguin reduir-se a les anàlogues en el model.

Per exemple, el model

3 = x x = ( x , y,

z);

x,

y,

z

permet tractar conjuntament els casos següents (i més en general, tots els espais

vectorials sobre , de dimensió 3, com veurem). El punt clau és representar els objectes

considerats en cada cas mitjançant 3 nombres reals, de manera que cada objecte pot

identificar-se amb un element del model

3 .

(0) Els punts de l’espai ordinari.

(1) Les magnituds vectorials habituals: forces, velocitats, acceleracions, ...

(2) Els polinomis de grau 2 (o menor).

(3) Les matrius 2x2 simètriques.

(4) Els modes de vibració del sistema mecànic.

(5) Les configuracions d’una estructura porticada de 3 plantes.

(6) Les formes de col·lapse d’un puntal vertical d’una prestatgeria metàl·lica.

(7) Les configuracions elèctriques (corrents, tensions, ...) d’una xarxa de la forma

5.1

segons els consums i les generacions en cada branca.

(8) Les successions a , a , ,

a , ) que compleixen la relació de recurrència

(

1 2 k

k 3

2ak

2

ak

1

a 2a

k

(9) Els colors: és il·lustratiu el funcionament de les impressores de fotos senzilles, per

aplicació successiva de 3 tintes.

(10) Les composicions de la dieta bàsica (proteïnes, greixos, carbohidrats).

(11) En el model de Jukes-Cantor sobre transformacions de cadenes de ADN, les

proporcions dels nucleòtids bàsics (adenina, citosina, guanina, timina).

(12) Les poblacions en els models poblacionals de Leslie, quan es consideren 3 cohorts

d’edat. Per exemple, en el conegut estudi del mussol americà: joves, subadults,

adults.

(13) En l’evolució d’ecosistemes, quan es consideren cadenes simples com ara herba /

herbívor / carnívor.

Observacions –

(1) Sovint en hem de restringir a una regió de l’espai vectorial. Per exemple, on siguin

positives determinades magnituds (poblacions, masses, ...).

(2) Quan en l’exemple (7) considerem corrents alterns, el model de referència és C 3 , ja

que aleshores les magnituds elèctriques es representen per nombres complexos (en

lloc de reals, vàlids per corrents continus). Igualment es generalitzen a C 3 els

exemples (2), (3), ...

5.1, ... , 5.4.- Espais vectorial: definicions i exemples.

Def. – Considerem

un “cos” d’escalars (o coeficients) ; habitualment = ó C

un conjunt de “vectors“ E

una suma de vectors

un producte d’un escalar per un vector

Es diu que E és un espai vectorial sobre

sii:

u ( v w)

( u v)

w

u , v,

w E

5.2

u v v u

u, v E

únic “vector nul” 0: u 0 u , u E

u E, únic “vector oposat”, u : u ( u)

0

( )

u (

u)

, , u

( )

u u

u

, , u

( u v)

u

v

, , u, v

1 u u

u E

Obs. –

(1) Emprarem el mateix símbol per:

- l’escalar zero, 0

- el vector nul, 0 E

(2) Es un bon exercici verificar a partir de les condicions anteriors certes propietats

senzilles, com ara:

v 0 0 ó v 0

(2’) Alertem que una propietat anàloga és certa per al producte de 2 escalars, però no

pas en altres casos. Per exemple, no és cert per matrius:

1

0

10

00

1 0

1

0

0

0

Exem. –

(1) Els de (5.0), i les seves generalitzacions a “dimensions superiors”.

(2) En particular:

(2.1)

n = x ... x = ( x 1

, ,

x n

) : x i

(2.2) els polinomis: 0[t] 1 [t] 2[t] [t]

(2.3) les matrius: M

n , m

( ) =

1

x1

n

x1

(3) Altres, de “dimensió infinita”:

1

x

m

n

x

m

(3.1) les successions: ( a

0,

a1,

,

a k

, );

a k

5.3

n

(3.2) les funcions: f :

així com els subconjunts de les contínues, derivables, ...

m

Obs. – Les operacions poden tenir significats o interpretacions ben diferents en cada

cas. Per exemple, les “sumes”:

de vectors: regla del paral·lelogram

de funcions: suma d’ordenades per a cada abscissa.

de colors: superposició de tintes

En cada cas cal verificar l’associativitat, commutativitat, etc.

Def.- En les condicions anteriors, un vector de la forma

1

v1

s

v s

se’n diu combinació lineal dels

v , ,v

, 1

, .

amb coeficients 1 s

s

Obs. – En les combinacions lineals no cal especificar l’ordre de les operacions gràcies a

les propietats de commutativitat, associativitat i distributivitat en la definició anterior.

Exemples i aplicacions.-

2 n

(1) Tot polinomi és combinació lineal dels monomis 1, t , t , , t ,

(2) Cinemàtica i dinàmica de masses.

(2.1) Si en els punts x , 1

, x de 3 s

hi ha concentrades masses puntuals m , 1

,ms

respectivament, el centre de masses del sistema ve donat per la combinació lineal

m1

M

x

1

m s

x

M

s

on

M

m

1

ms

(2.2) Si la velocitat dels punts anteriors és x x

1

, ,

s

, la quantitat de moviment del

sistema és

m x

1

1

m s

x

s

(2.3) Si l’acceleració dels punts anteriors és x

x

1

, ,

s

, la força d’inèrcia del sistema és

m x

1 1

m s

x s

5.4

(3) Models de dieta.

Suposem que una dieta contempla la ingesta diària de

m , ,m grams de s

aliments, i suposem que cadascun conté p

i

, g

i

, ci

grams de proteïnes, greixos i

carbohidrats per cada gram de l’aliment corresponent, i 1, s

. Aleshores, la

ingesta diària dels components bàsics esmentats ve donada per la combinació lineal

m v

1

1

m s

v s

1

s

on

v

i

p , g , c )

(

i i i

3 , 1 i s .

(4) Estats consecutius en un sistema discret de control.

(4.1) Considerem el sistema discret de control

1

1 0 0

x ( k 1)

Ax(

k)

bu(

k);

A 0

1 1 ,

b 0

1

0 1

1

on u ( 0), u(1),

indiquen els controls externs aplicats en cada pas. Si partim de

l’estat inicial x ( 0) 0 , els estats consecutius venen donats per les combinacions

lineals:

0

x(1)

A

0 b u(0)

0u(0)

1

0 0

x(2)

A

x(1)

b u(1)

1 u(0)

0

u(1)

1

1

1

0 0

x(3)

A

x(2)

b u(2)

0u(0)

1 u(1)

0u(2)

1

1

1

1

1

0 0

x(4)

A

x(3)

b u(3)

1u(0)

0u(1)

1 u(2)

0u(3)

0

1

1

1

k

(4.2) Per exemple, si u ( k)

( 2)

(1, 2,4, 8, )

, serà

5.5

0

0 0

x (1) 0,

x(2)

0 ,

x(3)

2,

0

2

6

(4.3) En general, l’estat x ( k 1)

ve donat per la combinació lineal dels vectors

A k b, , Ab,

b , amb coeficients u( 0), , u(

k)

:

k

x( k 1)

A bu(0)

Abu(

k 1)

bu(

k)

5.5, 5.6.- Generadors. Independència lineal.

Def. – Essent

u , ,u

1

s

vectors de E, es diu que:

(1) u

1,

,us

generen E si tot altre vector n’és una combinació lineal:

v E , 1,

,s

t.q.: v 1

u1

sus

(2) u

1,

,us

són l.i. (linealment independents) si la única combinació lineal de suma 0

és la de coeficients tots 0:

0 1u1

s

u s

només si 1 s

0

Exem. –

(1) Per simple observació gràfica

v

v

v

v

1

2

3

4

(0,0,1)

(1,1,0)

(1,1,1)

(0,1,0)

gen. l.i.

v 1,v 3 no si

v , v v no no

v , v si no

1 2

,

3

1

v2

, v3,

1

, v3,

v4

1

, v2

, v4

4

v si si

v si si

(2) Es ben conegut que els colors groc, blau i vermell generen tots els altres.

(3) Verifiquem que

2

2

2

t 1)

,( t 2) ,( t 3) de

(

2 [t] són l.i. Suposem:

2

2

2

1(

t 1)

2

( t 2) 3(

t 3) 0

Avaluant t 1,2, 3 , resulta:

5.6

0; 0 ; 0

2

4 3

1 3

que té solució única 0

1 2 3

4

1 2

(3’) A la mateixa conclusió s’arriba d’igualar a 0 els coeficients (terme independent,

coeficient de 1r grau, ídem. de 2n grau) en l’expressió inicial:

9

0; 4

6

0; 0

1

4

2 3

2

1 2 3

1 2 3

(4) Vegem que 1 ,sin t,cost,sin 2t,cos

2t

de

C (

) són l.i. Suposem:

1

2

sin t 3

cost

4

sin 2t

5

cos 2t

0

Avaluant en t 0 , , i 3 , obtenim:

2 2

0; 0 ; 0 ; 0

1 3 5

1 2 5

Per tant: 0.

1 2 3 5

4

sin 2t

Resulta: 0. Que obliga a: 0 .

4

1 3 5

1 2 5

Obs.-

(1) Un “símil futbolístic”:

- jugadors generen cobreixen tot el camp

- jugadors l.i. no es solapen

(2) Veurem de seguida mètodes simples (càlcul de “rangs” mitjançant “pivot”) per

verificar la condició de l.i. i de generadors, vàlids quan prèviament es coneix una

“base” de l’espai vectorial. Rarament, doncs, caldrà fer comprovacions directes com

en els exemples anteriors.

Prop. – Essent

u

1,

,u vectors de E, propietats característiques de l.i./l.d. són:

s

(1) u

1,

,us

l.i. u sus

u

1 1

1 1

sus

només si

, , s

1 1

(2) u

1,

,us

l.d. 0 1u1

s

us

, amb algun 0

(2’) u

1,

,us

l.d. algun u

i

és combinació lineal dels altres

Exem. – Apliquem-la per confirmar que els vectors v

1

, v2

, v3

de l’exemple (1) anterior

són l.d.:

s

i

5.7

(2) v v v 0

1 2 3

3

v1

v

(2’) v

2

5.7, 5.8.- Bases. Coordenades.

Tenint en compte (1) de la proposició anterior, les dues condicions de la definició

següent són efectivament equivalents:

Def. – Essent

u

1,

,u vectors de E,

n

(1) ( u

1,

,un

) base de E generen E i són l.i.

v E únics (!)

1,

,n

t.q.: v 1

v1

nvn

(2) Aleshores

1,

,n

s’anomenen les coordenades de v en la base ( u 1

, , u n

). En

forma matricial:

1

T

Mat( u 1 , ,

u

( v)

(

n )

1

n

)

n

(3) Anàlogament, la matriu dels vectors v

1,

,vs

en la base ( u 1

, , u n

) es defineix per:

on cada columna són les coordenades del vector corresponent en la base u , , u ) .

( 1 n

Exem. –

(1) Continuant l’exemple anterior, ( v

1

, v2

, v4

) i ( v

1

, v3,

v4

) són bases de

Si v (2,2,3)

, tenim:

3 .

Mat

(1’) També ho és ( v

2

, v3,

v4

), i:

3

v)

2;

Mat

0

( v

(

1,

v2

, v4

)

( v1

, v3

, v4

)

v

1

( ) 2

0

5.8

Mat

( v 2 , v3

, v4

)

v

( )

1

3

4

(2) Se’n diu base “natural” o “ordinària” de

n :

e1

(1,0,0, ,0)

e2

(0,1,0, ,0)

e n

(0,0,0, ,1)

És fàcil verificar que són l.i. i que generen

n .

(2’) Es evident que les coordenades en aquesta base d’un punt x

les seves components.

n són precisament

(2”) Si considerem una altra base ( u

1,

,un

), amb

u1

( a

u

n

( a

11

n1

, ,

a

1n

, ,

a

nn

)

)

les coordenades

1,

,n

d’un punt x

n

x ( x 1

, ,

x n

)

en aquesta base s’obtenen resolent el sistema d’equacions

a

a1

11

1

n

n

an

a

1

nn

x

x

1

n

és a dir

a111

an

1n

x1

a

1n1

annn

xn

o també

a11

a1n

an

1

1

x

a

nn n

x

1

n

5.9

2 n

(3) També és igualment fàcil verificar que (1, t,

t , , t ) és una base de n[t].

(3’) Les coordenades en aquesta base d’un polinomi P(t)

seus coeficients.

n[t] són precisament els

(4) També que una base de M

mxn

( ) és:

E

1

1

1

0

0

0

0

0

0

,

E

0

1

2

0

0

1

0

0

0

0

,

,

0

m

E n

0

0

0

0

0

0

0

1

(4’) Les coordenades en aquesta base d’una matriu

1

a1

A

m

a1

a

a

1

2

m

2

1

a

n

m

a

n

són els seus elements

1 1

a

1

, a2,

, .

m

a n

(5) En

2 , considerem: e (1,0

1

) , e (0,1)

, u (1,1 ) , (1, 1)

2 1

u

2

.

El quadre següent recull les matrius de coordenades en diferents bases d’alguns

d’aquests vectors, així com les d’un vectors genèric (a,b):

e

1

u

2

Base e 1,

e ) Base e , e ) Base u , u )

2 1

1

0

1

1

a

( a , b)

b

(

2

0

1

1

1

b

a

( 1

1

2

1

2

0

1

a b

2

a b

2

( 2

(6) Les coordenades (x, y) d’un punt de

2 en la base natural ( e , e 1 2

) , i les ( x , y)

en una

altra base u , ) s’interpreten geomètricament a la figura següent:

( u 1 2

5.10

(6’) També es pot pensar com si un vehicle es pogués desplaçar al llarg d’una via

rectilínia formant un angle a l’eix d’abscisses cartesianes, i disposés d’un braç

telescòpic que formés un angle respecte a la via:

Per designar la posició de punt P en l’extrem del braç, més que no pas les

coordenades cartesianes habituals (x, y), sembla més intuïtiu emprar les ( x , y)

:

Les cartesianes poden calcular-se a partir d’aquestes mitjançant

x

D cos

L cos( )

y

Dsin

Lsin(

)

(7) En E M

2

( ), calculem les coordenades de la matriu A en la base ( M

1, M

2

, M

3

,

M

4

), essent:

1

2

1

1

1

0

1

0

0

1

A ; M

1

, M

2

, M

3

, M

4

3

4

0

0

1

0

0

1

1

0

Plantegem:

A

1M

1

2M

2

3M

3

4M

4

5.11

Igualant els quatre elements de la matriu resulta:

1

1

1

2

4

3

2

2

4

3

4

3

Per tant: 2 , 1, 4 , 4

1

2

(8) Busquem

1

, 2

, 3

t.q.:

3

4

8t

18

2

2

2

1

( t 1)

2

( t 2)

3(

t 3)

Igualant coeficients resulta:

0

1

2

3;

8 2

1

4

2

6

3;

18

1

4

2

9

3

Per tant: , 2, 3 .

1

1

2 3

(8’) Alternativament, per t 1,2, 3 , resulta:

t 1:

10

1

2

4

t 2 : 2

t 3 : 6 4

1

2

3

3

el que també ens permet calcular

1

, 2

, 3

, amb el resultat anterior.

(9) Busquem 1 , 2

, , 5

t.q.:

2

(sin t 2cost)

1

2

sin t 3

cost

4

sin 2t

5

cos 2t

També en aquest cas tenim diverses opcions. Per exemple:

t

1 3 5

0 :

2

:

:

4

1

t

1

2

5

4

t

1

3

5

Fent

t 0, , després de derivar:

4

4

2

2

4

2

2

4

En definitiva: 5

1

, 0

2

, 0

2

3

, 4

2 , 3

5

2

5.12

Obs. –

(1) Un mateix vector té diferents coordenades en bases diferents. En particular, cal tenir

present l’ordre dels vectors de la base (vegeu l’exemple 5 anterior).

(2) Vectors diferents han de tenir coordenades diferents en una mateixa base, però

poden coincidir si per cadascun considerem bases diferents.

(2’) En particular, per tota base u , , u ) és:

Mat

( 1 n

( u 1,

, u

( u (1

n ) 1

) 0 0

( u 1,

, u )

( u 2

) (0 1 0

0)

Mat 0)

n

Mat

( u 1 , ,

u

( u

n ) n

) (0 0 0

1)

T

T

T

Aplicacions. – Comentem alguna de les aplicacions presentades a la introducció (5.0):

(0) En empaquetaments hexagonals (per exemple, de les barres de combustible d’un

reactor nuclear), cada element es determina per les coordenades del centre de

l’hexàgon

Resulta més còmoda la base ( u , u 1 2

) que no pas la ordinària ( e , e 1 2

) . Així, les

coordenades dels punts 1, 2 i 3 la base ( u , u 1 2

) en són respectivament: ( 1,0 ) , ( 1,3)

i

( 5,1) .

(4) Per sistemes formats per 2 masses iguals unides per 3 molles també iguals, una base

de les possibles vibracions és formada pels 2 modes següents:

- la vibració simultània de les 2 masses, mantenint constant la distància entre elles

- la simètrica respecte al punt mig entre els ancoratges.

Qualsevol altre vibració descompon (de forma única) com a suma de múltiples

d’aquestes dues.

(5) Podem prendre com coordenades la separació de cadascuna de les 3 plantes respecte

a la vertical pel punt de suport.

(6) En estudis recents, les possibles formes de vinclament o col·lapse d’un puntal es

refereixen a 3 tipus específics:

5.13

- “global”: l’eix del puntal es corba, sense canviar la forma de la secció

- “local”: rotació de la secció per abonyegament d’una zona

- “distorsional”: canvia la forma de la secció; per exemple, obrint-se o tancant-se les

ales.

Les “coordenades” respecte a aquests 3 tipus permeten estudiar com millorar la

resistència del puntal.

(7) El mètode dels nusos (MNA) pren com coordenades la tensió en 3 nusos,

considerant el quart connectat a terra. En algorismes anteriors es prenien com

coordenades els “corrents de malla” (en aquest cas, els de les 3 branques

perifèriques).

k k

(8) Una base és formada per les successions: 1,(

1) ,2 .

(9) En pintura industrial no és fàcil trobar les “coordenades” d’un color respecte a 3

disponibles per tal de poder-lo reproduir. En particular, en impressió gràfica la

fidelitat del negre és un índex de qualitat.

Aplicació.- Funcions de control.

Un sistema discret de control en

n

x( k 1) Ax(

k)

bu(

k)

; A M

n

b M

n 1

,

resulta “controlable” si

n

( b,

Ab,

, A

1 b)

(*)

és una base de

n .

Aleshores, tot estat

x

n és “assolible” des de l’origen en el sentit que

x(0)

0

x(1)

Ax(0)

bu(0)

x(2)

Ax(1)

bu(1)

x x(

n)

Ax(

n 1)

bu(

n 1)

per una, així anomenada, funció de control u(0), u(1), ... , u(n-1).

De les igualtats anteriors resulta

x

A

n1

bu(0)

Abu(

n 2) bu(

n 1)

5.14

Per tant, la funció de control per al punt x està formada precisament per les seves

coordenades en la base (*).

5.10, ... , 5.13.- Existència i construcció de bases. Dimensió d’un espai

vectorial.

Obs. –

(1) El model de referència d’un espai vectorial queda determinat per un nombre clau:

l’anomenada “dimensió”, que és el nombre de vectors de qualsevol base.

(1’) Recíprocament, el coneixement de la “dimensió” simplifica la verificació que una

família de vectors forma una base.

(2) Això s’aplica només als espais vectorials anomenats finit generats, és a dir, que

tenen alguna família finita de generadors. No ho són, per exemple, [t] ó C ( ).

Teor. – Essent E finit generat:

(1.1) Partint de qualsevol família de generadors es pot obtenir una base eliminant els l.d.

(1.2) Partint de qualsevol família l.i., es pot obtenir una base afegint vectors l.i. fins que

generin.

(1.2’) [Steinitz] Més encara, els addicionals es poden triar d’entre els d’una altra base ja

coneguda.

Def. – Se’n diu la dimensió, dim E, aquest nombre de vectors comú a totes les bases.

Exem. –

(1) dim

n = n

(2) dim n[t] = n + 1

(3) dim M m,n ( ) = m·n

(4) dim Sim n ( ) =

n

n

2

n

2

n(

n 1)

2

Corol. – Siguin

u , ,u

1

s

de E, i suposem coneguda n = dim E:

5.15

(1) s n : - ( u

1,

,un

) base l.i. generen

(2) s n : - no poden ser l.i.

- si són generadors s’obté una base eliminant-ne s n l.d.

(3) s n : - no poden generar

- si són l.i. s’obté una base afegint-hi n s l.i.

(que podem triar d’una altra base ja coneguda)

Exem. –

(1) Continuant amb un exemple anterior, els vectors de la figura generen E, però no són

l.i. Com que la dimensió és 3, podem obtenir una base eliminant-ne un. Vegem que

cal triar-lo adequadament:

u u No és base

1 2

u3

1

u2

u4

1

u3

u4

u2 u3

u4

u Si ho és

u Si ho és

Si ho és

(2) E = 2[t]

Obs. –

2

2

2

( t )

,( t ) ,( t ) són l.i., i per tant, base.

( t )(

t ),( t )( t ),( t )(

t ) ídem.

(1) Es confirma que conèixer dim E simplifica molt la comprovació que una família és

base: només cal verificar una de les dues condicions (generar / l.i.) de la definició.

(1’) A l’apartat següent veurem que tant la comprovació com la construcció de bases es

pot simplificar notablement mitjançant “pivot”, quan es disposa ja d’una altra base

coneguda.

(2) El símil futbolístic reflecteix força bé la situació del corol·lari:

- un equip requereixi cobrir tot el camp (= generen) i sense solapaments (= l.i.)

- si són n 11, no es pot assegurar que formen equip, però només cal verificar

una de les dues condicions, ja que una d’elles comporta automàticament l’altra.

- si són s 11, és segur que se solapen (= l.d.), però pot ser que tampoc cobreixin

tot el camp; si ho fan (= generen), es poden reduir a un equip, eliminant-ne s-11

adequadament triats.

- si són s 11, és segur que no cobreixen el tot camp (= no generen), però pot ser

que se solapin; si no ho fan (= l.i.), pot completar-se l’equip afegint 11-s

jugadors adients (que podem triar de l’equip filial).

5.16

(3) Per no finit generats, la situació és més complexa:

2 n

1, t , t , , t , és una base de [t]

1,sin

t ,sin 2t,

, sin nt,... són l.i., però no generen

(de fet, no se’n coneix cap base)

C ( )

(4) La dimensió depèn del cos :

dim C C = 1; una base és simplement u 1

1 .

dim C = 2; una base és u , ) , amb u 1 u i .

( u 1 2

1

,

2

5.14, ... , 5.17.- Rang d’una família de vectors.

Com hem fet notar, encara podem simplificar més l’ús del corol·lari anterior si es coneix

una base.

Def. – Es diu rang de la família de vectors

S’escriu: rang v , , v ) .

( 1 s

v , ,v

1

s

al nombre (màxim) de l.i.

És fàcil calcular-lo si es coneix una base.

Prop. – Donats

( u , ,un

v , ,v

1

) considerada:

És a dir:

(1)

1

s

, el seu rang r és el de la seva matriu V en qualsevol base

r rang v , ,

v ) rangV , V Mat ( v , ,

v

i

(

1 s

( u ) 1 s

)

(2) També: r = ordre màxim dels menors no nuls de V.

Corol. – En les condicions anteriors:

(1) s n : ( v

1,

,vn

) base r n ( s)

V ~

5.17

(1’) També: ... detV

0

(2) s n : - no poden ser l.i.

- generen r n V ~

(2’) Aleshores, una base està formada pels vectors corresponents a les columnes pivot.

(2”) Més en general: prenent de cada esglaó una columna que no tingui 0.

(3) s n : - no generen

- l.i. r s V ~

(3’) Aleshores, si considerem una altra base ja coneguda i pivotem conjuntament:

5.18

obtenim una nova base afegint a

pivot addicionals

v , ,v

1

s

els vectors corresponents a les columnes

(3”) O més en general, afegint els vectors corresponents a una columna de cada esglaó

addicional (que no tingui 0).

Exem. –

(1) Refem l’exemple anterior

Una base estaria formada pels vectors corresponents a les columnes pivot: v

1

, v2

, v4

.

També podem prendre la 3ª columna, en lloc de la 2ª: v

1

, v3,

v4

.

(1’) Si hagués donat: V

no podríem prendre v

1

, v3,

v4

com base.

2

2

2

(2) ( ( t 1)

,( t 2) ,( t 3) ) és base de 2[t] ja que, en base ( t 2 , t,1)

:

(3) t 1,

t

2 1

són l.i. ja que, en base ( t 2 , t,

1):

(3’) Si volem ampliar-lo a una base, amb polinomis de la base (2):

5.19

Per tant:

- no es pot ampliar amb

- si que es pot ampliar amb

2

( t 1)

2

( t 2) o

2

( t 3)

(3”) Si hagués donat:

només podríem ampliar amb la segona columna addicional.

Obs. –

(1) Construcció de bases.

Sintetitzem les tècniques del corol·lari anterior sobre construcció de bases i

generalitzem-les al cas en que els vectors de partida v

1,

,vs

no generin (r<n)

ni siguin l.i. (r<s):

una base està formada per les columnes pivot de la matriu (V,G), on:

- V és la matriu, en una base ( u

1,

,un

) , dels vectors v

1,

,vs

.

- G és la matriu, en la mateixa base, d'una família qualsevol de generadors

(en particular podem prendre els de la base ( u

1,

,un

), en quin cas G=I)

Com en altres situacions, en lloc d’una columna pivot podem triar qualsevol

altre del mateix esgraó, que no hi tingui un 0.

(2) Les tècniques anteriors, basades en pivotar la matriu V, no serveixen, per

exemple, per estimar si 1 , e x ,sin x,

cos x són l.i., ja que no es coneix cap base de

C (

). Caldria veure si:

1 2e x 3

sin x 4

cos x 0 1

2

3

4

0

Per exemple, avaluant en x 0:

1

2

4

Avaluant la derivada en x 0:

0

?

5.20

etc.

2

3

0

Matlab/Octave.-

(1) Recordeu que r = rangV s’obté directament amb

rank(V)

(2) Recordeu igualment que les columnes pivot de la matriu (V,G) són les assenyalades

pel vector jb, obtingut mitjançant

[R,jb] = rref(A), on A=[V,G]

5.18, ..., 5.22.- Canvis lineals de coordenades. Canvis de base.

Finalment, vegem com es simplifica el càlcul de les coordenades, si ja es coneixen les

coordenades en una altra base.

Def. – Sigui ( u 1

, , u n

) una base de E. Si ( u 1

, , u n

) és una altra base, se’n diu matriu

de canvi de base:

Obs. – S és invertible, ja que té rang n.

Prop. – En les condicions anteriors, si v E , les seves coordenades en dues bases

diferents es relacionen mitjançant la matriu S anterior en la forma següent:

X

X

Mat

Mat

( ui

)

( ui

)

v

v

X

X

S

1

SX

X

És a dir:

Mat( )

v Mat(

u )

( u1

un

) Mat

u i

i

( ui

)

v

5.21

Exem. –

3

(1) E

u ) ( e )

(

i i

( i

) u

1

( 1,1,1), u2

(1,1,0), u3

u : (1,0,0 )

Per a v ( x,

y,

z)

, tindrem:

(1’) Sense usar la proposició anterior seria:

( x , y,

z)

x(1,1,1)

y(1,1,0)

z(1,0,0

)

x

x y z x

z

y

x y y

y z

z

x z

x y

(2) En la malla hexagonal de E =

2 , siguin ( x , y)

les coordenades d’un punt en la base

ordinària e , ) i ( x , y)

en la base u , ) associada a la malla. Clarament:

( e 1 2

( u 1 2

Per tant:

u

u

1

2

(1,0)

1

cos

,sin

,

3 3 2

3

2

1

1 2

S

0

3 2

1

x x y

x x

2

S

y

y 3

y y

2

1

x

x y

x 1

x

3

S

y y

2

y y

3

(3) Refem l’exemple (6) de l’apartat (5.7,5.8) anterior:

5.22

u

u

1

2

(cos,sin)

x cos

cos( )

L

(cos( ),sin( )) y

D

sin

sin( )

(4) Igualment, refem l’exemple (7):

X

S

X

(5) Quant a l’exemple (8):

( u ) :

i

( u ) :

i

1, t,

t

2

2

2

2

( t 1)

,( t 2) ,( t 3)

Les coordenades ( x , y,

z)

de P ( t)

8t

18

en la nova base u ) podem obtenir-les:

x

y S

z

1

18

1

8 2

0

3

( i

Matlab/Octave.- Recordem que els canvis de coordenades anteriors poden implementarse

simplement amb:

Aplicacions. –

(1) Canvis lineals de coordenades en funcions, equacions, ...

Les expressions

coordenades:

X

1

S X , X SX

ens donen les equacions del canvi de

5.23

x1

1x1

n

x

x2

1x1

n

x

n

n

i a l’inrevés, les quals ens permeten substituir-les mútuament en les expressions on

apareixen.

(1.1) Així, en l’exemple (2) anterior, per la distància d’un punt a l’origen tenim:

d(

P,

O)

x

2

y

(1.2) Igualment, el canvi de coordenades

2

x

1

2

y

2

3

2

y

2

x

2

y

2

xy

x x 2

y y z

z x z

y

en l’equació de la quàdrica

dóna

x

2

2y

2

2z

2

3xy

3xz

3yz

0

x y

0

(1.3) En general un sistema d’equacions

Ax b

resulta amb les noves coordenades:

AS

x b

(2) Canvis lineals de coordenades en les velocitats, acceleracions,...

Òbviament si x és un punt variable en el temps, x(t), les relacions anteriors són

vàlides per les derivades

X

1

S X

, X SX

x

1

1x1

n

x

x

x

2 1 1

n

x

i per tant donen els canvis corresponents en les velocitats, acceleracions, ...

n

n

5.24

(2.1) Així, en l’exemple (3) anterior:

x

L

S

y

D

(2.2) En general, un sistema dinàmic

x

( t)

Ax(

t)

resulta en les noves coordenades

x 1

( t)

Ax(

t)

; A S AS

(2.3) Anàlogament, un sistema de control

x

( t)

Ax(

t)

Bu(

t)

resulta en les noves coordenades

x 1

1

( t)

Ax(

t)

Bu(

t)

; A S AS , B S B

Observació.- Altres formes d’obtenir la matriu de canvi S

Segons la definició, la matriu S s’obté calculant les coordenades de u , , u ) en la

base u , , u ) . Assenyalem altres possibilitats.

( 1 n

(1) Si es coneixen les coordenades de ( u 1

, , u n

) en la base ( u 1

, , u n

) :

Aleshores:

( 1 n

S

1

Mat

( u , , un

)

( u 1

, ,

u

1 n

)

i per inversió, S.

(2) Si es coneixen les equacions de canvi de coordenades:

Per exemple a l’observació (1.2)

x x 2y

y y z

z x z

Tenint en compte que

X SX

, resulta

5.25

S

1

0

1

2

1

0

0

1

1

Això dóna, en particular, la base ( u

1,

u2

, u3

) a la qual corresponen les noves

coordenades x , y,

z :

u

1

( 1,0,1), u2

(2,1,0), u3

(0,1, 1)

(3) Si es coneixen les coordenades, en ambdues bases, de n vectors l.i.:

Vegeu l’exemple (1) següent.

(4) Si es coneixen les matrius de canvi respecte a una tercera base:

Vegeu l’exemple (2) següent.

Exem. –

(1) En E =

2 , es demana determinar la base ( u , u 1 2

) per a la qual les coordenades de

v (2,1) i (4, 1)

1

v

2

són respectivament ( 3, 1)

i ( 0,2)

.

Segons les relacions anteriors, amb u1 e1

, u2 e2

:

És a dir:

3 1

2

0

1

4

S , S

1

1

2

1

3

1

1

0

S

2

2

1

4

1

Per tant:

S

2

1

4

3

1

1

0

2

1

1 8

6 1

12

3

En definitiva:

1

1

u

1

(8,1) , u

2

(12, 3)

6

6

(2) En E =

2 , sigui e , ) la base ordinària, i u , ) , u , ) les donades per:

( e 1 2

( u 1 2

( u 1 2

u

u

1

1

(2,1),

(0,6),

u

u

2

2

( 1,3)

(5, 2)

5.26

Per calcular la matriu de canvi

S

Mat

( u1,

2

)

( u )

u

i

podem considerar l’esquema:

on X

e

, X i X indiquen les representacions matricials d’un mateix vector en les

bases respectives.

De les dades donades tenim directament:

0

5

S X ; S1 Mat(

e )

( u1,

u2

)

i

6

2

1

2

1

S

2

X ; ( S

2

) Mat(

e )

( u1,

u2

)

i

1

3

X e 1

X e

1

Finalment:

S S 2

S 1

2

1

1

3

1

0

6

5

2

5.27

Tema 6

Subespais Vectorials

6.0.- Introducció.

Sovint no convé considerar tots els objectes d’un espai vectorial, sinó només els

pertanyents a un cert subconjunt. Per exemple: de totes les possibles distribucions de

corrents elèctrics en una xarxa, només les que compleixin la 1ª llei de Kirchoff; de tots

els estats d’un sistema de control, només els que siguin realment possibles, ateses les

condicions inicials i les funcions de control disponibles.

Per tal d’aplicar les nostres tècniques, cal que aquest subconjunt sigui també un espai

vectorial (amb les mateixes operacions de l’espai ambient), en quin cas s’anomena un

“subespai vectorial” del total. Per exemple, en

3 , ho son les rectes i plans per l’origen,

però no pas les que no hi passen, ni tampoc altres figures com esferes, cons, etc.

Dues son les formes més habituals de determinar un subespai: per les equacions que

caracteritzen els vectors que hi pertanyen; o be per una seva base. Així, la bisectriu del

1r i 3r quadrant de

2 podem dir que es formada pels punts del pla que:

- verifiquen l’equació x=y

- són múltiples del (1,1).

Analitzarem amb detall (dimensió, bases,...) aquestes dues formes de presentació.

Finalment estudiarem com a partir d’uns certs subespais vectorials se’n poden obtenir

d’altres per intersecció,...

6.1, ... , 6.3.- Subespais vectorials. Bases adaptades.

Def. – Essent E espai vectorial, i

F E :

(1) F subespai vectorial de E F també és espai vectorial

(amb les mateixes operacions).

(2) bases adaptades són les que (reordenant, si cal):

base F: u , ,u

Exemples –

(1) Els trivials: 0

E ,

1 d

1, ,

ud

, ud

1,

base E: u , u

(2) Podem considerar subespai vectorial

2 2

de , de

3 , ... , identificant:

x = (x,0) , (x,y) = (x,y,0) , ...

n

6.1

(2’) Anàlogament:

2

K K K

3

n

K

2

(2”) Considerem subespai vectorial de

com a la figura. Aleshores:

v v és una base adaptada

1 2

v3

1

v3

v4

v no ho és

3 ,

(3) Els polinomis de grau creixent formen una cadena de subespais vectorials dins

l’espai vectorial de tots els polinomis:

K t K t K t K t

0

1

2

(4) Dins l’espai vectorial de les funcions reals d’una variable, podem considerar

successivament els subespais de les contínues, derivables, etc.:

0

1

f : R R

C ( R)

C ( R)

C ( R)

Obs. –

(1) S’anomenen rectes i plans, respectivament, els subespais vectorial de dimensió 1 i 2.

Igualment, s’anomenen hiperplans els de dimensió n 1.

(2) Una de les avantatges d’emprar bases adaptades és que els vectors del subespai

queden caracteritzats per tenir les darreres coordenades nul·les. Concretament, en les

condicions de la definició anterior:

és a dir:

v

1 1

n

n

F

0

d 1 n

(3) Les bases adaptades es generalitzen, reiterant, a cadenes F1 F2

E . Per

exemple:

e , e , ) és una base adaptada a la cadena (2’).

(

1 2

(1, t , t 2 , )

ídem a la (3).

Prop. – E espai vectorial, F E :

6.2

(1) F subespai vectorial

v

v

F

v

F

v,

v

F

v

F,

K

0

F

(1’) F subespai vectorial

v F

v

F

(2) Aleshores, si E és finit generat, també ho és F i:

dim F dim E

dim F dim E F

E

(3) Aleshores: bases adaptades.

(3’) Més encara: tota base de F és ampliable a una de E (que resulta adaptada!).

Exemples –

(1) En

2 : No:

Si: 0 , rectes per l’origen,

2

(1’) En general, en

n :

0 , rectes, plans, ... per l’origen.

(2) En t

(3) (K)

K : polinomis amb arrels 1,

,

p

F

t

M triang. superiors

n

simètriques

P( t)

K : P(

1)

P(

)

diagonals

(3’) Bases adaptades a cadascuna de les cadenes:

p

0

1

0

1

0

0

0

,

0

0

0

0

,

0

0

0

0

,

1

0

0

0

,

1

1

1

0

,

0

1

1

0

,

0

1

0

0

0

0

(4) Enf

: R R: les funcions parelles ( f ( x)

f ( x),

x

)

les funcions imparelles ( f ( x)

f ( x),

x

)

(5) En general, hi ha dues formes especialment freqüents de presentar subespais, que

analitzarem en els pròxims apartats:

6.3

- per equacions

- per generadors

Obs. – Construcció de bases adaptades

(1) Recordem que, per obtenir una base de E mitjançant ampliació d’una de F, els

vectors addicionals poden triar-se d’entre els d’una altra base donada de E:

(1’) Per exemple, en E R2

t , una base de F P( t)

: P(

1)

P(1)

0

és t 2 1.

2

Ampliem-la a una base adaptada, afegint polinomis de la base (1, t , t ) :

Per tant: Si : ( t 2 1) , 1 , t

No :

2

2

( t 1) , 1 , t

(2) Es generalitza a una cadena F F E

1 2

:

6.4

Matlab/Octave.- Recordem que els índex de les columnes pivot d’una matriu A són els

que figuren al vector jb, éssent: [R,jb] = rref(A).

6.4, ... , 6.8.- Subespais definits per equacions.

Prop.- Essent E un espai vectorial, suposem

( u

1,

,un

) una base

x

1,

, les coordenades corresponents

x n

Considerem les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogènies:

x1

0

F x

E : A

, A

M

mn

(K)

x n 0

i sigui r = rang A . Aleshores:

(1) F és un subespai vectorial.

(1’) De fet, tot subespai vectorial pot expressar-se d’aquesta forma, com conjunt de

solucions d’un sistema lineal homogeni.

(2) dim F = n – r ( = grau d’indeterminació del sistema d’equacions)

(3) Tota base està formada per: n – r solucions l.i.

(3’) Una forma sistemàtica de trobar-ne és:

- seleccionem n – r variables independents

(p. ex.: les que no corresponen a columnes pivot)

- els hi assignem successivament valors ( 1,0, ,0), (0,1,0, )

, ...

6.5

(o qualssevol altres l.i.)

- per cadascuna d’aquestes n-r assignacions de les variables independents,

completem una solució assignant a les variables dependents els valors

que resultin del sistema.

Obs. - Si A

M

mn

(K)

, com justificarem més endavant, direm nucli de A (i s’escriu

Nuc A, Ker A, Null A, ...) al subespai:

n

n

x

K : Ax

K

NucA 0

Segons la proposició anterior:

dim Nuc A = n – rang A.

Matlab/Octave.- La comanda null(A) dona directament una base de NucA:

cada columna de Null(A) està formada per

les coordenades d’un dels vectors d’una base de NucA .

La dimensió de NullA és, doncs, el nombre de columnes (o també n – rank(A)).

Exemple –

(1) Una sola equació (no nul·la) defineix un hiperplà: un recta en

2 , un pla en

3 , ...

(2) En E =

2 , sigui:

F =

2x

y 0

(x, y) :

x y 0

És a dir:

2

F = Nuc A; A

1

Serà:

dim F = 2 – rang A = 0

1

1

i per tant:

F

0,0

(2’) No són subespais vectorials:

2x

y 1

x y 0

2x

2 y 0

x y 0

6.6

(3) En E =

5 , sigui:

F =

x

5 :

x

x

x

1

1

1

2x

2x

2x

2

2

2

3x

3x

3

3

4x

4x

4x

4

4

4

5x

5x

5x

5

5

5

0

0

0

És a dir, F = Nuc A, amb:

Per tant:

rang A = 2 dim F = 5 - 2 = 3

(3’) La descripció paramètrica de F resulta fàcilment del sistema associat a la darrera

matriu (el qual és equivalent al sistema inicial):

variables dependents: x 1, x3

; variables independents: x

2

, x4,

x5

x1

2x2

4x4

5x5

x3

0

(3’’) Una base estarà formada per 3 solucions l.i. Per obtenir-les, assignem valors l.i. a

les variables independents, i els que resultin en cada cas per a les dependents:

x

x

x

2

2

2

1, x

4

0, x

0, x

4

4

0, x

1, x

5

5

0, x

5

0 x

0 x

1

1

1 x

1

2,

x

4,

x

5,

x

3

3

3

0

0

0

Per tant, una base és:

u

u

u

1

2

3

2,1,0,0,0

4,0,0,1,0

5,0,0,0,1

(4) En E M 2

( R ) , considerem F el subconjunt de les matrius simètriques:

a

a b

a

b

b

F

: b c

: 0

1 1

0

0

= Nuc A

c d

c d

c

A

d

Per tant, F és un subespai vectorial de E , amb:

6.7

- dim F = dim E – rang A = 4 – 1 = 3

- base: 3 matrius simètriques l.i.

1

per exemple:

0

0

0

,

0

0

0

0

,

1

1

1

0

(4’) Considerem ara G E , G matrius simètriques, amb traça nul·la .

De manera anàloga al cas anterior tindrem:

a

a b b c

a b 0

1 1

0

b 0

G

:

:

= Nuc A’

c d a d 0

c d 1

0 0 1

c

0

A'

d

- dim G = dim E – rang A’ = 4 – 2 = 2

0

1

1

0

- base: ,

1

0

0

1

(4’’) Observeu que G F , però la base (4) no és adaptada a G.

Una base de F adaptada a G seria:

0

1

1

1

,

0

0

0 1

,

1

0

0

0

(5) En E R3

t , considerem F P( t)

E : P(1)

P(2)

0.

Procedint com abans:

2 3

a b c d 0

F a

bt ct dt :

a 2b

4c

8d

0

1

1 1 1

- dim F = dim E - rang

= 4 – 2 = 2

1

2 4 8

- base: t ( t 1)(

t 2), ( t 1)(

t 2)

o també: ( t 1)(

t 2)( t ),

( t 1)(

t 2)( t )

Obs. – Més en general, un subconjunt F E és un subespai vectorial si ve determinat

per “condicions lineals homogènies”. Així:

E M

n

( R)

Si

: F A

E : trA 0

No

: F A

E : det A 0

No

: F A

E : trA 1

6.8

E f

: R R

Si

: F

No

: F

No

: F

f

( t)

E :

f ( t)

E

f ( t)

E :

f ( )

0

: cos(

f ( ))

0

f ( )

1

Si coneixem una base de E i prenem coordenades x ( x 1

, ,

x n

) , les “condicions lineals

homogènies” s’escriuran en la forma Ax 0 anterior.

Aplicació: Fluxos en xarxes. Cas particular de corrents elèctrics.

Considerem una xarxa plana per la qual circula un flux (vehicles en una xarxa viària,

corrent en una xarxa elèctrica,...) respectant la llei de conservació:

(LCF) en cada nus el flux entrant és igual al sortint.

Es tracta de determinar les possibles circulacions de flux compatibles amb aquesta llei.

En una primera fase es considera la xarxa tancada, és a dir, sense intercanvis de flux

amb l’exterior.

Suposem que la xarxa té n nusos, b branques i m malles, i designem per

x , ,

1

xb

la

circulació de flux en cada branca, on x i

(vehicles, corrents continus,...) o bé x i

C

(corrents alterns,...). Suposem una xarxa orientada, és a dir, on cada branca te un sentit

de flux pre-assignat. Per exemple:

Si designem per E el conjunt de totes les circulacions de flux, ens interessa determinar

el subconjunt F de les compatibles amb la llei de conservació (LCF).

(1) Fem notar que, segons la fórmula de Euler, per a xarxes sobre el pla:

n b m 1

Si es tractés d’una xarxa sobre la esfera (per exemple, els poliedres regulars) seria n-

b+m=2. Si fos sobre un torus: n-b+m=0.

(2) Clarament

E x , , x )

( 1 b

b

6.9

és un espai vectorial sobre K (= o C ) i F està format per les solucions del sistema

d’equacions determinades per la llei de conservació:

i

(LCF’) en cada nus: x 0

on el sumatori afecta a les branques incidents en el nus corresponent, amb signe

positiu per les que hi arriben i negatiu per les que en surten. Així, per la xarxa

anterior:

x

x

x

x

1

2

4

1

x

x

2

x

3

x

és a dir, F = Nuc A, amb

5

3

x

x

5

x

6

x

6

4

0

0

0

0

1

1

A 0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

En general, F serà de la forma

x

E : Ax

KerA

F 0

A ( )

M nxb

Per tant, segons hem vist, F serà un subespai vectorial amb

dim F

b rangA

(2’) El sistema és homogeni degut al supòsit que no hi ha intercanvis amb l’exterior.

Altrament, aquests intercanvis apareixerien al segon terme de LCF’, de manera que

els termes independents representarien les entrades/sortides externes en cada nus.

(3) És fàcil veure que la suma de les files de A és sempre nul·la, de manera que podem

prescindir d’una de les equacions i rangA n .

De fet es pot demostrar (vegeu (5.2)) que

i per tant, segons (1)

rangA n 1

dim F

b ( n 1)

m

6.10

(4) Finalment, una base de F la formen les “circulacions unitàries de malla”: per cada

malla, s’hi considera un flux circular unitari, essent nul en les altres branques. Per

exemple, en la xarxa que venim considerant:

u

u

u

1

2

3

(1,0,0,1, 1,0)

(0,1,0,0,1, 1)

(0,0,1, 1,0,1)

És clar que aquestes configuracions de flux compleixen la llei de conservació LCF i

per tant pertanyen a F.

Essent el seu nombre igual a la dimensió de F, és suficient raonar que són l.i., la

qual cosa podem fer empíricament: si una seva combinació lineal és nul·la, es

evident que els coeficients de les malles perifèriques han de ser 0; d’altra banda és

igualment obvi que els coeficients de malles adjacents han de ser iguals, per tal que

sigui nul·la la circulació per la branca que les separa; en definitiva, tots els

coeficients de la combinació lineal ha de ser 0.

(4’) Les coordenades ( y 1

, , y m

) en aquesta base són els “fluxos de malla” (= flux

circular constant en la malla corresponent, nul en la resta), la superposició dels quals

dona la configuració total.

Observem que, per una configuració verificant LCF (és a dir, pertanyent a F), el flux

en cada branca pot expressar-se fàcilment com combinació lineal d’aquests fluxos

de malla. Per exemple, en el cas considerat

x

x

x

1

2

3

y

1

y

y

2

3

x

x

x

4

5

6

y

1

y

1

y

y

2

3

y

2

y

3

(5) Anàlisi de circuits elèctrics: lleis de Ohm i de Kirchoff.

Podem emprar aquesta base per continuar l’estudi del flux de la xarxa: restriccions

addicionals, aportacions externes, etc. Il·lustrem-ho per al cas de corrents elèctrics.

(5.1) En l’anàlisi de circuits elèctrics en règim permanent es consideren en principi 2b

incògnites: el corrent i la caiguda de tensió en cada branca. Tanmateix, la llei de Ohm

(proporcionalitat entre aquestes dues magnituds en cada branca; la raó s’anomena

“resistència” o “impedància” de la branca, segons es tracti respectivament de corrents

continus o alterns, i representa el consum), permet considerar només els corrents.

6.11

La 1a llei de Kirchoff (KCL) és justament la llei de conservació que hem estat

considerant. La 2a llei de Kirchoff (KVL) diu que, al llarg de cada malla, ha de ser

nul·la la suma de les caigudes de tensió, que podem expressar en termes dels corrents

segons acabem de comentar. tot plegat tenim un sistema de ( n 1)

m equacions, amb

b incògnites. Doncs, quadrat, segons (1).

(5.2) Clarament el sistema homogeni associat és determinat, ja que si no hi ha aportació

externa d’energia la única solució és la de corrents nuls.

També seran, doncs, compatibles determinats els sistemes complets que resulten quan

expressem com termes independents les aportacions dels generadors connectats a la

xarxa.

(5.3) Segons acabem de veure, les solucions de les n 1

equacions de la KCL formen

un m-subespai vectorial, amb coordenades els “corrents de malla”.

Queda per resoldre, doncs, el sistema (compatible determinat) de les m equacions de la

KVL, amb incògnites els susdits corrents de malla.

(5.4) En definitiva, podem concloure:

- per qualssevol impedàncies en les branques (és a dir, consums) ...

- ... i qualssevol interaccions amb l’exterior (és a dir, generadors connectats a la

xarxa) ,...

- ... tenim una configuració única per a la xarxa elèctrica, ...

- ... computable com solució d’un sistema m-quadrat, amb incògnites els “corrents

de malla”.

(5.5) Tanmateix, la tendència actual és treballar amb tensions, en lloc de corrents: es

considera el subespai definit per la 2a llei, que es demostra té dimensió n-1, i admet

com coordenades les “tensions de nus” (fora d’una que es fixa habitualment amb valor

0, considerant aquest nus connectat a terra). L’anàlisi de circuits (MNA) es redueix

aleshores a un sistema (n-1)-quadrat, corresponent a les equacions de la primera llei,

amb incògnites les “tensions de nus” referides.

6.9, ... , 6.14.- Subespais definits per generadors.

Def. – Donats

v1,

, vs E , definim:

F

v

, v v v , K

1, s 1 1

s

s

i

és a dir, el conjunt de totes les seves combinacions lineals.

Es diu que F és el subespai generat pels vectors v

1,

,vs

(o que aquests són els

“generadors” de F).

Obs. –

6.12

(1) Amb aquesta notació, podem re-escriure la condició de “generadors”:

1

generen E v1 , , vs E

v , ,v s

(1’) En particular, tot subespai pot presentar-se per generadors:

( 1 d

u , , u ) base de F F u

, ,

1

u d

(2) Si A

M

mn

(K)

, com justificarem més endavant, direm imatge de A al subespai

generat per les seves columnes:

Im A

(2’) Així, amb aquesta notació:

m

columnes

de A

K

Ax = b és un sistema compatible

b Im A

Exemple –

(1) En E =

3

, per als vectors des la figura:

v1

, v2

v1

, v2

, v3

3

v

, v , v

v

, v , v , v

R

1

3

4

(2) En E M (R)

, les matrius

n

1

2

3

4

D

1

1

0

0

0 0 0

0 1

,

D2

,

,

D n

0

0

0 0 0

0

1

generen el subespai:

D

1,

,

D n

matrius diagonals

(3) En R t , per als polinomis de la figura resulta:

E

2

P1

P(

t)

E : P(

)

P(

) 0

P1

, P2

P(

t)

E : P(

)

0

P

, P , P

E

1

2

3

6.13

Aplicació – Estats assolibles en un sistema de control

Considerem un sistema discret de control lineal en

m controls externs u

1,

,um

:

n (= el conjunt dels estats x), amb

x(

k 1) Ax(

k)

Bu(

k);

A

M , B

n

M n m

on k = 0, 1, ... , indica els successius passos (= períodes de temps, iteracions, vèrtex, ...).

Per cada pas k, x(k)

n és el valor de l’estat i u(k)

m el control aplicat.

(1) L’equació del sistema determina l’estat en k+1 a partir de l’estat x(k) i el control u(k)

en el pas anterior. Per tant, ens permet calcular l’estat actual si coneixem l’estat

inicial i els successius controls aplicats fins ara; en general, tota la trajectòria (o

successió) d’estats, si coneixem l’estat inicial i tota la seqüència de controls.

(1’) Per exemple, considerem

2

A

0

1

,

1

1

b ,

0

x 0

0

0

Amb controls constants u ( k)

1, tindrem:

0

x (0) ,

0

1

x(1)

,

0

3

x(2)

,

0

k 1

2

, x(

k)

,

0

Amb controls

1

u ( k)

2

k :

0

x (0) ,

0

2

x(1)

,

0

8

x(2)

,

0

k

k2

, x(

k)

,

0

En general:

0

u(0)

2u(0)

u(1)

x ( 0) ,

x(1)

,

x(2)

,

0

0 0

x1

( k)

2

x2

( k)

0

k 1

u(0)

2

k 2

u(1)

2u(

k 2) u(

k 1)

(1’’) Notem que, qualssevol que siguin els controls u (k)

aplicats, només apareixen

punts de la forma ( x 1

,0)

. Qualssevol d’aquests poden assolir-se amb diversos

controls. Per exemple:

en 1 pas (k = 1): si u( 0) x1

en 2 passos (k = 2): si 2u(0)

u(1)

x1

6.14

(1’’’) En particular:

x(0)

x

x(1)

Ax(0)

Bu(0)

x(2)

Ax(1)

Bu(1)

A

x(3)

Ax(2)

Bu(2)

A

0

2

x(0)

ABu(0)

Bu(1)

3

x(0)

A

2

Bu(0)

ABu(1)

Bu(2)

(2) Doncs, els conjunts d’estats assolibles, des de x(0) = 0, en el pas k, amb controls

u(0), u(1),... adients, són, successivament

F(0)

0

F(1)

Im B

F(2)

Im( B,

AB)

F(

k)

Im( B,

AB,

,

A

k 1 B

)

Segons acabem de veure, cadascun d’ells és un subespai vectorial de l’espai d’estats.

(2’) Clarament

F( 0) F(1)

F(

k)

n

Es demostra (vegeu (2”)) que la cadena estabilitza si més no en el pas n, de manera

que:

F(n) = F(n+1) = ...

(2”) De fet es demostra que la cadena estabilitza quan dos subespais consecutius són

iguals:

F ( k)

F(

k 1)

F(

k)

F(

k 1)

F(

k 2)

Com que no poden haver més de n increments de dimensió (ja que l’espai d’estats

total te dimensió n), aquesta estabilització s’ha de produir per k n , i concloem

(2’).

(3) Hem arribat, doncs, a un resultat clau: el conjunt total d’estats assolibles, des de

x ( 0) 0 (en algun instant, amb controls adients) és

F conjunt d’estats assolibles des de 0 = Im K ( A,

B)

2

K(

A,

B)

( B,

AB,

A B,

, A

n1

B)

6.15

on K ( A,

B)

s’anomena la matriu de controlabilitat. És a dir, si escrivim

B b , ,

b ) :

( 1 m

F

b

n1

1

, , bm

, Ab1

, ,

Abm

, ,

A b1

, ,

(3’) En particular, un sistema es diu controlable si tot estat és assolible (des de 0, en

algun pas, amb algun control). Segons acabem de veure:

A

n1

b

m

sistema controlable

rangK(

A,

B)

n

(3’’) Aquests resultats (3) i (3’) es generalitzen a sistemes continus, constituint teoremes

clau de la Teoria de Control Lineal.

(4) Si només disposem del primer control u

1(

k ) , és a dir, si u ( ) ( )

2

k um

k 0 ,

aleshores el conjunt de punts assolibles es redueix a:

F punts assolibles des de 0, amb només el control u ( ) =

1

2

n1

b

Ab , A b , , A b Im K(

A,

)

1, 1 1

1

b1

i anàlogament per un control j-èsim qualsevol o per diversos controls no nuls.

(4’) Detallant pas a pas:

1 k

0

F

j

(0) F

j

(1) F ( n)

F ( n 1)

F

j

j

j

n

i anàlogament per diversos controls no nuls.

Prop. – Donats

v1,

, vs E :

(1) F v

, , vs

E

1

és un subespai vectorial.

(2) La seva dimensió és el nombre màxim de vectors l.i.:

dim F rang(

v1 vs

) .

(2’) Recordem que si coneixem una base de E aquest rang r pot calcular-se pivotant la

matriu dels vectors:

(2”) En particular:

dim Im A rangA.

6.16

(3) Aleshores, una base de F és formada pels vectors corresponents a les columnes pivot

(o més en general, una de cada esglaó, que no hi tingui un 0).

(3’) Altres bases poden obtenir-se a partir de les de (3) per pivot de columnes.

(4) La pertinença a F d’un vector v E

v

queda caracteritzada per:

v

,

v rang(

v , ,

v , v)

rang(

v , ,

v )

1, s

1 s

1 s

(5) Més en general, en les condicions de (2’), les equacions de F poden determinar-se

afegint en el pivot (2’) una columna de variables x

1,

, xn

, i igualant a 0 les

expressions que resultin per sota de la fila r.

Exemples –

(1) Considerem, per

F

v

v , v ; v (1, 0, 0), v (1, 1,

1), v (4, 2, )

1, 2 3 1

2

3

v

1

v

2

1

v3

0

0

1

1

1

4 1

2

~ 0

0

1

1

0

4

2

2

(1.1) Si 2 , és dim F 3 i per tant F

Si 2 : dim F 2

3 .

(1.2) Si 2 , una base de F és formada per les columnes pivot: ( v , v 1 2

) .

També podem prendre: v , )

(

1

v3

6.17

O bé, segons (3’): v , e )

(

1 2

e3

(1.3) Per trobar les equacions de F quan 2 , repetim el pivot anterior afegint una

columna de incògnites.:

v

1

v

2

v

3

x 1

y

~ 0

z

0

1

1

0

4

2

0

x

y

z y

Per tant:

F

( x,

y,

z)

: z y 0 Nuc (0 1 1)

(2) Suposem F v

, v

v

1

v 10

Aleshores:

- dimF = 4

- bases de F:

i

1

,

10

0

~

1

0

2

1

1

0

1

3

0

columnes pivot: v

2

, v5,

v6

, v8

més en general: v2

ó v 4

, v

5

, v

6

, v8

ó v 9

segons (3’), també per exemple: v2 v5, v5

v8,

v6

, v8

en canvi, no:

v , 1

v ,

,

3

, v 2 4

v , ,

4

Matlab/Octave.- Acabem de veure que una base de F v

, , vs E

1

està formada

pels vectors corresponents a les columnes pivot de la matriu A Mat v , ,

v ) .

( 1 s

Recordem que els índex d’aquestes columnes formen el vector jb que resulta de la

comanda [R,jb] = rref(A). En conclusió:

- A = Mat( v 1

, , v s

) .

- jb s’obté per [R,jb] = rref(A)

- una base del subespai F ve donada pels vectors indexats en jb

- dimF = length(jb) = rank(A)

6.18

Aplicació.- Controlabilitat de sistemes.

Recordem que un sistema es diu controlable si tot estat és assolible. Abans hem descrit

el conjunt d’estats assolibles com ImK(A,B), o bé l’anàleg amb només les columnes de

B corresponents als controls actius. Podem, doncs, aplicar la proposició anterior.

(1) Considerem el sistema discret de control:

2 1

1 0

x ( k 1)

Ax(

k)

Bu(

k),

A

2 1 1,

B 1

2 1 3 0

0

1

1

(1.1) Amb les notacions anteriors:

0

K ( A,

B)

1

0

0

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

8 1

8

~ 0

8

0

1

1

0

1

1

1

2

2

2

2

2

2

8

8

8

dim F = rang K(A,B) = 3

Per tant

F

3 . És a dir, el sistema és controlable.

(1.2) Si detallem pas a pas:

dim F (1) 2 , dim F (2) 3

Per tant, tot estat és assolible des de x

0

0 en només 2 passos.

(2) Amb només el control u ( ) :

1 k

(2.1) El sistema no és controlable amb només u

1

ja que:

0

1

2

1

1 2

K A,

b ) 1

1 2 ~ 0

1 2

dim

0

1 2 0

0 0

(

1 1

0

1

(2.2) Una base de F

1

és: 1,

1

0

1

0

2

O també: 1,

2

0

2

Segons (3’), podem simplificar-les:

F

2

6.19

0

1

1

, 0

0

1

0

1

1

, 0

0

1

(2.3) Aplicant (4) i (5) de la proposició anterior:

El punt 0 , 1, 2

no és de F

1

ja que:

0

1

0

1

1

1

2

2

2

0

1

1

~ 0

2

0

1

1

0

2

2

0

1

0

2

Més en general, podem obtenir les equacions de F

1:

Per tant: F x

z

1

0

Observem que, en efecte, el punt 0 , 1, 2

no verifica aquesta equació, però sí

els vectors de les bases trobades abans.

(3) Anàlogament, amb només el control u ( ) obtindríem:

F

0

Im

1

1

2

2

2

8

8

8

2 t

2

y

z

0

Obs. –

(1) De la definició resulta:

v

1,

,v s

és el menor subespai que conté els vectors v

1,

,vs

.

(1’) Es generalitza fàcilment a subconjunts V E , no necessàriament finits,

considerant les combinacions lineals finites (!) dels seus vectors:

V

v v ; s N,

v V

, K

1 1

s

s

i

i

6.20

és un subespai vectorial de E, el menor que conté V.

Així: 1,

t , t

, , t ,

2 n

[t]

(2) De (2) de la proposició resulta:

( v , ,vs

1

) base de F r s

(3) De (4) es dedueix Rouché-Frobenius:

Ax b compatible rangA

b rangA

6.15, ... , 6.18.- Intersecció i suma de subespais.

Idea – Recordem que, donats dos conjunts

són:

V , W E , la seva “intersecció” i “reunió”

V W x E : x V

V W x E : x V

i x W

o x W

Així, en E =

2 , si V x

0, y

0

W :

Clarament són, respectivament:

el més gran conjunt contingut en ambdós.

el més petit conjunt contenint tots dos.

Però, si considerem subespais

F, G E :

F G és subespai vectorial;

el més gran contingut en F i G.

F G no és subespai vectorial (en general);

el més petit contenint F i G ésF G , que escriurem F + G.

Per exemple:

Ex. I Ex. II Ex. III

6.21

x

0

x

0

F :

x

y

0

y

0

x

0

G :

z

0

0

z

0 z

0

0

0

x

z 0

F G :

F G

3

F

G: x

0 R

3

R

Prop. (intersecció de dos subespais) –

Donats F, G E , subespais vectorials:

(1) F G és subespai vectorial.

(1’) el més gran contingut en F i G.

(2) Si F i G venen donats per equacions, la seva intersecció són les solucions comunes:


NucA NucA

1

2

A

Nuc

A

1

2

Obs. –

(1) Com veurem en els exemples següents, la dimensió de F G no queda

determinada per les de F i G, ja que

però les igualtats no valen (en general). Cal estudiar-la cas per cas.

6.22

(2) Si F, G venen donats “per generadors”, convé representar-los “per equacions”,

quan es vol estudiar F G .

(3) Es generalitza a més de 2 subespais:


Exemple –

(1) Els anteriors, en E =

3 :

1

0

Ex. I: dimx

y 0

x

z 0

3 rang

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

Ex. II: dimx

y 0

z

0

3 rang 0

1

0

Ex. III: dimx

0

x

z 0

3 rang 1

0

1

0

0

0

0

1

(2) En E =

4

considerem els subespais.

F

G

x x

x x

0

x

1

2

1 3 4

x2

x3

x4

0

6.23

Clarament

dim F

dimG

2

Tanmateix:

1

0

dim( F G)

4 rang

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0 0,

si 0 i 0

1,

si 0 o 0

2,

si 0 i 0

Aplicació. - Reprenem el sistema de control estudiat abans:

Havíem vist:

x( k 1) Ax(

k)

Bu(

k)

F1

assolibles amb només ( k 1

)

F assolibles amb només ( )

2

u = x

z 0

u = y

z 0

2 k

Afegim ara:

F1 F2

= assolibles amb qualsevol dels dos controls: u 1(

k ) o u ( k)

=

2

x z 0 y z 0 =

=

=

1

0

0

1

x

1

1

0

y

1

1

0

z 1

En general, per a un sistema discret de control:

F = estats assolibles des de 0, amb qualsevol dels dos controls u i

(k)

ó

i

F j

(k) u j

Obs. – Els subespais per equacions com intersecció d’hiperplans.

(1) En general, si

F

1x1

1x1

x

x

n

n

n

n

0

1

n

x1

0

0

x

: 1

n

xn

0

cada equació (no nul·la) determina un hiperplà

6.24

H

H

1

2

x

1

1

1

x

1

x

n

x

n

n

n

0

0

de manera que F pot considerar-se una intersecció reiterada de hiperplans:

F H 1

H

2

Per exemple, per hiperplans genèrics en

3 :

H , un pla;

2

1

H , una recta; H H 0

1

H

H .

1 2 3

(2) Aïlladament, cada hiperplà ( cada equació) representa una “restricció” entre les

variables x 1

xn

, que fa que els n “graus de llibertat” (= dimensió) inicials de x es

redueixin a n – 1.

En aplicar restriccions successives, restem un grau de llibertat per cadascuna, fora

que la nova restricció sigui “redundant” (= combinació lineal) amb les anteriors, en

quin cas no comporta disminució dels graus de llibertat.

El rang mesura quantes de les restriccions són efectivament l.i., és a dir, quina és la

disminució total de dimensió respecte la n inicial.

En general, doncs:

cada nova restricció ...

( cada nova equació)

( cada nou hiperplà intersectant)

... fa disminuir 1 grau de llibertat ...

( disminuir 1 la dimensió)

( augmentar 1 el rang de la matriu)

... fora que sigui redundant.

( la nova equació sigui combinació lineal de les anteriors)

( la nova fila de la matriu sigui l.d. amb les anteriors)

(3) Per exemple, considerem una estructura articulada

En principi, té 5 graus de llibertat, parametritzats per les separacions x1 , , x5

de

cada pis respecte a la vertical.

6.25

Si afegim un tirant P Q , el rectangle 1 2

P

1P2

Q2Q1

esdevé rígid, de manera que

x1 x 2

quedant només 4 graus de llibertat:

1

( x2

), x3,

x4,

x5

H 1

x 1

x 2

és, doncs, el

conjunt de configuracions possibles quan el rectangle P

1P2

Q2Q1

és indeformable, i

dim H 1

4 .

Si afegim un segon tirant P 2Q3

tindríem anàlogament:

H

H

2

x 2

x 3

1

H 2

x

1

x 2

x 3

x .

de dimensió 3, és a dir, amb 3 graus de llibertat: x1 ( x2

x3),

x4

, x5

. I així

successivament.

Fora que la nova restricció sigui “redundant” amb les anteriors, en quin cas no

suposa disminució dels graus de llibertat.

Així, tirants addicionals P 3Q1

i P 1Q3

són inútils:

H

H

3

x 1

x 3

1

H

2

H

3

H1

H

2

En efecte:

1

dim( H )

1

H

2

H

3

5 rang0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0 0 0

5 rang 0

1 1

0 0

3

0

0 0 0 0

Def. - Donats F, G E subespais vectorials, definim la seva suma F G :

F G v v ; v F,

v

F

G

F

G

G

Prop. (suma de dos subespais) –

En les condicions anteriors:

6.26

(1) F G és subespai vectorial.

(1’) El més petit que conté F i G: F G F

G

.

(2) Si F i G venen donats per generadors, la seva suma és el generat per tots ells:

F

G


v , ,

v

1

p

w , ,

w

1

q

F G

v , ,

v

1

p

, w , ,

w

1

q

Im A

1

Im A2

Im

A

1

A

2

Obs. –

(1) Com per la intersecció, la dimensió de F + G no queda determinada per les de F i G

ja que

dim F,

dimG

dim( F G)

dim F dimG

però les igualtats no valen (en general).

(2) Si F, G són donats “per equacions”, convé representar-los “per generadors” (p. ex,

una base) quan es vol estudiar F + G.

(3) Es generalitza a més de 2 subespais:


Exemple –

(1) Els anteriors, en E =

3 :

Ex. I: x

y 0

x

z 0

x

0

Ex. II:

3

x

y 0

z

0

R

Ex. III:

3

x

0

z

0

R

(2) En E =

4 , considerem els subespais:

6.27

Clarament:

F

1

0

0

1

,

;

0 0

0

0

1 0

0 1

G

,

dim F

dim G 2

Tanmateix:

1

0

dim( F G)

rang0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

4,

si 0 i 0

3,

si 0 ó 0

2,

si 0 i 0

Aplicació.- Reprenent altre cop el sistema de control

x( k 1) Ax(

k)

Bu(

k)

podem afegir ara:

F F estats assolibles emprant els controls u i

(k)

i (k)

i

j

u j

Per a l’exemple considerat abans resulta:

F1

F2

F

3

6.19.- Bases adaptades a dos subespais.

Vegem ara una important relació entre la intersecció i la suma de 2 subespais vectorials

(que no generalitza per a més de 2).

Lema - Donats F, G E subespais vectorials:

u u base F G

1

d

u1

ud

, v1

v

p

base F u1

ud

, v1

v

p

, w1

wq

u1

ud

, w1

wq

base G

base F G

Corol. (fórmula de Grassmann) –

Donats F, G E subespais vectorials:

(1) dim( F G)

dim F dimG

dim F G

(2) bases de la forma:

6.28

u u

1

d

u u

, v v

1

d

u u

, w w

1

d

u u

, v v

, w w

, z z

1

d

1

1

1

p

p

q

1

q

1

s

base F G

base F

base G

base E

Def. – En direm bases adaptades a F i G

Exemples –

(1) Els inicials a

3 :

Ex. I: F x

y 0,

G x

z 0:

dim( F G)

11

0 2

Ex. II: F x

y 0,

G z

0:

dim( F G)

2 1

0 3

Ex. III: F x

0,

G z

0:

dim( F G)

2 2 1

3

(1’) En aquest darrer cas, una base adaptada és:

u ( 0, 1, 0), v (0, 0, 1), w (1, 0, 0)

(2) Si dim E 10 , dim F 8 , dimG

6 , hi ha tres possibilitats:

dim( F G)

10 ( F G E);

dim( F G)

4

dim( F G)

9; dim( F G)

5

dim( F G)

8 ( F G F);

dim( F G)

6 ( F G 6)

(3) En E =

4 , anem a trobar una base adaptada als subespais:

F Im A,

1 0 1

1

1 0

A 2 1

1

1

2 1

G NucB,

1 0 1 0

B

1

1

2 1

Calculem primer dim F i les seves equacions:

1

1

2

1

0

1

1

2

1

0

1

1

x1

1

x2

0

~

x

3

0

x

4 0

0

1

1

2

1

1

1

2

x1

1

x1

x2

0

~

x

3

2x1

0

x

1

x4

0

0

1

0

0

1

1

0

0

x

x

1

x

1

1

x

1

x

x

2

2x

2

2

x

3

x

4

6.29

dim

F rangA 2

x1

x2

x3

0

Per tant

1

1 1 0

F

Nuc

x1

2x2

x4

0

1

2 0 1

C

Calculem ara dim G i dim( F G)

:

Calculem ara una base de F G :

Ampliem-la a bases de F i de G:

F NucC

G NucB

Una base adaptada serà:

( u , v,

w,

z)

amb, per exemple:

z (1, 0, 0, 0)

u,

v,

v (0, 1, 1,

2)

u,

w , w ( 1,

3, 1, 0)

Naturalment, no és única. Per exemple podríem prendre ( u , v',

w',

z)

, amb:

v'

w'

(1, 0, 1, 1)

(0, 1, 0, 1)

6.30

Obs. – Si coneixem bases (no adaptades) de F G , F, G i E, el lema anterior justifica

el procediment següent per obtenir una base adaptada:

Així, en l’exemple (3) anterior:

Per tant, una base adaptada està formada per les columnes 1, 2, 4 i 6 inicials. És a dir:

u ( 1,

2,1,5)

v (1,0,1,1)

w (0,1,0,1)

z (1,0,0,0)

6.31

Matlab/Octave.- Recordem que els índex de les columnes pivot d’una matriu A són els

que formen el vector jb obtingut amb [R,jb] = rref(A).

Aplicació.- Descomposició de Kalman d’un sistema de control.

Donat un sistema de control, amb “sortida” y(k)

x( k 1) Ax(

k)

Bu(

k)

; y( k)

Cx(

k)

un dels objectius clau és trobar-ne una anomenada descomposició de Kalman (tres

subsistemes que siguin respectivament “complet”, controlable i “observable”, amb la

mateixa “matriu de transferència” que l’inicial i de dimensió màxima entre els que

verifiquin les anteriors). Es demostra que una descomposició d’aquest tipus resulta de

prendre en l’espai d’estats una base adaptada a F, G, essent:

F Im B,

AB,

, A

C

CA

G Nuc

n1

CA

n1

B

6.20, ... , 6.24.- Subespais linealment independents. Suma directa.

Def. – Donats subespais vectorials

F1 , , F E :

s

(1) Es diu que són subespais linealment independents sii tot conjunt de vectors, un de

cada subespai, és l.i.:

v

1,

,v s

l.i., v1 F1,

, v s

Fs

(no nuls)

(2) Aleshores la seva suma es diu suma directa i s’escriu: F Fs

Exemple –

1

.

(1) En els inicials a

3 :

Ex. I:

Ex. II:

Ex. III:

SI

SI

NO

(2) Considerem:

F

1,

0, 0) ,

F (0,

1, 0) ,

F (1,

1, 0) ,

F (1,

1, 1)

1

(

2

3

4

6.32

Aleshores:

F

1

, F2

, F3

F

1

, F2

, F4

: no són l.i.

: són l.i.

(3) En general, per a subespais unidimensionals F v

,

,

v ,

,

1

v s

l.i. v

1,

,vs

l.i.

1 1

F s

v s

:

(4) Un dels casos més importants, que veurem i emprarem més endavant és:

A

M n

1

Nuc( A 1I

), , Nuc(

A I)

són l.i.

s

s

(4’) Verifiquem-ho ara per:

1

2

0

0

A

1 2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 2

0

0

1

2

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

;

0

1

0

1 0, 2

1, 3

1

per comprovació directa. De seguida veurem caracteritzacions que evitaran aquests

càlculs tant tediosos.

En aquest cas els subespais en qüestió són:

u1

(1,0,0,1,0,0)

F

1

NucA u

1,

u2

,

amb :

u

2

(0,0,1,0,0,0)

u

1

(0,1,0,0,0,0)

F

2

Nuc(

A I)

u1,

u2

,

amb :

u

2

(0,0,1,0,1,1)

u

1

(1,0,0, 1,0,0)

F

3

Nuc(

A I)

u1,

u2

,

amb :

u

2

(0,0,1,0,1, 1)

Cal comprovar que si v

1

, v2

, v3

pertanyen a F

1

, F2

, F3

respectivament, aleshores són

l.i. Suposem, doncs:

v1

1u1

2u2

1v1

2v2

3v3

0 amb v2

1u1

2u2

v

3

1u1

2u2

i cal veure que ha de ser

1

2

3

0

6.33

L’equació de partida equival a:

1

1

1

2

0

21

B ,

2

2

0

3

1

3

2

B Mat u , u

1

2

, u,

u

, u,

u

1

2

1

2

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

Com que rangB 6 , la única solució és la nul·la:

1

1

1

2

21

2

2

3

1

3

2

Com que , 1 2

no poden ser 0 tots dos, ha de ser 1

0 . Anàlogament 0

2

3

.

0

Prop. – Propietats fonamentals dels subespais l.i. (de fet, només certes per l.i.) són:

(1) F

1,

, Fs

l.i. dim( F1 Fs

) dim F1

dim Fs

.

(2) F

1,

, Fs

l.i. ( base F1 , ,

base Fs

) és base de F Fs

1

.

(3) F

1,

, Fs

l.i. tot v F1

Fs

descompon de forma única (!) en:

Exemple –

v v1

v s

; on v1 F1,

, v s

Fs

(1) Refem l’exemple (3) anterior. Com que:

rangB 6

la caracterització (2) ens permet assegurar que F

1

, F2

, F3

són l.i.

(2) Per a s 2 , de la caracterització (1) i la fórmula de Grassmann resulta:

6.34

F l.i. F F 0

1 , F 2

1 2

Obs. –

(1) Per a s 2 , la caracterització per interseccions no és tan simple:

Així es poden verificar els exemples (2) inicials.

(2) Donat F E , se’n diu un seu complementari qualsevol subespai G E tal que:

F G E .

N’hi ha, i no és únic, ja que, per exemple:

base F

base E

u

1

ud

un

G ud

1, ,

un

és un complementari de F

6.35

Tema 7

Aplicacions Lineals

7.1, ... ,7.3. – Aplicacions lineals.

Def. – Essent E, F espais vectorials sobre :

(1) Una aplicació f : E F es diu lineal si

(1.1) f ( w w)

f ( w)

f ( w)

(1.2) f ( w)

f

( w)

per tot

w, w

E , .

(2) Si E F , s’anomena endomorfisme de E.

(3) L ( E,

F)

i L( E)

End(

E)

designen els conjunts de les aplicacions de (1) i (2)

respectivament.

Obs. – Sistemes lineals.

(1) Una aplicació f : E F formalitza la idea general de:

- E : un conjunt de “entrades” (= inputs, causes, estímuls, ...).

- F : un conjunt de “sortides” (= outputs, efectes, respostes, ...).

- f : un “sistema” (= “caixa negra”, transformació, relació, correspondència,...)

que dona una sortida per a cada entrada

entrada sistema sortida

Exemples clàssics originaris són els integradors, retardadors,... de famílies de

funcions dependents del temps (= “senyals”, com ara ones sinusoïdals, ones

rectangulars, dents de serra, graons, impulsos,...). Actualment aquest model general

s’aplica a sistemes de molt diversa índole: elèctrics, mecànics, econòmics,

poblacionals, biològics, etc.

(2) En cada cas, els elements de E i F seran senyals, corrents elèctrics, voltatges, forces,

velocitats, acceleracions, consums, produccions, habitants, medicacions, etc. Aquí,

per tal de poder modelitzar-los com a “vectors”, cal que en algun sentit puguin

“sumar-se” (= superposar-se, acumular-se, ...) i “multiplicar-se per un escalar” (per

exemple, duplicar-se, augmentar un 10%, ...), verificant les propietats de “espai

vectorial” estudiades en temes anteriors.

Aleshores, el concepte de “linealitat” de la definició anterior formalitza la idea que

la relació causa / efecte en un sistema d’aquest tipus respongui als principis de

7.1

(2.1) superposició: diverses causes actuant alhora produeixen la superposició

dels efectes separats de cadascuna

(2.2) proporcionalitat: de l’efecte respecte a la causa

No és el cas, per exemple, quan apareixen fenòmens d’histèresi, saturació, transició

de fases, règims transitoris, etc.

Tanmateix, són versemblants en intervals determinats dels valors de les variables, en

les proximitats dels estats nominals, en règims permanents, etc. Per exemple, la llei

de Ohm, que estableix la proporcionalitat entre intensitat de corrent i caiguda de

potencial, és de fet vàlida per determinats intervals de variació d’aquestes

magnituds.

Més en general, són models vàlids com primera aproximació, pendents de

refinaments ulteriors. Per exemple, en els models presa/depredador,...

(3) Interessa especialment el cas en que les entrades/sortides puguin representar-se per

un cert nombre de paràmetres, que serà la dimensió dels espais vectorials E i F. Per

remarcar aquest fet, sovint s’empra el diagrama multivariable

Com veurem al llarg d’aquest tema, aquests sistemes lineals sempre poden

considerar-se multiplicadors per una certa matriu A, de manera que resulta

Aplicacions.

y1

x

A

y

1

m

x n

(1) En sòlids elàstics, hi ha una relació lineal entre la posició inicial de cada punt i la

seva posició final després d’aplicar uns determinats esforços.

(2) En circuits elèctrics, hi ha una correspondència lineal entre les fonts de generació

connectades a la xarxa i la intensitat de corrent en cada punt.

(3) En models poblacionals, els índex de natalitat, mortalitat, etc., permeten establir una

relació lineal entres les situacions successives en períodes determinats.

7.2

Exem. –

(1) L’aplicació f :

3 definida per

y f ( x)

a x a x a x , x x , x , )

1

1

2

2

3

3

(

1 2

x3

3

és lineal, qualsevol que siguin

a , a

1

a 2

,

3

. En efecte:

f ( x x)

a1(

x1

x

1)

a2

( x2

x

2

) a3(

x3

x

3)

f x)

f ( x)

( a x a x a x ) ( a x

a x

a

(

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3x3

que òbviament coincideixen. Igualment coincideixen:

f ( x)

a1(

x1)

a2

( x2

) a3

( x3)

f x)

(

a x a x a )

(

1 1 2 2 3x3

(1’) Al contrari, no són lineals:

)

2

f ( x1 , x2

, x3)

a1(

x1

) a2

x2

a3x3

f ( x1 , x2

, x3)

a1x1

a2

x2

a3x3

b

f ( x1 , x2

, x3

) a1x1

a2

x2

a3x3

cx1x

2

x3

(2) Més en general, són lineals les aplicacions f :

n

si x x , ,

x )

( 1 n

la seva imatge f

ve donada per

y1

a

y1

a

11

(

1 m

x

x)

y ( y , ,

y )

1

x

m1

1

a

1n

a

(2’) Altrament escrit (vegeu la observació anterior)

x

mn

n

x

n

m

n

m definides com segueix:

y1

a11

ym

am1

a1

n

x

a

mn

x

1

n

(3) Per E F

2[t], són lineals les aplicacions:

f ( P(

t))

P(0)

P(1)

t P

(2) t

f ( P(

t))

( t 1)

P(

t 2)

però no ho és

2

7.3

f ( P(

t))

P(

t)

P

( t)

(4) Per E M

n

( ), són lineals les aplicacions:

t

f : E E , f ( A)

A

f : E , f ( A)

trA

però no ho són:

f : E , f ( A)

det A

t

f : ( ) E, f ( A)

A A

M

mxn

(5) Per

E C ( ), són lineals les aplicacions derivació i integració:

f : E E , f ( (

t))

(

t)

f : E , f ( ( t))

(

t)

b a

(6) Són endomorfismes del pla E =

2 :

(6.1) les rotacions (de centre l’origen).

(6.2) les compressions (de raó k) que produeixen deformacions com a la figura.

(7) És un endomorfisme de E = 2[t] l’aplicació que fa correspondre a cada polinomi

P( t)

E el que té un gràfic simètric del de P (t)

respecte a l’origen.

Aplicació.- Model reticular per a configuracions tèrmiques.

La distribució de temperatures en un sòlid es modelitza per les dels nusos d’un cert

reticle. Per exemple, per la secció d’una biga quadrangular podríem considerar un

reticle com el de la figura

7.4

Se suposa que la temperatura dels nusos perifèrics és directament mesurable, mentre

que la dels interiors es determina per la “regla de temperatures” següent: la temperatura

en cada nus interior és igual a la mitjana de les dels quatre adjacents .

En el cas particular de la figura anterior tindríem:

x

x

x

x

1

2

3

4

1

4

1

( x

(

4

1

(

4

1

(

4

x

x

x

5

1

4

12

x

6

x

2

x

2

x

1

x

2

x

8

x

9

x

3

x

x

4

3

x

)

)

10

x

que dóna una aplicació lineal entre les temperatures dels nusos perifèrics i les dels

interiors:

11

( x5,

,

x12

) ( x1,

,

x4

)

Això concorda amb l’apreciació natural que els principis de superposició i

proporcionalitat són vàlids per la relació entre la configuració tèrmica perifèrica i la

interior.

)

)

7.3,7.4.- Determinació per les imatges d’una base.

De la definició es dedueix immediatament:

Prop. – Essent

f

: E F lineal:

(1) f ( 0) 0

(2) f w

w ) f ( w )

f ( w )

(

1 1

p p 1 1

p p

Una conseqüència important de la segona és:

7.5

Corol. (determinació per les imatges d’una base) –

Una aplicació lineal f : E F queda determinada per les imatges d’una base de E.

Més específicament: si ( u 1

, , u n

) és una base de E i es coneixen f ( u 1

), , f ( u n

)

aleshores per qualsevol altre vector

ha de ser

f

w u

1

1

nu n

w)

f ( u )

f ( u

(

1 1

n n

)

Exem. –

(1) Considerem en E =

2 una rotació f de 30º (antihorària). És clar que:

e

e

1

2

f ( e )

1

f ( e

2

3 1

,

2 2

1

)

,

2

3

2

Per tant, per qualsevol altre vector:

x ( x , x

1

2

)

f ( x)

x

1

3

2

1

,

x

2

2

1

,

2

3 x

1

2

3 x

2

2

x

,

1

x

2

2

3

(2) Considerem la compressió (6.2) anterior:

Per tant:

e

e

1

2

x ( x , x

f ( e ) ke

1

f ( e

2

1

1

) e

k

) f ( x)

x ke

2

x

1

e

k

kx

1 2

1 1 2 2 1,

En efecte, per al vèrtex ( L , L)

:

L

f ( L,

L)

kL,

k

x2

k

7.6

(2’) Podem emprar aquesta expressió analítica per verificar que, si k 1, no hi ha punts

fixos, fora de 0:

x

x

f ( x)

x

1

2

kx

x

2

1

k

que és incompatible si k 1.

(3) Per a l’exemple (7) anterior:

1

t

t

2

f (1) 1

f ( t)

t

f ( t

2

) t

2

Per tant:

f

2 2

( a bt ct ) a

bt ct

(3’) En particular si P (t)

té arrels simples , :

f (( t )(

t ))

f ( t

( t)

t

2

2

( ) t )

(

t )(

t )

és a dir, f ( P(

t))

té arrels , , la qual cosa concorda amb la representació

gràfica anterior.

Obs. –

(1) Aquesta propietat resulta fonamental per a la determinació experimental del

comportament d’un sistema lineal: és suficient mesurar la resposta per a tantes

entrades com la dimensió de E (si bé experimentacions addicionals són útils per

confirmar les hipòtesis, certificar els càlculs,...). Vegeu, per exemple, l’aplicació

següent sobre sistemes evolutius. Notem que no és vàlid per dimensió infinita: per

exemple, si el sistema és un integrador.

(2) Remarquem que les n entrades han de formar base:

(2.1) Si els vectors u

i

són l.i., però no generen E, l’aplicació f no està determinada.

Per exemple si E = 2 i coneixem només f ( e 1

) , aleshores f ( e 2

) pot ser

qualsevol.

(2.2) Si els vectors u

i

són l.d., poden aparèixer contradiccions.

Per exemple, si E = F =

2 les condicions

f ( e e , f ( e ) e , f ( 1,1) (2,1)

2 2

1 )

1

7.7

són contradictòries, ja que les dues primeres impliquen

f ( 1,1) f ( e1 ) f ( e2

) (1,1)

(2.2’) Vegeu també l’exemple següent.

Exem. - Essent E = 2[t], ens preguntem si hi ha algun endomorfisme f per al qual

2 2

( t )

t

f ,

(*)

(1) En particular, per a 0,

1, 1

tindríem respectivament

2 2

2 2

f ( t ) t , (( t 1)

) t 1

2 2

f , f (( t 1)

) t 1

(**)

igualtats que determinen l’únic possible endomorfisme, ja que els polinomis

2

2

2

t , ( t 1)

, ( t 1)

formen base.

(2.1) Per verificar (*), una manera seria:

- calcular (per cada valor de ) els coeficients , ,

que fan

2 2

2

( t ) t ( t 1)

( t

1)

2

- d’aquí i (**) resulta

2

f (( t ) ) t

2

(

t

2

1)

(

t

2

1)

(2.2) Una alternativa potser més senzilla és:

- restant la primera de (**) a la segona i a la tercera resulta

f ( 2t

1)

1, f ( 2t

1)

1

- la seva suma i diferència donen

f ( 2) 0 , f ( 4t)

2

- doncs, l’únic possible endomorfisme seria el que

2 2

f ( t ) t , f ( t)

1 2 , f ( 1) 0

- per aquest endomorfisme la resposta és afirmativa ja que

2

2

2

2

2

f (( t )

) f ( t 2t

) f ( t ) 2f

( t)

f (1) t

2

Aplicació - Determinació d’un sistema evolutiu per estats consecutius

Tal com es detallarà en temes posteriors, en els sistemes lineals discrets es consideren

vectors x( k)

E que van prenent valors diferents en funció de k (per exemple,

intervals regulars de temps), de manera que la relació entre dues valoracions

consecutives respon a una mateixa aplicació lineal:

7.8

f

f

f

x ( 0)

x(1)

x(2)

Per exemple, variació anual de n poblacions, variació diària d’una barreja de n

substàncies que reaccionen, etc.

(1) Suposem per exemple:

f

f

f

x ( 0) (1,0)

x(1)

(2,1)

x(2)

(5,1)

Ens preguntem si amb aquestes dades podem predir el comportament futur. La

resposta és afirmativa, aplicant la proposició anterior:

x(2)

(5,1) 3x(0)

x(1)

x(3)

Per un estat qualsevol:

f ( x(2))

3 f ( x(0))

3(2,1) (5,1) (11,4)

x ( x , x

1

2

f ( x)

( x

( x

1

) ( x

1

2x

2x

2

2

1

2x

2

) f ( x(0))

x

)(2,1) x

) x(0)

x

2

f ( x(1))

2

2

x(1)

f ( x(1))

(5,1) (2x

1

x , x

(2) En general, calen n+1 observacions experimentals x(0), x(1), ..., x(n) per determinar

un sistema evolutiu de n coordenades (per les imatges de x(0), x(1), ..., x(n-1)).

De fet, cal que x(0), x(1), ..., x(n-1) siguin l.i., la qual cosa es dóna genèricament en

la pràctica, ja que equival a que el seu determinant no sigui 0. En cas contrari,

caldria incrementar el nombre d’observacions directes, fins a tenir les imatges de n

estats l.i.

Tanmateix, a tall de comprovació (hipòtesi de linealitat, càlculs,...) , convé comparar

algunes prediccions x(n+2), x(n+3),... amb avaluacions experimentals addicionals.

2

1

x

2

)

7.6, ... ,7.8.- Matriu d’una aplicació lineal.

Acabem de veure com, conegudes les imatges d’una base, podem calcular la imatge de

qualsevol altre vector. Sistematitzem aquests càlculs:

Def. – Essent E,F -espais vectorials i f : E F lineal, considerem u , , u ) i

( 1 m

v , , v ) bases de E i F respectivament.

(1) Es defineix la matriu A de f en les bases (u i ), (v j ) mitjançant:

( 1 n

7.9

A Mat

)

( u v

f Mat

v

f u f un

M

i )(

( ( ), , (

j )

( j ) 1

mxn

( )

és a dir:

la seva columna i-èsima ( i 1, ,

n)

són les coordenades de f u )

en la base v , , v ) .

( 1 m

(1’) Més específicament:

( i

f ( u ) a

i

v

1i

1

a

mi

v

m

(2) Si E F i ( ui

) ( v

j

) , s’escriu simplement Mat

u

f

i )

(

.

Prop. – En les condicions de la definició anterior, si:

x E , y f ( x)

F

x

X Mat

u

x

i )

x

1

n

(

,

y

Y Mat(

v

y

j )

y

1

m

aleshores:

Y

AX

és a dir:

Exem. –

y1

a

ym

a

11

m1

a

a

1n

mn

x

x

1

n

(1) Refem alguns exemples anteriors:

(1.1) Per la rotació (antihorària) de 30º en

2 :

e

f ( 1

)

1

e

3 1

,

2 2

1 3

e 2 f ( e 2

)

,

2 2

7.10

Per tant, la matriu de f en les bases ordinàries de

2 és:

A

3

2

1

2

1

2

3

2

Aleshores, si x , x 1

)

(

2

x és:

Mat

( e 1,

e2

)

f ( x)

3

2

1

2

1

2

x

3

x

2

1

2

x

x

1

1

3 x

2

2

x2

3

2

(1.1’) Més en general, per una rotació (antihorària) d’angle :

Mat

( e 1,

e2

)

f

cos

sin

sin

cos

(1.2) Per la k-compressió:

e

e

1

f e1

)

2

( ke1

1

f ( e2

) e2

k

Per tant, la matriu de f en la base ordinària de

2 és:

k

0

A

0 1

k

Aleshores, si x ( L,

L)

, és:

Mat

( 2

k

f ( x)

0

e1

, e )

1

0

L

kL

L

k L k

(1.3) Per la simetria de polinomis respecte a l’origen:

1 f (1) 1

t f ( t)

t

t

2

f

2 2

( t ) t

Per tant, la matriu de f en les bases ordinàries de 2[t] és:

7.11

1

A 0

0

0

1

0

0

0

1

Aleshores, si

P( t)

a bt ct

2

, és:

Mat

2

(1, t,

t )

1

f ( P(

t))

0

0

0

1

0

0

a

a

0 b

b

1

c c

(2) Considerem f : E M

2

( ) F

1[t] definida per

a

f

a

11

21

a

a

12

22

( a11

a22

) t ( a12

a21)

Si prenem les bases ordinàries:

1

0

f t

0

0

0

1

f 1

0

0

0

0

f 1

1

0

0

0

f t

0

1

Per tant:

0

A

1

1

0

1

0

0

1

En efecte:

a

a

A a

a

11

12

21

22

a

a

12

11

a

a

21

22

(3) Sigui f : E

2

F

3 definida per:

f ( x1,

x2

) ( x1

x2

, 2x1

x2

, x1

3x2

)

7.12

Considerem les bases:

base E : ( e , e 1 2

)

base E : ( u , u 1 2

) ; u (1,1 ) , (1, 1)

1

u

2

base F ( e , e , )

:

1 2

e3

: ( v1,

v2,

v3

base F ) ; v (0,1,1

1

) , v (1,0,1 ) , )

2

v

3

(1,1,0

Tenim:

f ( e ) (1,2, 1)

e 2e

e v

v

1 1 2 3 2

2

1 5 3

f ( e2

) (1, 1,3)

e1

e2

3e3

v1

v2

v3

2 2 2

1 3 1

f ( u1)

(2,1,2) 2e1

e2

2e3

v1

v2

v3

2 2 2

1 7 7

f ( u2

) (0,3, 4) 3e2

4e3

v1

v2

v3

2 2 2

Per tant, les matrius resultants segons les bases considerades són:

(

1 2

e3

e , e , )

v , v , )

3

(

1 2

v3

1 1

e 1,

e

)

2 1

1

3

(

2

2

0

u 1,

u

)

1

3

2

4

(

2

0

1

2

1

2

3

2

1

2

1 2

5 2

3 2

1

2

7 2

7 2

Aplicació.- Matriu del model reticular per a configuracions tèrmiques.

En el model reticular per a configuració tèrmica presentat abans tindríem:

x 1,

x

0 7 , 1 , 1

6

x12

x1

x

,

24

2

x

12

3

x

24

4

etc., emprant que

5

1

12

4

1

0

1

1

4

1

0

0

1

4

1

1

0

1

4

1

1

24

7

2

1

2

2

7

2

1

1

2

7

2

2

1

2

7

Per tant, la matriu de la correlació entre temperatures perifèriques i interiors seria

7.13

7

7 2 2 1 1 2 2

1 2

2 7 7 2 2 1 1

A 1

1 2 2 7 7 2 2

;

24

2

2 1 1 2 2 7 7

x

x

1

4

x

A

x

5

12

Aplicació.- Matriu d’un sistema evolutiu.

Per al sistema evolutiu anterior tenim:

f : E F

( 1,0) (2,1)

( 2,1) (5,1)

2

2

(1) Si prenem:

base E: u (1,0

1

) 2

base F: v (2,1

1

) 2

resulta:

f ( u ) v , ( u ) v

1 1 2 2

f

i per tant

Mat

( u ) ( v )

f

i

j

1

0

0

1

(2) Si prenem:

base E: u (1,0

1

) 2

base F: v1 u1

, v2 u2

resulta:

f ( u

1

f ( u

2

) (2,1) u

2

) (5,1) 3u

1

u

2

i per tant:

Mat

i

( u )

f

0

1

3

1

(3) Si prenem en E, F les bases ordinàries, resulta:

7.14

f ( e )

1

f ( e

2

f (1,0) (2,1) 2e

) f (0,1) f ( 2x(0)

x(1))

2x(1)

x(2)

2(2,1)

(5,1)

(1, 1)

e

1

e

2

1

e

2

i per tant:

Mat

i

( e )

f

2

1

1

1

(3’) En particular, confirmem el que ja havíem obtingut, però ara de manera molt més

simple:

Mat

i

( e )

x

2

(3)

1

1 5

11

11

4

7.9, ... ,7.16.- Operacions. La seva matriu.

Considerem:

E F

G

f , f

g

( ui

) A,

A ( v j ) B ( wk

)

E , F,

G -espais vectorials

u ),( v ),( w ) bases respectives

(

i j k

f , f , g lineals

A , A , B les matrius respectives en les bases anteriors

Prop. (suma, producte per escalar) – En les condicions anteriors:

(1) f f és lineal, i : Mat ( f f )

A A

(2) f és lineal, i:

Mat

( ui

)( v j )

( ui

)( v j )

( f

) A

Obs.- Amb aquestes operacions, L ( E,

F)

és un espai vectorial sobre .

Veurem que:

dim L(

E,

F)

dim E dim F

Prop. (composició) – En les condicions anteriors:

g f és lineal i: Mat ( g f ) BA

( u )( w )

i

k

7.15

Obs.- Les operacions anteriors tenen una representació natural en els diagrames de blocs

emprats en l’estudi de sistemes. Així, B ( A + A’ ) és la matriu corresponent al

diagrama:

Corol. (potències, combinacions polinomials, inversa) –

En particular, si

E F i u ) ( v ) :

( k )

(

i j

( k )

(1) f f f és lineal i:

Mat

i

( u )

f

( k )

A

k

(2) Si

P(

f )

s

P( t)

a0

a1t

a s

t :

( s)

a0I

a1

f a s

f és lineal i:

(3) Si a més f és bijectiva:

1

f és lineal i:

Mat

i

Mat

( u )

P(

f ) P(

A)

1

( u )

( f )

i

A

1

s

a I a A

a A

0

1

s

Obs.-

(1) Un endomorfisme f s’anomena nilpotent si, per algun exponent k, és nul·la la seva

( k )

( k )

potència f f

base qualsevol.

f

. Equivalentment, és nilpotent la seva matriu en una

(2) Recordem que, en general, la composició d’aplicacions i el producte de matrius no

és commutatiu:

g f f g;

BA AB

(2’) Tanmateix, si que commuten dues combinacions polinòmiques d’un mateix

endomorfisme:

P( f ) Q(

f ) Q(

f ) P(

f ); P(

A)

Q(

A)

Q(

A)

P(

A)

Exem. –

(1) Continuant amb els exemples anteriors:

(1.1) La inversa d’una rotació d’angle és una rotació d’angle :

7.16

cos

sin

sin

cos

1

cos

sin

sin

cos(

)

cos

sin(

)

sin(

)

cos(

)

(1.2) La inversa de la k-compressió segons l’eix vertical, és la compressió anàloga

segons l’eix horitzontal:

k

0

0

1

k

1

1

k

0

0

k

és a dir:

e

1

k

1

e1;

e

2

ke

2

(1.3) La inversa de la simetria respecte a l’origen és la mateixa simetria:

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

(2) Per al sistema evolutiu lineal estudiat abans:

f

x( 0) (1,0) x(1)

(2,1) x(2)

(5,1)

f

havíem obtingut:

A Mat (

f

e )

i

2

1

1

1

Verifiqueu que, efectivament:

x(2)

A

x(0)

A

2

x(0)

1

x(1)

7.17, ... ,7.19.- Rang. Determinant.

Def. – Essent E, F -espais vectorials i f : E F lineal.

Considerem ( u i

) , v ) bases qualssevol de E, F i A Mat f .

( j

(1) Es defineix el rang de f mitjançant

rangf r rangA

( u )( v )

i

j

7.17

(2) Si E=F (doncs, f endomorfisme) i ( u i

) = v )

det f det A

( j

, definim el determinant de f per:

Obs. – Veurem més endavant (canvis de base) que aquestes definicions no depenen de

les bases considerades.

Matlab/Octave.- Recordem que s’obtenen directament amb les comandes rank(A) i

det(A), respectivament.

7.20, ... , 7.23.- Injectivitat i exhaustivitat. Isomorfismes.

Anem a obtenir criteris de injectivitat, exhaustivitat i bijectivitat per f, en termes del seu

rang i determinant. Recordem que:

Def.- Essent E, F -espais vectorials i f : E F lineal:

(i) f injectiva f ( x)

f ( x)

només si x x

(ii) f exhaustiva per tot y F hi ha x E amb f ( x)

y

(iii) f bijectiva injectiva i exhaustiva

Obs.-

(1) Podem reformular les definicions anteriors en termes de sistemes:

(i’) una resposta no pot ser efecte de dues entrades diferents

(ii’) tota resposta és factible, amb una entrada adequada.

(2) Igualment, si A és la matriu de f en qualssevol bases de E i F , podem reformular-les

en termes matricials:

(i”) és determinat el sistema homogeni (i per tant compatible): A ( x x)

0

(ii”) qualsevol que sigui y, és compatible el sistema: Ax y

Doncs, del teorema de Rouché-Frobenius es dedueix la caracterització següent.

Prop. (criteris de injectivitat i exhaustivitat) – Essent E, F

f : E F lineal:

-espais vectorials i

(i) f injectiva rangf dim E ( dim E dim F)

(ii) f exhaustiva rangf dim F ( dim E dim F)

Exem. – Reprenem els exemples de (7.6,...,7.8):

7.18

(1.1) Per les rotacions és r 2 , i per tant són bijectives.

(1.2) Ídem les k-compressions.

(1.3) És r 3, i per tant també bijectiva.

(2) És r 2 , i per tant: exhaustiva, no injectiva.

(3) És r 2 , i per tant: injectiva, no exhaustiva.

Obs. (existència d’aplicacions injectives i exhaustives) .–

(1) En les condicions del corol·lari anterior, si u , , u ) és una base qualsevol de E:

( 1 n

(i) f injectiva f u ), ,

f ( u ) l.i. ( n m )

( 1 n

(ii) f exhaustiva f u ), ,

f ( u ) generen F ( n m )

( 1 n

(2) En particular, essent v , , v ) és una base qualsevol de F:

( 1 m

(i) si n m , és injectiva l’aplicació f definida per:

f ( u1)

v1

, , f ( u n

) v n

(ii) si n m , és exhaustiva l’aplicació f definida per

f ( u1)

v1

, , f ( u m

) v m

; f u

) , , f ( u ) qualssevol

(

m 1 n

Prop. (criteris de bijectivitat) – Essent E, F -espais vectorials i f : E F lineal:

(1) f bijectiva dim E dim F

(2) f bijectiva rangf dim E dim F

(3) f bijectiva det A 0 , essent A la matriu de f en qualssevol bases de E i F

Obs. –

(1) Altres criteris de bijectivitat són:

(1.1) f u ), , f ( u ) és base de F, essent u , , u ) una base qualsevol de E.

( 1 n

( 1 n

1

(1.2) Existeix L( F,

E)

amb: f I

E

. Aleshores: f .

1

(1.2’) Existeix L( F,

E)

amb: f I

F

. Aleshores f .

(2) Fem notar que els criteris (1.2) i (1.2’) no són vàlids per espais vectorials de

dimensió infinita.

Def. – Essent E, F

-espais vectorials:

7.19

(1) Una aplicació f : E F lineal bijectiva s’anomena un isomorfisme.

(2) Si existeix una aplicació d’aquest tipus es diu que E i F són isomorfs.

S’escriu E F , o de forma més precisa

~

f : E F.

Teor. (existència d’isomorfismes) – Essent E, F

-espais vectorials:

(1) E F dim E dim F

(2) Més específicament, un isomorfisme ve definit per

f u ) v , , f ( u n

) v n

(

1 1

on ( u i

) , ( v i

) són bases qualssevol de E i F.

Exem. –

(1) Continuant amb els exemples anteriors, (1.1) i (1.2) són isomorfismes de

és un isomorfisme de 2[t].

2 , i (1.3)

(2) Són isomorfs tots els espais vectorials sobre de dimensió 3: vegeu l’apartat (5.0).

En particular:

f

f

f

:

:

:

3

3

3

~

2[t],

~

~

f ( a,

b,

c)

a bt ct

a

b

Sim 2

t , f ( a,

b,

c)

b

c

H 3

C ( ), f ( a,

b,

c)

a bsin

t csin

2t

2

(3) Són també trivialment isomorfs:

nm

M mxn

( )

Per exemple:

(4) També:

a

a

6

a

A a

a

A M 3x2

( )

, a , ,

)

( a1 2

a6

1

3

5

a

a

a

2

4

6

M

3x2

( ) L (

2 ,

3 )

7.20

A ( ) f L (

M 3x2

a

A a

a

f ( x

1

3

5

1

, x2

)

a2

a4

a

6

x

A

x

1

2

2 ,

3 )

(4’) Més en general:

L( E,

F)

( )

M mxn

f L( E,

F)

A Mat

~

( u )( v )

on ( u i

) , ( v i

) són bases qualssevol de E i F.

i

j

f

En particular, com ja havíem anunciat:

dim L(

E,

F)

dim E dim F

Obs. (classificació d’espais vectorials).–

(1) Si E F , els podem considerar “clònics” a efectes de operacions, subespais,

aplicacions, etc.

(1’) Sembla, doncs, natural classificar els -espais vectorials agrupant en una mateixa

classe els que siguin isomorfs entre ells. Es a dir, segons el teorema anterior, els de

la mateixa dimensió.

Com que en cadascuna n’hi haurà un de la forma

n , resulta un panorama molt

simple dels -espais vectorials:

,

2 , ...,

n , ...

i les seves “còpies isomòrfiques” (segons la dimensió)

(2) Recordem que la dimensió depèn dels escalars considerats. Per exemple:

dim C = 2, dim C C = 1

Per tant:

2 C sobre (!!)

7.24, ... ,7.29. – Nucli i imatge d’una aplicació lineal.

Recordem que, essent

f : E F lineal:

7.21

si f no és injectiva, hi ha w E amb: f ( w)

0, w 0

si f no és exhaustiva, hi ha v F amb: f ( w)

v , per tot w E

Doncs:

Def. – Essent

f

: E F lineal:

(1) Anomenarem nucli de f:

Nucf

w

E : f ( w)

E

0

(2) Anomenarem imatge de f:

Im f

f

( w)

F quan w E

F

,

Obs.- En termes de sistemes:

(1’) nucli: les entrades “inútils”, les que no alteren la resposta (per compensació interna,

rigidesa, desconnexió, filtratge,...).

(2’) imatge: les respostes efectivament possibles (quan recorrem totes les entrades); la

“no accessibilitat” de les altres pot derivar-se de lleis de conservació, filtres,

confinaments, invariàncies, ...

Prop. – En les condicions anteriors:

(1) El nucli i la imatge de f són subespais vectorials:

NucF E,

Im f

F

(2) f injectiva Nucf 0

(3) f exhaustiva Im f F

Exem. –

(1) En E F

2 , si f és una rotació:

2

Nucf 0 , Im f

(2) Essent E

3 , considerem la projecció sobre el pla horitzontal:

: E F,

( x1,

x2

, x3)

( x1,

x2

, 0)

Aleshores:

Nucf

( 0, 0, x x3

3);

7.22

Im f

( x1 , x2

, 0); x1,

x2

(3) Essent f End (

3 ) definit per:

f ( e e f e e f e e

e

1

)

1,

(

2

)

2

, (

3)

1

2

resulta:

Nucf

( x x x x x x

1

, 2

, 3

) : 1

1,

x2

, x3)

: x

Im f ( x

3

0

2

3

(4) Per la derivació D :

2 [t] 2[t]

NucD 0[t] =

Im D 1[t]

Obs.-

(1) De la proposició anterior resulta

f ( w)

f ( w)

w w

Nuc

f

que permet relacionar les diferents “causes” que poden correspondre a un mateix

“efecte” en un sistema lineal (vegeu l’aplicació següent, sobre distribucions

tèrmiques).

(2) Es fàcil calcular el nucli i la imatge d’una aplicació lineal a través de la seva matriu

en bases qualssevol:

Nucf NucA x

: Ax 0

Im f Im A col.

A

La proposició següent precisa aquestes relacions.

Prop. – Essent

f : E F lineal, i A la seva matriu en bases qualssevol u , , u ) de

E i ( v 1

, , v m

) de F. Sigui:

r rangf ( rangA)

x1

(1) Nucf u

x1u1

xnun

: A

0

E

x

n

Im f f ( u1),

, f ( un )

(2) En particular:

F

( 1 n

7.23

dim Nucf dim E r

dim Im f r

Exem. –

(1) Sigui f :

3

3 , amb matriu en bases ordinàries:

1

A 0

0

0

1

0

1

1

0

(1.1)

(1.2)

Nucf

Im f

x1

x3

0

(

x1,

x2

, x3

) :

x2

x3

0

dim Nucf 3 2 1

una base de Nucf és: ( 1, 1, 1)

1

0

1

0

, 1

, 1

0

0

0

dim Im f 2

una base de Im f és: ( 1, 0, 0), (0, 1, 0)

(2) Sigui f :

2[t] 2[t], amb matriu en bases ordinàries:

1

A 0

0

Operant com abans:

0

1

0

1

1

0

base

base

Nucf : 1

t t

Im f :1,

t

2

(3) Essent f :

3[t] M 2 ( ) definida per:

7.24

1

2

f (1)

3

1

1

1

f ( t)

2 0

2 0

1

f ( t )

1

1

3 1 3

f ( t )

2 4

La seva matriu en les bases ordinàries és:

1

2

A 3

1

1

1

2

0

0

1

1

1

1

3

2

4

Pivotant:

(3.1) Per tant:

rangA 2

dim Nucf

4 rangA 2

dim Im f rangA 2

(3.2) El nucli estarà format pels polinomis

P( t)

dt

2 3

a bt ct determinats per:

a b d 0

b c 5d

0

Dues solucions l.i. són:

c 1, d 0 b 1,

a 1

c 0, d 1 b 5, a 4

Per tant:

Nucf

2

3

1

t t , 4 5t

t

7.25

(3.3) Com que les columnes pivot són les dues primeres, podem prendre-les com base:

Im f

1

1

2

1

1

,

3

2

3

1

0

2

1

,

1

2

1

0

Matlab/Octave.-

(1) Nucli de f.

Recordem que s’obté directament una base amb

- null(A): cada columna són les coordenades (en la base de E considerada)

d’un dels vectors de la base.

La dimensió del nucli és, doncs, el nombre de columnes (o també dimE – rank(A)).

(2) Imatge de f.

Recordem que una base ve donada per les “columnes pivot” de A, és a dir, les de salt en

la seva forma esglaonada per files. Els índex d’aquestes columnes formen el vector jb

que resulta de la comanda [R,jb] = rref(A).

En conclusió, obtingut jb, una base del subespai imatge ve donada per

- A(:,jb): cada columna són les coordenades (en la base de F considerada)

d’un dels vectors de la base.

La dimensió és, doncs, el nombre de columnes (= length(jb)), o simplement rank(A).

Aplicació:- Model reticular per a distribucions tèrmiques.

En apartats anteriors hem presentat el model reticular per a la correlació (lineal) entre la

configuració tèrmica perifèrica i la interna, i hem calculat la seva matriu A.

(1) Clarament tenim:

rangA 4

dim Im A rangA 4

dim NucA 8 rangA 4

(2) Per tant, Im A

4 . És a dir: tota configuració interna és factible, per a

configuracions perifèriques adients.

(3) Com que NucA 0 , aquesta configuració perifèrica no és única, sinó que diverses

configuracions perifèriques donen la mateixa configuració interior.

(3’) De forma més precisa, dues configuracions perifèriques ( x5,

, x12

) i ( x 5,

, x

12

)

donen la mateixa interna si i només si difereixen en un element del nucli, Com que

NucA ( x , , x12

) : x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

5

0

7.26

concloem que dues configuracions perifèriques donen la mateixa interna quan

x

5

x6

x5

x6

,

, x x x

x

11

12

11

12

(4) En particular, si dues cares oposades es mantenen a temperatura constant, hi ha una

correspondència biunívoca entre les temperatures de les altres dues cares i les

internes. Per exemple:

x , x constants x , x , x , x ) ( x , x , x , )

6

x7

, x10

,

11

(

5 8 9 12 1 2 3

x4

(4’) En canvi, no és cert per a dues cares adjacents

Corol. (bases adaptades a nucli / imatge) .– Essent

(1) dim E dim Nucf dim Im f

f

: E F lineal,

(2) Si prenem una base de E adaptada a Nucf , les imatges dels vectors addicionals

donen una base de Im f :

base

base

Nucf : u1,

,

u n r

E : u1,

, u n

, ,

u

r

base f : f ( u ), , f ( u )

Im

n

r1 n

n

Obs. – Observem que tot subespai es nucli/imatge d’algun aplicació lineal. En efecte, si

G E un subespai vectorial, i considerem una base adaptada:

base

base

G : u1,

, u

E : u1,

, u d

, ,

u

d

n

Aleshores:

(1) G Nucf , amb f End E definit per:

f u ) f ( u ) 0, f ( u

(

1 d

d 1)

d 1

, , (

n

)

(2) G Im f , amb f End E definit per:

f ( u1)

u1

, , f ( ud

) ud

, f ( ud

1)

f ( un

) 0

u

f

u

u

n

7.30,7.31. – Imatge i antiimatge de subespais.

Idea.- Les nocions de nucli i imatge ens han permès respondre les preguntes:

(i) quines entrades donen resposta nul·la.

(ii) quines respostes son factibles (quan recorrem totes les entrades).

7.27

Ens plantegem ara generalitzar aquestes qüestions:

(i’) quines entrades donen respostes d’un determinat tipus H F .

(ii’) quines respostes són factibles si només disposem d’entrades de

Per exemple, en l’aplicació a distribucions tèrmiques que venim estudiant:

G E .

(i”) quines configuracions perifèriques donen distribucions internes uniformes.

(ii”) quines distribucions internes són factibles si tres cares externes es mantenen

a 0 graus.

Def.- Essent

f

: E F lineal i subespais vectorials H F , G E :

(1) Anomenarem antiimatge de H:

f

1

( H )

w E :

f ( w)

H

(2) Anomenarem imatge de G:

f ( G)

f ( w)

F,

quan w G

Exem. –

(1) Retrobem el nucli i la imatge de f com casos particulars:

H

0

G E

f

1

( H ) Nucf

f ( E)

Im f

(2) En E F

2 , si f és una rotació (antihorària) de 90º

H

(0,

y)

,

G (

x,

0)

f

1

( H ) G , f ( G)

H

(3) Essent E

3 , considerem la projecció sobre el pla horitzontal:

: E F,

( x1,

x2

, x3)

( x1,

x2

, 0)

Aleshores:

H

G

1

1

(

x , 0, 0)

( H ) (

x , 0, x )

( H ) H

1 1 3

1

x

x x

( G)

x

x , x 0

( ( G x

x

G

1 2 3

1 2 3

))

1

2

(4) Per la derivació D :

2 [t] 2[t]

7.28

H 2[t] 1 ( H

D ) 2[t] D(

D

1 ( H )) 1[t] H

G

1

t D(

G)

1 D ( D(

G))

t,

1 G

Obs.- La notació f 1

( H ) no pressuposa que f sigui invertible, com hem vist en alguns

exemples anteriors. Cas que ho sigui, tenim efectivament que la antiimatge de H per f

1

coincideix amb la imatge de H per f :

1

1

f bijectiva f ( H ) ( f )( H )

Més en general:

f bijectiva

f ( f

1

( H )) H

,

f

1

( f ( G))

G

Prop.- Essent

Considerem

f

: E F lineal i subespais vectorials H F, G E .

(

i j

u ),( v ) bases respectives de E, F

A Mat

( u )( v )

i

(1) Si per una certa matriu C és H = KerC, aleshores:

j

f

f

1

( H )

f

1

( KerC)

Ker(

CA)

(2) Si per una certa matriu B és G = ImB, aleshores:

f ( G)

f (Im B)

Im( AB)

Exem.- Refeu els exemples anteriors aplicant aquesta proposició.

Aplicació:- Model reticular per a distribucions tèrmiques.

(1) Vegem quines configuracions perifèriques donen distribucions internes uniformes:

H

x

x

x

x

KerC ,

1 2 3 4

C

5 5

1

f ( H ) KerCA Ker

1 1

1

1

x x x x x

5

6

7

8

9

1

0

0

5 5

1 1 5

10

1

0 0

1 1

0

0 1 1

1

1

1

5 5 5 5

x

x

11

x

12

5

1

5

1

1

5

7.29

(2) Vegem quines distribucions internes són factibles si tres cares externes es mantenen

a 0 graus.

G

x

x

x

x

x

x

0

Im B ,

1

0

B

0

0

6 7 8 9 10 11

7

2

2

1

f ( G)

Im( AB)

Im

1 2

2

7

x

x

1

2

15x

4x

3

3

4x

x

4

4

0

0

0

1

7.32, 7.33. – Transformació de la matriu per canvi de base.

Hem vist que la matriu d’una aplicació lineal depèn de les bases considerades. Vegem

que hi ha una relació entre elles, de manera que a partir d’una poden deduir-ne totes les

altres.

Prop. - (transformació de la matriu per canvi de base)

(1) Essent f : E F una aplicació lineal, considerem:

u ),( v ) bases respectives de E, F; A Mat f

(

i j

( u )( v )

u ),( v ) unes altres bases de E, F; A Mat f

(

i j

Aleshores, si les matrius de canvi de base són:

i

i

j

( u )( v )

j

S

T

Mat

Mat

( u )

i

( v )

j

( u , ,

u

1

( v , ,

v

1

n

m

)

)

resulta:

A T

1

AS

o bé, equivalentment:

TAS

1

A

(2) En particular, si E F (doncs, f endomorfisme) i hi prenem les mateixes bases, és a

dir:

v ) ( u ), ( v ) ( u )

resulta

(

j i j i

T S i per tant:

7.30

A S

1

AS

Obs. –

(1) Si escrivim

X , X coordenades de x E en les bases u ),( u )

(

i i

( v

j

),( v

j

Y, Y coordenades de y f ( x)

F en les bases )

la fórmula anterior pot esquematitzar-se:

(2) Podem ara verificar que les definicions de “rang” d’una aplicació lineal i de

“determinant” d’un endomorfisme donades abans no depenen de les bases

considerades:

rang A = rang ( T 1 AS)

= rang A

det A det( S

1

det

Adet

S det A

det S

1

AS)

det( S

1

)det Adet

S

(3) En el mateix sentit:

X NucA X NucA

Y Im A Y Im A

Exem. –

(1) Sigui f : E

3 F

2 definida per:

f ( x1,

x2

, x3)

(2x1

x2

, x1

x3)

Considerem les bases:

7.31

baseE : ( u , u

1

baseE : ( u , u

1

baseF : ( v , v

1

baseF : ( v , v

1

2

2

2

2

, u

, u

);

);

3

3

);

);

v

v

1

1

u

u

1

1

(0, 1,

(1, 1,

(1, 1), v

2

(1, 0), v

2

0), u

2

1),

u

(0, 1)

(1, 2)

(1, 0, 1),

u

2

(2, 1,

1),

u

3

(1, 1,

0)

3

(1, 0, 0)

Escrivim

A Mat( )( )

f ; A Mat

u v

u v )

i

j

( i )(

(1.1) Calculem A aplicant directament la definició:

j

f

f ( u

1

f ( u

f ( u

2

3

) (1, 0) v

) (2, 2) 2v

)

(1, 1)

v

1

1

v

1

2

1

A

1

2

0

1

0

(1.2) Calculem A mitjançant la proposició anterior:

u

u

u

1

2

3

u

1

u

u

2

1

u

2

u

u

3

3

S

1

1

0

0

1

1

1

0

1

v

v

1

2

v

1

v

1

v2

v2

T

1

1

1

1

A T

1 AS

1

1

1

1

1

1

1

2

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1 4

0

2 2

1

3

3

3

1

(1.2”) Verifiquem que haguéssim obtingut el mateix resultat A per càlcul directe:

f ( u

1

f ( u

f ( u

2

3

) (3, 2) 2v

3

) (3, 3) v1

2

3

) (2, 1) v1

2

1

v

2

3

v

2

1

v

2

2

2

(1.2’”) Alternativament, haguéssim pogut calcular A a partir de la matriu A

e

de f en les

bases ordinàries. En efecte, clarament:

A

e

Mat (

f

e i )( e j )

2

1

1

0

0

1

7.32

Apliquem la proposició anterior:

u

u

u

1

2

3

e

1

2e

e

1

e

1

2

e

e

2

3

e

3

S e

1

1

1

2

1

1

1

0

0

v1

e1

v 2

e 1

e

2 2

T e

1

0

1

2

A ( T )

e

1

A S

1

0

1 2

1

3 3

2 0

1

2 3

e

e

1

2

1

2

1

1

0

2

1 4

1

2 2

1

0

1

1

1

3 3

3 1

2

1

1

1

0

0

mateix resultat que abans.

(2) En un exemple anterior hem comprovat que l’endomorfisme f de E = 2[t] definit

per

2 2

2 2

2 2

f ( t ) t , f (( t 1)

) t 1, f (( t 2) ) t 2

(*)

verifica

2

f (( t ) 2 ) t ,

(**)

2

Ens preguntem ara per la seva matriu A en la base ordinària B (1, t,

t ) .

(2.1) Observem que el càlcul directe és enutjós, ja que hauríem de procedir com aleshores

per a cadascuna de les columnes f(1), f(t) i f ( t

2 ) .

(2.2) Una alternativa seria calcular-la per canvi de base, a partir de la matriu A de f en la base

2

2

2

B ( t , ( t 1)

, ( t 2) ) .

Tampoc és senzill, ja que requereix trobar les coordenades de (*) en la base B .

(2.3) En canvi és immediata la matriu Â de f si prenem com base de partida B i com

base d’arribada B :

En efecte, les seves columnes són les coordenades de (*) en la base ordinària B:

7.33

0

Â 0

1

1

0

1

2

0

1

A partir d’aquesta matriu A és molt senzill obtenir la que busquem A:

En definitiva:

A AS ˆ

1

S Mat

B

( t

2

,( t 1)

2

,( t 2)

2

0

) 0

1

1

2

1

4

4

1

0

A 0

0

1 2

0

0

0

0

1

(2.4) Finalment, emprem aquesta matriu per comprovar (**):

0

0

0

1 2

0

0

2

0

0

0 0

1

1 1

(3) Considerem f : E

2 F

exemples anteriors que

2 la rotació (antihorària) de 30º. Hem vist en

A Mat (

f

e )

i

3

2

1

2

1

2

3

2

Considerem ara una altra base:

és a dir:

u

u

1

2

v

1

v

2

(1, 1)

( 1,

1)

S

T

1

1

1

1


7.34

A Mat

1 1

2 1

( ui

)

f S

1

1

AS

1

1

1 3 1

1

2 1

3

la mateixa que en la base ordinària (!!)

1

1

1

3

2

1

2

3 1

1 2

3

1

3

4 2

1

2

1

3

1

2

2

A

2 3

1

1

Matlab/Octave.- Les operacions anteriors poden implementar-se com inv(S)*A*T, o

millor encara:

S\A*T ( S 1 AT )

Obs. –

(1) En general, la matriu depèn de les bases considerades, però en alguns casos

particulars pot ser que no (vegeu l’exemple (2) anterior).

(2) Igualment (vegeu l’aplicació següent) en alguns casos particulars pot ser A I amb

f I . En general:

Mat

I I ( u ) ( v

( ui

)( v j )

i j

)

Aplicacions.-

(1) Sistema dinàmic discret determinat per estats consecutius

Per al sistema evolutiu discret

f

x( 0) (1,0) x(1)

(2,1) x(2)

(5,1)

hem calculat abans la seva matriu en les bases naturals

f

A Mat (

f

e i )

2

1

1

1

Anem ara a obtenir-la d’una manera més senzilla, aplicant la proposició anterior.

(1.1) En efecte, considerem f : E

2

F

2 i les bases:

7.35

baseE : ( u , u

1

baseE : ( u , u

1

baseF : ( v , v

1

baseF : ( v , v

1

2

2

2

2

) ( e , e

);

) ( e , e

);


A T

1

AS

u

v

1

1

1

1

2

)

x(0),

u

2

)

x(1),

v

2

2

x(1)

x(2)

amb:

S

T

Mat

Mat

( e )

i

( e )

i

1

( x(0),

x(1))

0

2

( x(1),

x(2))

1

2

1

5

1

És evident que:

A Mat

( f ( x(0)),

f ( x(1)))

Mat(

x(1),

x(2))

( x(1),

( x (1), x(2))

x

1

(2))

0

0

1

Per tant:

A TAS

1

2

1

51

10

01

10

2

1

1

2

1

51

10

2

2

1 1

1

1

(1.2) Una altra possibilitat seria:

A

1

1

2

51

2

2

1

Mat

f

( u ),( e )

S

i

j

1

10

1

1

1

(2) Matriu de transferència d’un sistema de control.

Aplicarem les fórmules de canvi de base per verificar que la matriu de transferència

d’un sistema de control no depèn de les variables triades.

(2.1) Contextualitzem el problema. La clàssica descripció externa (o input/output) d’un

sistema, amb entrades u i sortides y, es basa en l’anomenada matriu de

transferència, H(s), que dona el guany (o amplificació) de l’harmònic de

freqüència s d’ambdós senyals:

y(s) = H(s) u(s)

Es tracta, doncs, d’una descripció del comportament entrada/sortida, obviant les

possibles transformacions internes en el sistema (el qual, en aquest sentit, es

considera una “caixa negra”).

7.36

Alternativament, si es parteix d’una descripció interna, amb unes variables d’estat

x (o variables internes, intermèdies,...)

x

( t)

Ax(

t)

Bu(

t),

A

M , B

y( t)

Cx(

t)

u

m , x

n p

, y

A M n

, B M

nxm

, C M

pxn

n

M n m

podem reconvertir-la a la externa, “eliminant” la variable x en aquestes equacions

(aïllant-la de la primera i substituint-la en la segona, prèvia transformació de

Laplace), resultant la matriu de transferència

H ( s)

C(

sI A)

1

B

Com hem dit, aquesta matriu relaciona directament la entrada u amb la sortida y,

obviant les variables internes x. La pregunta natural és si haguéssim arribat al

mateix resultat partint d’unes altres variables internes x .

(2.2) En definitiva, es tracta de verificar que l’expressió de H(s) obtinguda no varia per

un canvi lineal de coordenades en els estats x.

En efecte, si en les equacions inicials fem el canvi x Sx

, resulta

amb

x

( t)

Ax(

t)

Bu(

t),

y( t)

Cx(

t)

1

1

A S AS , B S B , C CS

Comprovem que la nova matriu de transferència coincideix amb la anterior:

H ( s)

C ( sI A)

CS(

sI S

CS(

S

CS(

S

1

1

C(

sI A)

1

1

AS)

( sI A)

S)

( sI A)

1

B

1

1

S

1

1

S

S)

S

B H ( s)

B

1

1

B

B

7.37

Tema 8

Reducció de matrius / endomorfismes.

8.1, ... , 8.3.- Endomorfismes i matrius triangularitzables /

diagonalitzables.

Donada una matriu A, ens preguntem per matrius de canvi de base S que “simplifiquin”

la matriu transformada

A S

1

AS

Això facilitarà els càlculs i problemes on intervingui A, com il·lustren els exemples

següents.

Notem que aquesta possibilitat de “simplificació” dependrà en bona part del cos

d’escalars considerat ( , C, ...).

Exem. –

(1) Per a la matriu

tenim:

4

A

2

1

5

S

1 1

A S

1

1

2

AS

3

0

0

6

(2) Apliquem-ho per calcular A k , k :

A

k

1

1

1

k

1

1

SAS

SAS

SAS

SA

k

1 3

2

0

0

k

6

1

3

2

1

1

3

1

k

k 1

S

1

2 2

k

2

2

k

1

1

2

1

2

k

k 1


1

lim

A

6

k

1 1

3

2

1

2

(3) Apliquem-ho igualment per resoldre un sistema d’equacions diferencials de matriu A

8.1

x

4x

y

y

2x

5y

amb les condicions inicials: x ( 0) 2, y(0)

1.

Amb el canvi de variables anterior

x x y, y x 2y

resulta

x

3x,

y

6y;

x(0)

y(0)

1

de resolució immediata

x

3t

( t)

e , y(

t)

e

6t

Per tant, la solució del sistema inicial és:

x(

t)

e

y(

t)

e

3t

3t

e

6t

2e

6t

Def. – ( matrius i endomorfismes triangularitzables / diagonalitzables)

(1) Una matriu A M

n

( ) es diu triangularitzable / diagonalitzable sobre si hi ha

una matriu de canvi de base S ( ), det S 0 , per a la qual la matriu

transformada

M

n

1

A S AS és triangular / diagonal, respectivament.

(2) Essent E un -espai vectorial, un endomorfisme f : E E es diu triangularitzable

/ diagonalitzable si la seva matriu ho és, és a dir, si per una certa nova base la seva

matriu resulta triangular / diagonal, respectivament.

Exem. –

(1) Hem vist a l’exemple anterior que

4

A

2

1

5

és -diagonalitzable:

S

1 1

S

1 AS

1

2

3

0

0

6

(2) La matriu

8.2

0

A

1

és C-diagonalitzable:

1

0

S

i

1

1

1

S

i

AS

i

0

0

i

Veurem que no és -diagonalitzable.

(3) La matriu

0

A

1

1

2

és -triangularitzable

S

1 1

S

1 AS

1

1

1

0

2

1

Veurem que no és -diagonalitzable, ni C-diagonalitzable.

Obs. –

(1) El nostre objectiu és determinar la existència i càlcul de S, per tal de “simplificar” al

màxim la matriu en qüestió (sobre , C, ...).

(2) Veurem de seguida que s’aconsegueix prenent la base S adaptada als anomenats

subespais “invariants”.

(3) En particular, els més interessants són els subespais invariants uni-dimensionals, els

generadors dels quals s’anomenen “vectors propis” (VEPs).

(4) La situació idònia es donarà quan puguem obtenir una base de VEPs, en quin cas la

matriu A resulta diagonal, com als exemples inicials.

(5) El darrer exemple mostra que no sempre és possible la diagonalització. Tanmateix,

veurem que tota matriu és triangularitzable sobre C.

8.4, ..., 8.9. – Subespais Invariants

Def. – Essent

f : E E lineal

8.3

(1) Un subespai N E s’anomena subespai invariant respecte a f (o simplement f-

invariant) si f ( N)

N , és a dir

f ( v)

N , per a tot v N

(1’) En direm també A-invariant, on A és la matriu de f en una base qualsevol.

(2) Aleshores, s’anomena restricció de f a N, f

N

f N

: N N

definida simplement per:

( f N

)( v)

f ( v)

, si v N

, l’aplicació lineal:

Exem. –

(1) Els subespais trivials

simplement 0 i f.

(2) Si f

:

2

0 i E són f-invariants per tot f EndE , i les restriccions són

2 és una rotació d’angle , amb 0 , no hi ha cap subespai

f

- invariant (fora dels trivials).

(3) Si :

3

3 és la projecció vertical sobre el pla horitzontal

( x,

y,

z)

( x,

y,0)

són subespais - invariants

N

L

amb restriccions respectives:

( x,

y,

z)

: z 0

( x,

y,

z)

: x y

Id ; 0

|N

| L

(4) Essent f EndE , si N i L són f – invariants, també ho són N L i N L .

0

(5) En general, si f EndE i P(t)

n[t], és f–invariant el subespai

En efecte:

N NucP( f )

v N P(

f )( v)

0

P(

f )( f ( v))

( P(

f ) f )( v)

( f P(

f )) v

f ( P(

f )( v))

f (0) 0 f ( v)

N

8.4

(5’) Així, són f – invariants:

v E : f ( v)

0 Nuc f

v E : ( f I)(

v)

0 v : f ( v)

v

k

k

2

2

v

E : ( f f )( v)

0 v

: f ( v)

f ( v)

La proposició següent recull una caracterització i les propietats principals dels subespais

invariants:

Prop. – Essent

f EndE i N E subespai vectorial:

(1) Si u , , u ) es una base de N:

( 1 d

N f – invariant

f ( u 1

), , f ( un ) N

u

, u , f ( u ), , f ( u

d

rang

)

1, d 1

(1’) Aleshores la matriu de la restricció f | N

en la base ( u 1

, , u d

) és:

d

A

N

Mat

( f|

N

) Mat(

u , ,

u )

( f ( u1),

,

f ( u

( u , ,

ud

)

1

1 d

d

))

(2) Si ampliem la base anterior a una base de E adaptada a N, ( u1,

,

ud

, ud

1,

,

un

) ,

aleshores la matriu de f en aquesta base és de la forma:

(3) En particular, si

N, L E subespais f – invariants

N L E

i prenem una base adaptada

u , , u ) base de N

( 1 d

u

, ,

u ) base de L

(

d 1 n

la matriu de f en aquesta base resulta:

on A Mat f ) , A Mat f ) .

N

( u 1,

, u )

( | N

d

L

( u , , )

(

1 u | L

d

n

8.5

Obs. – El resultat anterior es generalitza de forma natural a més de dos subespais:

N1,

, N

s

E subespais f – invariants

N N E

aleshores

1

( 1 n

s

u , , u ) reunió de bases de N , , N

s

1

on

A

i

és la matriu de la restricció de f a

N

i

, en la base corresponent.

Exem. –

(1) Reprenem l’exemple anterior de la projecció :

3

3 , ( x,

y,

z)

( x,

y,0)

subespais invariants N z

0, L x

y 0. Clarament N L

3 .

Si prenem

u , ) base de N; u ) base de L

( u 1 2

( 3

la matriu de en la base u , u , ) resulta

(

1 2

u3

, i els

(2) Considerem

1

1 1

A 0

1 1

2

1 0

N u ,u 1 2

u 1, 1, 1), u ( ,

0, )

1

(

2

Observem que dim N 2 per tot , , ja que rang u , u ) 2 .

(

1 2

(2.1) En primer lloc, vegem per a quins valors de , és A-invariant el subespai N:

8.6

Au

Au

1

2

3

0

u

1,

u2

3

1

2

1

0

2 1

2

u

, u

2

2

(2.1’) Alternativament:

1

3

rang( u1,

u2

, Au1,

Au2

) rang1

0 0

1

3 2

1

3 3

rang0

3

2

2

0

0

(2.2) En particular, per 1, calculem la matriu de la restricció:

Au

Au

A N

1

3

0

3u

2

3

2

1

u

2

0

1

3

3

2

1

3u

(2.3) Si ampliem la base de N amb u

3

(1, 0, 0)

, resulta:

2

1

2

(3) Considerem

1

1 4

1

A 5

2 1

3 0

3 3

N ( x,

y,

z)

: x y z

L

(

x,

y,

z)

: x y z

(3.1) Base de N: ( u 1

) , amb u (1, 1

1, 1)

0

8.7

Au1 2u 1

Per tant, N és A-invariant, i la matriu de la restricció en base ( u 1

) és:

A

N

(2)

(3.2) Base de L: u , ) , amb u 1, 1,

0), u (0, 1, 1)

(

2

u3

Au2 u 3

; Au3 u2

2

(

3

Per tant, L és A-invariant i la matriu de la restricció en base u , ) és:

(

2

u3

A

L

0

1

1

0

(3.3) Clarament N L 0 . Per tant 3 = N L , i podem prendre la base

u , u , ) , en la qual la transformada de A serà:

(

1 2

u3

Aplicacions .– Per simplificar, treballarem amb sistemes dinàmics discrets, però tot és

igualment vàlid per a sistemes dinàmics diferencials.

(1) Subsistema restricció d’un sistema dinàmic.

(1.1) Considerem el sistema dinàmic discret

1

x ( k 1)

Ax(

k),

A 0

2

Hem vist que

1

1

1

1

1

0

N u ,u ; ( 1, 1, 1), (1, 0, 1)

1 2

u

1

u2

és un subespai A-invariant.

Completem, com abans, una base de 3 amb u

3

(1, 0, 0)

, i designem les

noves coordenades:

8.8

x

x

x

3

;

1

x

2

xN

x

x

1

2

Amb aquesta notació

x N

x3 0

i el sistema donat pot escriure’s com:

Per tant:

x ( k)

N x(

k 1)

N x(

k 2)

N

Concloem, doncs, que N és “dinàmicament invariant”, i podem considerar el

subsistema restricció a N del sistema donat, el qual en les noves coordenades

es pot descriure per:

x

N

( k 1)

A

N

x ( k)

0, k

3

x

N

( k)

;

A

N

0

3

1

3

(1.2) Aquest exemple es generalitza a un sistema dinàmic discret qualsevol:

x( k 1) Ax(

k)

Com abans, per un subespai

N

n , són equivalents:

(i) N A-invariant

(ii) N és dinàmicament invariant, és a dir:

x(

k)

N x(

k 1),

x(

k 2),

N

Aleshores es pot, doncs, considerar el subsistema restricció a N.

(1.2’) Una descripció explícita pot obtenir-se mitjançant una base adaptada:

( 1 d

u , , u ) base de N

u , , u d

, ,

u ) base de

( 1 n

n

Sabem que en aquesta base la matriu transformada té la forma:

8.9

Amb la notació:

x ( x 1

, ,

x d

, ,

x n

) , coordenades en aquesta base

x x , ,

x )

N

( 1 d

el subsistema restricció s’expressa:

x

N

( k 1) A x ( k)

N

N

xd 1(

k)

xN

( k)

0 , per a tot k

(1.2”) Observem que si A 0 , no podem “desacoblar” les variables

x

N

3

( xd

1,

,

xn

( x 1

, ,

x d

) de la resta

) , quan considerem punts fora de N.

(2) Descomposició en subsistemes desacoblats

(2.1) Considerem el sistema dinàmic discret

1

1

x ( k 1)

Ax(

k)

; A 5

3

0

Hem vist en un exemple anterior:

1

2

3

4

1

3

u

1 , u1

(1, 1, 1)

, és A-invariant

u

u , u (1, 1,

0), u (0, 1, 1)

N

L

N L

2

,

3 2

3

3

, és A-invariant

Acabem de veure que podem considerar els subsistemes restricció a N i L, com

abans:

x x , x , ) coordenades en base u , u , )

x

N

(

1 2

x3

( x1 ), xL

( x2

, x3

el sistema inicial resulta:

)

(

1 2

u3

A

N

( 2), AL

0

1

1

0

8.10

o equivalentment com a dos subsistemes desacoblats:

x

x

N

( k 1)

A

x

( k 1)

A x

L

N

L

L

N

( k)

( k)

(2.1’) Cadascun d’aquests subsistemes és fàcilment resoluble:

en N, cada pas és una homotècia de raó 2.

en L, cada pas és una rotació d’angle .

2

Podem doncs recompondre el sistema total:

per punts fora de N i L,

la trajectòria és una corba helicoïdal,

N x y z 0 ,

d’eix

que en cada gir duplica la distància al pla x

y z 0

(2.2) En general, per a un sistema dinàmic discret

x( k 1) Ax(

k)

si hi ha subespais N, L amb:

N, L subespais A-invariants

3

N L

L .

les equacions del sistema inicial poden transformar-se en dos subsistemes

desacoblats, és a dir, on les variables de cadascun no apareixen a l’altre:

x

x

N

( k 1)

A

x

( k 1)

A x

L

N

L

L

N

( k)

( k)

En efecte, si com abans prenem:

( 1 d

( ud

1 n

u , , u ) base de N

, ,

u ) base de L

la matriu transformada en aquesta base resulta de la forma

Separant les noves coordenades en:

x

N

( x 1

, ,

x d

)

8.11

x

L

( xd

1,

,

xn

)

obtenim les equacions desacoblades buscades.

(2.2’) A partir de les solucions de cada subsistema podem obtenir les de l’inicial

mitjançant:

x( k)

( x ( k),

0) (0, x ( k))

N

(3) Subsistema controlable d’un sistema de control

(3.1) Considerem el sistema discret de control

L

1

1 1 1

x ( k 1)

Ax(

k)

bu(

k)

; A 0

1 1,

b 1

2

1 0 1

Ja hem vist en temes anteriors que el subespai d’estats assolibles és:

N

Im K(

A,

b)

Im( b,

Ab,

A

2

1

b)

Im1

1

3

0

3

6

3

6

u , u

1

2

amb u 1, 1, 1), u (1, 0, 1)

.

1

(

2

Hem vist en un exemple anterior que és A-invariant. Si prenem la base

( u

1,

u2

, u3

) , amb u

3

(1, 0, 0)

, els sistema resulta

Observem que, com abans, si un punt d’una trajectòria pertany a N, aleshores

també hi pertanyen tots els següents, qualsevol que sigui el control aplicat:

x( k)

N x(

k 1)

N , per qualsevol u (k)

Més específicament

x(

k)

x(

k 1)

0

0

0

1

1

u(

k)

3

3

0

8.12

Podem, doncs, considerar la restricció del sistema inicial a Im K ( A,

b)

:

0

1

1

xc

( k 1) xc

( k)

u(

k)

3

3 0

que té també Im K ( A,

b)

com conjunt d’estats assolibles. S’anomena

subsistema controlable de l’inicial.

8.10, ..., 8.12. - VAPs i VEPs.

Idea. – A l’apartat anterior hem vist que podem simplificar una matriu prenent bases

adaptades a subespais invariants. La “màxima simplificació” la obtindrem amb

subespais invariants de dimensió 1: clarament N v

serà f-invariant si i només si

f ( v)

N , és a dir, f ( v)

v

per algun . Això motiva la definició següent de

VAPs i VEPs, eines extraordinàriament útils i utilitzades tant en els desenvolupaments

teòrics com en les aplicacions tecnològiques.

Def. – Essent f : E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, un vector

v 0 s’anomena un vector propi (VEP), amb el seu valor propi (VAP), si

f ( v)

v

o equivalentment

x1

x

A

x

1

n

x n

on x , , x ) són les coordenades de v en la base considerada.

( 1 n

Obs. –

(1) Sovint es denominen eigenvectors i eigenvalues, respectivament.

(2) S’anomena espectre d’A, (A)

, al conjunt dels seus VAPs.

(3) Si hi ha un VAP de mòdul estrictament més gran que els altres, s’anomena VAP

dominant.

Exem. –

(1) Per qualssevol endomorfisme f i vector v 0 :

8.13

v VEP, amb VAP 0 v Nucf

(2) Per qualssevol endomorfisme f i vector v 0 :

v VEP rang (v, f(v)) = 1

(3) Per

4

A

2

1

5

tenim:

1

3

1

A 3

;

1

3

1

1 6 1

A

6

2

12

2

Per tant:

v (1, 1

1)

és VEP, amb VAP 1

3

v (1, 2)

és VEP, amb VAP 6

2

1

(4) Per

0

A

1

1

0

tenim:

1 i

1

A

i

;

i

1

i

1

i

1

A

i

i

1 i

Per tant:

v1 (1, i)

és VEP, amb VAP

1

i

v (1, ) és VEP, amb VAP i

2

i

1

(5) Esbrinem si v ( 1, 1, )

és VEP de

3

A 1

0

per algun :

1

3

0

1

1

4

1 2

1 2

A 1 2

1 2

4

4

Per tant:

8.14

0 v és VEP, amb VAP 2 .

2 v és VEP, amb VAP 4 .

0, 2 v no és VEP.

(6) Si els coeficients de cada fila d’una matriu sumen una mateixa quantitat, ,

aleshores n’és VAP, amb VEP (1, ... , 1).

(7) En E

2 :

(7.1) f una homotècia, de raó :

tots els vectors v 0 són VEPs, amb VAP .

(7.2) f una rotació, amb angle k

:

cap vector és VEP.

(7.3) f la simetria respecte l’eix x 0:

(8) Essent D la derivació:

els vectors ( x , 0), x 0 , són VEPs, amb VAP 1.

els vectors ( 0, y ), y 0 , són VEPs, amb VAP 1.

(8.1) Per D :

t

t , els únics VEPs són:

(8.2) Per

(8.3) Per

les constants, amb VAP 0 .

D : C ( )

C ( ), els VEPs (“funcions pròpies”) són:

les constants, amb VAP 0 .

at

les exponencials, ( t)

e , amb VAP a .

2

D : C ( )

C ( ), els VEPs són els de (7.2) i:

les trigonomètriques

sin t

i cos t

, amb VAP

2

.

Aplicacions. – Ja hem dit que els VAPs i VEPs són molt presents a l’enginyeria:

(1) Les rotacions en 3 es caracteritzen per tenir un VAP 1, simple. Els VEPs

corresponents formen l’eix de rotació.

(2) Les direccions/moments principals d’inèrcia són els VEPs/VAPs de la matriu

d’inèrcia.

(3) Les direccions principals de deformació són els VEPs del tensor deformació.

8.15

(4) Els modes propis de vibració són les funcions pròpies de l’operador diferencial

corresponent.

(5) Els VEPs/VAPs de la matriu d’un sistema poblacional donen, respectivament, les

distribucions estacionàries i la taxa global de creixement de cadascuna.

(6) L’estabilitat d’un sistema dinàmic depèn dels VAPs de la seva matriu.

(7) Els “pols” de la matriu de transferència d’un sistema de control són els VAPs de la

matriu de l’equació d’estats.

(8) El cercador Google es basa en cercar el VEP de VAP més gran d’una matriu

relacionada amb la de connexions de la xarxa.

És clar el resultat fonamental següent:

Prop. – Essent

f

: E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol:

(1) diagonalitzable existeix una base de VEPs


1

0

(2.1) Mat( v i )

f

0 n

1

0

1

(2.2) S AS

0 1

Exem. –

(1) Ja hem vist:

1

1

1

A

4 ,

S S

1

2 5 1

2

AS

3

0

0

6

(2) També:

A

1

1

1

,

S

0

i

1

S

i

0

1

AS

i

0

0

i

(3) Per la matriu:

8.16

3

A 1

0

ja hem vist:

1

3

0

1

1

4

Afegim ara:

v (1, 1

1, 0)

és VEP, amb VAP 1

2

v (1, 2

1, 2)

és VEP, amb VAP 4

2

v (1, 3

0, 1)

és VEP, amb VAP

3

4

Per tant:

S

1

1

0

1

1

2

1

0

S

1 AS

1

2

0

0

0

4

0

0

0

4

(4) En apartats pròxims veurem criteris per verificar fàcilment que no és diagonalitzable

la matriu

1

1

A

0

1

Fem-ho ara per l’aplicació directa de la definició:

v (1, 1

0)

és VEP, amb VAP 1

1

No és possible formar una base de VEPs, ja que els vectors l.i. amb v 1

són de la

forma v ( , 1)

, i cap d’ells és VEP:

2

Av

1

0

1

1

1

1 1 1

2 2

,

2

8.14, ... , 8.16 – Càlcul elemental de VAPs i VEPs:

polinomi característic, subespais propis.

Idea. – Notem que:

(1) VAP: v VEP f ( v)

v v Nuc(

f I),

v 0

(2) VAP Nuc( f I)

0 det( f I)

0

Això motiva la definició i la proposició següents.

8.17

Def. – Essent

f


(1) El seu polinomi característic és:

Q( t)

det( f tI)

det( A tI)

(2) Si n’és VAP, s’anomena el subespai propi associat:

E

Nuc( f I)

Prop. – En les condicions anteriors:

(1) VAP és arrel de Q (t)

(2) VAP : els seus VEPs = E 0

Exem. – Refem els exemples anteriors:

4 1

(1) A

2 5

4

t 1

2

Q ( t)

det

t 9t

18

( t 3)( t 9)

2 5 t

VAPs: 1

3 , 6 2

1 1

E Nuc( A I Nuc

v1

v1

2 2

2 1

E Nuc A 6I)

Nuc

v2

, v

2 1

VEPs: 3 )

, (1, 1)

1

(1, 2)

2

(

2

0

1

(2) A

1

0

t 1

2

Q(

t)

det

t 1

( t i)(

t i)

1 t

VAPs:

1

i ,

2

i

i 1

1 i

i

1

E Nuc A iI)

Nuc

1

i

VEPs: E Nuc A iI)

Nuc v

, v (1, )

1

(

1 1

i

v

, v (1, )

2

(

2 2

i

8.18

3 1

1

(3) A 1

3 1

0 0 4

3

t 1

1

2

Q( t)

det

1

3 t 1 (

t 2)( t 4)

0 0 4

t

VAPs: 1

2 , 4 2

1 1

1

E Nuc( A 2I)

Nuc1

1 1

v1

, v1

0 0 2

1

1

1

E Nuc A 4I)

Nuc1

1 1

v2

, v3

,

0 0 0

VEPs: (1, 1, 0)

1

v (1, 1, 2), v (1, 0, 1)

2

(

2

3

1

1

(4) A

0

1

1

t 1

2

Q ( t)

det

( t 1)

0 1

t

VAPs: 1

1

0

E Nuc A I)

Nuc

0

1

0

VEPs: , (1, 0)

1

(

1 1

1

n

(5) A Q(

t)

( 1)

( t 1

) ( t n

)

0

n

v

v

Obs. –

(1) De vegades Q (t)

es defineix permutant l’ordre dels minuend/subtrahend, de manera

que el signe canvia per a dimensions imparelles, resultant sempre mònic (coeficient

principal igual a 1).

n

det( tI A)

( 1)

det( A tI)

t

n

Vegeu els exemples (3) i (5) anteriors. Òbviament aquest canvi de signe no afecta

les seves arrels, és a dir, els VAPs.

(2) Aquesta forma de calcular els VAPs és poc eficient numèricament per a dimensions

elevades. Trobar algorismes útils per al càlcul dels VAPs d’una matriu gran

constitueix un problema numèric clàssic.

8.19

(3) Tanmateix, aquesta caracterització dels VAPs proporciona propietats estructurals

interessants, com per exemple el corol·lari immediat a l’apartat següent.

Matlab/Octave.-

(1) L’ordre poly( ) dona el polinomi característic, però amb un possible canvi de signe

(vegeu (1) de la observació anterior):

n

poly(A) = det ( tI A)

( 1)

Q(

t)

Recordem que el presenta con un vector, donant-nos els seus coeficients (en graus

decreixents).

(2) Els VAPs podríem obtenir-los amb la funció roots( ) sobre el polinomi anterior, però

resulta poc eficient. Es millor obtenir-los directament per l’ordre eig( ):

eig(A) VAPs

A (A)

Els presenta llistats en vertical, cadascun repetit tants cops com la seva multiplicitat

(sovint apareixen com lleugerament diferents).

(2’) L’ordre max(abs( )) en seleccionaria el VAP dominant, si n’hi ha.

(3) Per cada VAP, podríem obtenir una base de VEPs dels seu subespai propi mitjançant

l’ordre null( ).

null(A – λ*eye(n)) = base

E base VEPs

0

(4) Es poden obtenir directament els VAPs i els VEPS mitjançant

[V, D] = eig(A)

que dona un matriu V de vectors columna i una matriu diagonal D:

- a la diagonal de D apareixen els VAPS, repetits tants cops com la seva

multiplicitat.

- per cada VAP, les columnes corresponent de V en són VEPs, que generen el

subespai propi corresponent, però no necessàriament l.i.(!); per obtenir una base,

cal eliminar les columnes l.d. (per exemple, seleccionant les columnes pivot).

- així, doncs:

A V = V D

(4’) En particular, si rank(V) = n, les columnes de V formen una base de VEPs de E i

per tant A diagonalitza:

V

1

AV

D


8.20

(1) El màxim nombre de VAPs és n.

(2) Si n és imparell, com a mínim hi ha un VAP real.

Aplicació. – (Eix de rotació d’una ròtula)

(1) Considerem una ròtula, és a dir, un sòlid rígid amb només un punt fix. Aparentment

la resta de punts poden moure’s, tots ells, de molt diverses maneres. Tanmateix,

anem a veure que, de fet, per tot moviment (o successió de moviments) d’una ròtula,

la correspondència entre la posició final i la inicial és justament una rotació.

En efecte, observem que la correspondència entre la posició inicial i la final de

qualsevol moviment ha de ser un endomorfisme de

3 . Per tant, segons acabem de

veure, ha de tenir com a mínim un VAP i en conseqüència un VEP, és a dir, una

recta invariant passant pel punt d’articulació. Com que el sòlid és rígid i es preserva

la orientació, el VAP en qüestió ha de ser precisament igual a 1, de manera que

l’endomorfisme en qüestió no és més que una rotació, d’eix el subespai propi

d’aquest VAP.

(2) Les condicions per que un moviment f sigui el d’un sòlid rígid amb l’origen fix són:

f ( e ), f ( e2

)

f e ) f ( e )

1

(

1 2

0

1

f ( e3 ) f ( e1

) f ( e2

)

Per exemple:

e

e

e

1

2

3

1

f ( e1

) (1, 2, 2)

3

1

f ( e2

) (0, 1, 1)

2

1

f ( e3)

( 4,

1, 1)

3 2

És laboriós calcular el polinomi característic de la matriu corresponent

1

A 2

3 2

2

2

2

2

0

3

3

4

1

1

i les seves arrels. Tanmateix, el raonament anterior ens assegura que 1

1 n’és

VAP, i que qualsevol seu VEP, com ara

v

1

( 2, 1

2, 1)

8.21

genera l’eix de rotació.

(2’) Anàlogament, verifiqueu que

e

e

e

1

2

3

f ( e )

1

f ( e

2

f ( e

3

)

)

1

2

1

(1, 0, 1)

(1, 1,

3

1

( 1,

6

1)

2, 1)

és una rotació i trobeu-ne l’eix.

8.17, ... , 8.21. - Propietats del polinomi característic.

Les propietats següents faciliten el càlcul del polinomi característic:

Prop. – Essent

A M

n

( ):

1

(1) A S

AS Q ( t)

Q ( t)

A

A

(2’) Aquesta propietat facilita el càlcul de Q(t) i sobretot el dels VAPs, ja que:

VAPs A = VAPs A 1 VAPs A 2

(3) Si A

1 B , aleshores:

b

1

QA( t)

QB(

bt)

n

b

(4) Si

T

A és la matriu transposada de A , aleshores

Q

( t)

Q ( t)

A T

A

(5) (Càlcul de Q(t) per menors)

Q

A

( t)

( 1)

t

n n

(

1

t

n1

2

t

n2

( 1)

nk

k

t

nk

( 1)

n

n

)

on

k

indica la suma dels k-menors principals de A. En particular:

8.22

trA,

n

det A

1

(5’) Per dimensions baixes:

2

(5’.1) n 2 : Q(

t)

t trAt

det A

3

2

(5’.2) n 3 : Q t)

t

trAt

t det A

(

2

2

a

a

11

21

a

a

12

22

a

a

11

31

a

a

13

33

a

a

22

32

a

a

23

33

Exem. – Refem alguns dels exemples anteriors:

4 1

2

4 1

2

(1) A : Q ( t)

t (4 5) t t 9 18

2 5

2 5

(2)

3 1

1

A 1

3 1

0 0 4

Q(

t)

t

t

3

3

(3 3 4) t

10t

2

2

3 1

3 1 3 1

( ) t det A

1

3 0 4 0 4

(8 12

12)

t (36 4) t

3

10t

2

32t

32

(2’) Més eficient seria:

2

3 1

2

Q(

t)

Q1 ( t)

Q2

( t)

( t (3 3) t ) (4 t)

( t 6t

8)(4 t)

1

3

VAPs: 1

4

6 36 32 6 2

2

, 3

4, 2

2 2

3

(3) A 0

1

1

4

1

1

0

3

8.23

S

1

0

0

0

0

1

0

1

S

1 AS

0

3

1

0

1

3

0

1

1

4

Per tant, el seu polinomi característic és el mateix que a l’exemple anterior.

(3’) El polinomi característic de la matriu

3

4

1

4

0

1

4

3

4

0

1

4

1

4

1

també el podem calcular a partir de l’exemple anterior mitjançant

1

Q ( t)

4

3

(4t)

3

10(4t)

2

32(4t)

32 t

3

5

t

2

2

4t

1

2

(4)

0

A

0 0

Q ( t)

(

t )(

t )( t )

(5) Si A triangularitza (sobre C , totes ho fan!!), la diagonal són els VAPs:

S

1

AS

1

0

n

Q(

t)

( 1)

( t 1

) (

t n

)

n

Com que Q (t)

és invariant per canvi de base, també ho són els seus coeficients.

(6) Si els coeficients de cada columna d’una matriu sumen una mateixa quantitat, ,

aleshores n’és VAP.

Prop. (invariància dels coeficients característics) –

Essent

f


(1) Els coeficients

1,

,

n

del polinomi característic, Q (t)

, són invariants per canvi

de base.

(2) Suposem que Q (t)

descompon totalment (sobre C, sempre; en general, per

triangularitzables)

8.24

Q t)

( t ) ( t )

(

1 n

on suposem cada arrel ( VAP) repetida tants cops com la seva multiplicitat.

Aleshores:

1

2

n

trA

i

j

i

det A

1

j

n

n

1

1

2

1

3

n1

n

Exem. –

Considerem

1

A 0

2

0

1

2

5

5

2

És evident que un VAP és 1

1, ja que det( A I)

0 . També és clar que v (1, 1, 1

2

)

és un VEP, amb VAP 2

6 .

Finalment:

trA 4

1 2 3

1 6

3

Per tant, 3.

3

Aplicació .- (Signes dels VAPs)

(1) Sovint interessen, no pas els valors dels VAPs, sinó els seus signes. Per dimensions

baixes, aquests signes queden determinats pels dels coeficients de Q (t)

, sense

necessitat de trobar explícitament les seves arrels. Per exemple, per n = 2:

(2) Extrems relatius

detA trA VAPs

+ + + +

+ - - -

- +/0/- + -

0 + + 0

0 - - 0

0 0 0 0

8.25

Per funcions diferenciables de 1 variable, el caràcter d’extrem relatiu d’un punt

crític (és a dir, un zero de la derivada) ve determinat pel signe de la derivada segona:

màxim, si és negativa; mínim, si és positiva.

En el cas de n variables, ve determinat de forma anàloga, no pas pel signe de les

derivades segones, sinó pels signes dels VAPs (!) de la seva matriu Hessiana (= de

derivades segones) en el punt.

Així, per n = 2:

Aleshores:

(2’) Per exemple:

2

:

D ( a,

b)

D (

a,

b)

0

x

D

H

D

xx

yx

y

(

a,

b)

(

a,

b)

D

D

xy

yy

(

a,

b)

(

a,

b)

detH trH

+ + mínim relatiu en ( a , b)

+ - màxim relatiu en ( a , b)

- + / - punt de sella en ( a , b)

( x,

y)

x

2

y

2

;

( a,

b)

(0, 0)

És clar que

D x

2x

, D y

2y

s’anul·len a l’origen, i que:

H

2

0

0

2

Resulta que a l’origen tenim:

2

mínim relatiu per ( x,

y)

x y

2

màxim relatiu per ( x,

y)

x

y

2 2

punt de sella per ( x,

y)

(

x y )

concordant amb les seves representacions gràfiques.

(3) Classificació de còniques i quàdriques

La tipologia de les còniques i quàdriques queda determinada pels signes dels VAPs

de les seves matrius i de les de la part quadràtica.

Per exemple, per còniques no degenerades:

x

x y 1 A y

0 , det A 0

1

2

2

8.26

resulta:

det A

0 el·lipse (real o imaginària)

det A

0 hipèrbola

det A

0 paràbola

8.23, ... , 8.26. – Criteri de diagonalització pel polinomi característic:

multiplicitats d’un VAP.

Ja hem vist que un endomorfisme/matriu serà diagonalitzable si hi ha una base de VEPs,

és a dir, si podem trobar n VEPs l.i. Un primer pas fonamental en aquesta direcció és el

següent:

Prop.- (“VEPs de VAPs diferents, són l.i.”)

Essent

f

: E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol.

Si

1,

, són els seus VAPs, els seus subespais propis E

1,

, Es

són l.i. És a dir:

s

v

1

VEP de

1

, ,

v

s

VEP de

s

v , ,v

1

s

l.i.

Obs. – Altrament dit, els subespais propis formen suma directa:

particular

dim E 1

dim Es dim E

E1 Es E . En

Tindrem prous VEPs l.i. per formar una base si i només si es verifica la igualtat. Hem

arribat, per tant, a un criteri general de diagonalització, amb una primera aplicació

directa quan tots els VAPs són simples. De seguida abordarem el cas de VAPs

múltiples.


(1) Criteri general de diagonalització

Diagonalitzable

dim E 1

dim Es dim E

(2) En particular

8.27

n VAPs diferents diagonalitzable

n VAPs simples

Exem. – És diagonalitzable tota matriu triangular de la forma

1

A

0

, amb

1,

,n

diferents.

n

Obs. – A la pràctica, aquesta condició és “genèrica”, ja que les arrels d’un polinomi

només són múltiples en situacions particulars, i habitualment esdevenen simples amb

qualsevol petita pertorbació o error, fora que vinguin condicionades per restriccions

específiques (de simetria, conservació, ...) del problema en qüestió. Els casos amb

VAPs múltiples poden dilucidar-se comparant les “multiplicitats” que definim a

continuació.

Def. – Essent f

VAP, definim:

: E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol. Si n’és un

(1) , multiplicitat algebraica de : la seva multiplicitat com arrel de Q (t)

.

(2) d, multiplicitat geomètrica de : dim E n rang(

A I)

És clar que si ( v 1

, , v d

) és una base de E

, la matriu de f en una base ampliada és de

la forma:

Per tant:

Prop. – En les condicions de la definició anterior

1 d

En general tenim, doncs:

d1

d

s

1

s

n

Segons el corol·lari anterior, diagonalitzarà si totes les desigualtats són de fet igualtats.

Teor. (criteri de diagonalització per Q(t)) . –

8.28

Essent

f

: E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, si prenem

1,

, s

, els seus VAPs

1,

, s

, les multiplicitats algebraiques respectives

d

1,

,d s

, les multiplicitats geomètriques respectives

Aleshores:

diagonalitzen si i només si:

(i) Q (t)

descompon totalment:

1

Q( t)

( t

1)

( t s

)

(ii) les multiplicitats coincideixen:

d1 1,

, d s

s

s

Obs. –

(1) Les condicions del teorema venen a dir:

(i) disposar de prous VAPs

(ii) per cadascun, disposar de prous VEPs l.i.

(2) La condició (i) es compleix sempre sobre C

(3) La condició (ii) es compleix per VAPs simples:

1 d 1

(3’) En particular, retrobem el corol·lari anterior: n VAPs simples diagonalitzable

Exem. – Confirmem alguns exemples anteriors:

4 1

(1) A

2 5

Diagonalitza (sobre , amb VAPs simples):

(i) Q ( t)

( t 3)( t 6)

(ii) 1

3 : 1,

d 1

1 1 6 : 1,

d 1

2

2

2

3 1

1

(2) A 1

3 1

0 0 4

Diagonalitza (sobre , amb VAPs múltiples):

8.29

2

(i) Q ( t)

(

t 2)( t 4)

(ii) 1

2 : 1,

d 1

1 1 4:

2 , d 2

2 2 2

0

1

(3) A

1

0

Diagonalitza sobre C, però no pas sobre :

2

(i) Q(

t)

t 1

( t i)(

t i)

(ii) sobre C:

1

i : 1

1 , d 1 1

i : 1 , d 1

2

2

2

1

1

(4) A

0

1

No diagonalitza (ni sobre , ni sobre C):

2

(i) Q ( t)

( t 1)

(ii) No es compleix ja que:

1:

2 , d 1

1

1

1

Matlab/Octave.- Recordem que ens permet verificar el criteri anterior, per a tots el

VAPS alhora:

A diagonalitza rank(V) = n, éssent [V, D] = eig(A)

Si volem verificar (ii) per a un VAP particular

i

:

- la seva multiplicitat algebraica

i

és el nombre de vegades que apareix a D

- la seva multiplicitat geomètrica d

i

és el rang de les columnes corresponents en V

(o també el nombre de vectors en null(A – λ i *eye(n)) )

8.27, ... , 8.31.– Alguns tipus particulars de matrius.

Teor. (matrius simètriques) –

(1) A M

n

( ), simètrica diagonalitza sobre .

(2) Més encara, els VEPs de la base poden triar-se ortogonals entre ells.

Exem. –

8.30

2

A 1

1

1

2

1

1

1

2

3 2

2

(1) Q ( t)

t

6t

9t

4 (

t 1)

( t 4)

VAPs: 1

1 , ( 2 ); 4,

( 1)

1 2 2

1

1 1

En efecte diagonalitza, ja que: d

1

3 rang1

1 1

2

1

1 1

(1’) Una alternativa més eficient és notar directament que 1

1 és VAP. De fet és

doble ja que d 1

2 . Finalment:

trA 11

4

6

2 2

1

1 1

1 0

1 1 2

; v1

1,

v2

1

1

1 1

0 1

2 1 1

1

E

2

Nuc

1 2 1 v

3

;

v3

1

1 1 2

1

(2) VEPs: E Nuc 1 1 1 v

, v

Una base de VEPs és v , v , )

(

1 2

v3

(2’) Una base de VEPs ortogonal serà ( v

1,

v2

, v3)

, on v2 v1

v2

, amb v

1, v2

0 :

0 v , v

v

2

v

1

1

2

2v

(1, 1,

0),(1, 1

,

)

2

2

(1, 1,

2)

Aplicació – Les matrius simètriques apareixen abundantment en diversos àmbits de la

ciència i l’enginyeria. Per exemple:

- tensors d’inèrcia

- tensors tensió i deformació

- matriu d’induccions mútues

- matriu Hessiana (= de derivades segones) de funcions reals de diverses

variables

- matrius de còniques i quàdriques

Prop. (matrius circulants) –

S’anomenen matrius circulants les de la forma

8.31

Z

c

c

c

1

3

2

c

c

c

2

1

3

c3

c2

M

3

(C)

c

1

(1) Si Z és circulant, diagonalitza per la transformació

S

1

1

1

3

1

a

1

2

a

a

1

a

2

1

on a 3 1, a 1

a

2

(1’) El recíproc també és cert.

3

i

2

(2) Si Z, Z’ són circulants, també ho són Z Z i ZZ

(2’) Més encara

2

Obs. – Observem que 1,

a , a són les 3 arrels cúbiques de 1, i per tant:

1

a a

2

0

Exem. –

(1)

Z

2

1

1

1

2

1

1

1

2

Verifiquem que les columnes de S de la proposició anterior són efectivament VEPs:

v

v

1

1

1

: Zv

3 1

4

1

v1

3 4

2

2 a a

1

2

1

2a

a

3 2

1 a 2a

1

1

4 4

2

1

1

2

a

: Zv

3 a

2

1

1

2

a

v

3 a

2

8.32

v

3

1

1

a : Zv

3 2

a

3

2 a a

1

1

2a

a

3

1

a 2a

2

2

2

1

1

a v

3 2

a

3

Per tant, en aquest cas 1

4 , 1 :

2 3

S

1 ZS

4

0

0

0

1

0

0

0

1

(2) En general, per una matriu circulant Z qualsevol:

1

c1

c2

c

3,

Aplicacions –

(1) Aquestes matrius apareixen en electrotècnia, com a matrius d’acoblament magnètic

en diferents tipus de motors i màquines d’inducció.

(2) Apareixen també en altres contextos com ara els polígons niuats, els oscil·ladors

acoblats i la transformada discreta de Fourier.

(3) De fet es generalitzen a dimensions superiors, a matrius circulants per blocs, ...

Prop. (matrius “companion” o de Sylvester) –

S’anomenen així les de la forma:

0

0

A

0

an

a

1

0

0

a

0

1

0

n1

n2

1

0

0

M

1

a

n

(C)

(1) El seu polinomi característic és:

n

Q(

t)

( 1)

( t

n

a t

a

t

a

n1

n2

1 2

n

)


n 2 : A 0 1

a2

a

, 2

Q( t)

t a

1

1t

a

2

8.33

n 3 :

0 1 0

3 2

A 0 0 1 , Q( t)

(

t a1t

a2t

a3)

a3

a2

a1

(2) La multiplicitat geomètrica de qualsevol seu VAP és 1:

d n rang( A I)

n ( n 1)

1

(2’) En particular, no diagonalitza si algun VAP és múltiple.

Aplicacions .-

(1) Com veurem en els temes 9 i 10, apareixen com matriu del sistema dinàmic associat

a una equació (EDD / EDO) d’ordre n.

(2) De forma directa apareixen, per exemple, en models poblacionals. Més freqüents

són les de la forma generalitzada de Leslie:

0

0

0

an

b

n1

0

0

a

n1

b

0

n2

0

a

n2

0

0

b1

a

1

(3) La forma generalitzada per blocs apareix com a matrius de “realitzacions” de

sistemes de control dels quals es coneixen la seva “matriu de transferència”.

(4) Vegem amb més detall com apareixen com “forma canònica de control” i en la

“assignació de pols per realimentació”.

Aplicació .-

(1) Forma canònica de control

Un sistema discret de control uniparamètric

x( k 1) Ax(

k)

bu(

k)

resulta ser controlable si i només si

rang Im( b,

Ab,

, A

n1

b)

n

n1

Si prenem com matriu de canvi de base T ( A b Ab b)

, les matrius

transformades de A i b són:

8.34

on, com abans:

a1

1 0 0

a2

0 1 0

T

A T AT

,

an1

0 0 1

an

0 0 0

b

0

1

T b 0

1

n n n1

Q( t)

( 1)

( t a t

an

1t

a

Si fem el canvi addicional

1 n

)

S

1

a

an

an

1

2

1

0

1

a

a

n3

n2

0

0

1

a

1

0

0

0

1

resulta

0 1 0 0

0 0 1 0

1

A

C

S AS

,

0 0 0 1

an

an

1

an2

a1

Anomenada forma canònica de control.

(1’) Considerem, per exemple:

b C

0

1

S b 0

1

2 1

1

A , b

1

1

2

2

Q ( t)

t 3t

3

4 1

3 1

1

1

2

AT

0

T A T

, b T

1 b

3 0

1

1 0

1

0 1

0

S AC S AS , b 1 C

S b

3 0

3 3

1

(2) Assignació de pols per realimentació

En les condicions anteriors ens plantegem si, qualssevol que siguin

8.35

VAPs( A)

1,

,

n

és possible trobar una matriu fila F per tal que els de

prefixats

VAPs( A bF)

1,

,

n

A bF siguin uns altres

És evident que la resposta és afirmativa per la forma canònica de control, és a dir,

que hi ha F

C

tal que:

Ara és suficient prendre

F

ja que:

VAPs( A b FC ) = 1,

, n

F

C

C

( TS)

C

1

A bF

( TS)(

A

C

b

C

F )( TS)

C

1

(2’) Suposem que, essent A i b com a (1’) cerquem F per tal que:

VAPs (A+bF) =

1

, 2

És fàcil trobar F C

h 1

h ) amb:

(

2

VAPs ( A b F ) =

1

, 2

C

C

C

En efecte:

0 1

AC

bC

FC

3 h1 3 h2

3 h1

1

2 h1

3 1

2

3 h2

1

2 h2

1

2

3

Per tant:

F

1

( h1 h2

)( TS)

(3 1

2

1

2

1 2

3)

7 5

1

1

Per exemple, per:

1

1,

2

2

seria:

1 2

1

F ( 1 6) ( 4 1)

7 5

1

8.36

En efecte:

2 1

4

A bF

1

1

8

tr(

A bF)

3

det( A bF)

2

1

1

2

2

1

2

2

9

0

1

(2”) El problema, en termes de teoria de control, és trobar un control automàtic per

realimentació (o “feedback”)

u( k)

Fx(

k)

de manera que el sistema dinàmic resultant “en llaç tancat”

x( k 1) Ax(

k)

bFx(

k)

( A bF)

x(

k)

tingui “pols” ( VAPs) adients. Recordem que dels seus valors depenen propietats

com ara l’estabilitat o les ressonàncies. Segons acabem de raonar, aquesta

“reassignació” (o “shifting”) de pols per realimentació és possible per a sistemes

controlables, i pot calcular-se a través de la forma canònica de control de les matrius

inicials.

8,32, ... , 8.35.- Matrius no derogatòries.

Hem vist alguns casos de matrius no diagonalitzables, com per exemple les

“companion” amb VAPs múltiples. Quan no és possible completar una base de VEPs,

ens plantegem bases alternatives per tal d’obtenir formes simplificades o reduïdes de la

donada. En aquest apartat estudiarem les “no derogatòries” i en el pròxim els casos

particulars n 2 i n 3 .

Def. – Essent f : E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, suposem el seu

polinomi característic totalment descomponible:

Q t

t

t )

n

1

( ) ( 1)

(

1)

(

s

s

S’anomena no derogatòria si la multiplicitat geomètrica de cada VAP és 1:

d1 d

s

1

Exem. –

(1) Ja hem vist que totes les “companion” ho són.

(2) Clarament, no diagonalitzen si algun VAP és múltiple.

8.37

1

2

(3) A

0

1

2

Q ( t)

( t 1)

VAPs: 1

1 ( 2 ) 1

d 2 rang(

A I)

1

1

(4) En general, es demostra que una matriu A és no derogatòria si i només si existeix un

vector v E de manera que:

rang(

v,

Av,

, A

n1

v)

n

Estudiem primer el cas d’un sol VAP:

Lema (cas no derogatori, amb un sol VAP) –

En les condicions de la definició anterior, suposem un sol VAP :

d dim E

n n

Q ( t)

( 1) ( t )

n rang(

A I)

1

(1) Existeix algun vector w E tal que:

( f

n1

n

I)

( w)

0, ( f I)

( w)

0

(1’) En particular, si A és “companion”, podem prendre w ( 0, 0, ,

0, 1)

.

(2) Per qualsevol d’aquests vectors, una base de E és:

w,

( f

I)(

w),

, ( f

I)

(

)

n 1 w

(3) La matriu de f en aquesta base és:

A

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

(4) El darrer vector de la base (2), i només ell, és un VEP, i per tant base de E

.

(4’) Concordantment, la darrera columna de A

, i només ella, és diagonal.

8.38

Obs.–

(1) En les condicions de la proposició anterior, es diu que la base (2) està formada per

una cadena (de Jordan), de llargària n, generada pel vector w.

(2) Les matrius de la forma (3) s’anomenen blocs de Jordan (del VAP , i grandària n).

Exem. –

(1) Per

1

2

A

0

1

Es clar que l’únic VAP és =1, doble, amb d = 1. Doncs, és no derogatòria i no

diagonalitzable.

Cerquem un generador w ( x,

y)

tal que:

0

0 ( A I)

w

0

2 0

0 ( A I)

w

0

2

x 2y

0

y

0

0

x 0

0

y

0

Per exemple:

w (0, 1)

Aleshores una cadena de Jordan és:

0

2

w , ( A I)

w

1

0

i la matriu en aquesta base serà el bloc Jordan de VAP 1 i grandària 2:

S

0 2

S

1 AS

1

0

1

1

0

1

(1’) També podríem haver pres un altre generador:

w ( 4, 3)

4 3

( A I)

3

0

3

S ( S)

3 0

4

1

1

AS

1

0

1

8.39

(2) Considerem la matriu “companion”:

0

1 0

A 0

0 1

1

3 3

3 2

Q ( t)

(

t 3t

3t

1)

(

t 1)

Com que 3 , no diagonalitza.

Cerquem un generador w ( x,

y,

z)

tal que:

3

0 ( A I)

0 ( A I)

2

3

1

w 1

1

0

w 0

0

2 1

x x 2y

z

2 1

y

x 2y

z

2 1

z x 2y

z

0 0

x 0

0 0

y

0

0 0

z 0

Per qualsevol x 2y

z 0 , tindrem una cadena de Jordan:

x

w y

,

z

x y

( A I)

w y z ,

x 3y

2z

( A I)

2

x 2y

z

w x 2y

z

x 2y

z

i la matriu en qualsevol d’aquestes bases serà el bloc de Jordan de VAP 1 i

grandària 3:

1

A 1

0

0

1

1

0

0

1

(2’) En particular, essent A “companion”, podem prendre:

0

w 0

,

1

0

( A I)

w 1

,

2

( A I)

2 w

1

1

1

Generalitzem el lema anterior al cas de diversos VAPs:

Prop. (cas no derogatori general) –

8.40

Essent

f

: E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, suposem:

1

Q( t)

( t ) ( t )

d1 d

s

1

1

s

s

(1) Existeixen vectors w

1,

, ws

que:

( f

i

1

i

I)

( ) 0, ( f I)

( w ) 0; i 1,

,

s

i

w i

i

i

(2) Aleshores una base de E és:

w , ( f

1

w , ( f

s

I)(

w ), ,

1

I)(

w

s

1

s

), ,

( f I)

1

( f I)

s

11

s 1

( w ) v

1

( w ) v

s

1

s

(3) La matriu de f en aquesta base és:

i 1

(4) Per cada i 1,

,

s el vector v ( f I)

( w ) és VEP, i per tant base del

subespai propi

E

i

.

i

(4’) Concordantment, la darrera columna de cada bloc A

i

, i cap altra, és diagonal.

i

i

Obs. –

(1) Es diu que la base de (2) és formada per cadenes (de Jordan), de llargàries

1,

, s

, generades pels vectors w

1,

, ws

.

(2) La matriu de (3) s’anomena la forma reduïda de Jordan de la inicial. Es diagonal per

blocs de Jordan, de VAPs

1,

,s

, i grandàries

1,

,

s

, respectivament.

Exem. – Per

1

A 0

0

1

1

1

1

1

3

tenim:

8.41

2

Q ( t)

(

t 1)(

t 2)

1:

1 ( d 1)

1 1 1 2 : 2 , 3 ( 2 ) 1

1 2

d

2

rang A I

Per tant és no diagonalitzable, no derogatòria.

Per 1

1 , prenem un VEP v

1

:

0

1

1

E1

Nuc( A I)

Nuc0

0 1 v1

,

0

1 2

Per 2

2 , cerquem un generador w

2

:

v

1

1

0

0

Per exemple

1

1

1

0 ( A 2I)

w2

0 1

1w

0 1 1

1

1 1

2

0 ( A 2I)

w2

0

0 0w2

0

0 0

2

1

w

2

1 ,

0

v

( A 2I)

2

2

w

0

1

1

En definitiva:

S

1

0

0

1

1

0

0

1

S

1 AS

1

1

0

0

0

2

1

0

0

2

8,36, ... , 8.38.- Formes reduïdes per n=2 i n=3.

Prop .- Classificació de matrius per n = 2.

Podem ja relacionar les possibles formes reduïdes per A M

2

( ):

(1) Q ( t)

( t 1 )( t 2

) , 1

1

0

1

2

S AS

0 2

amb:

S v 1

v 2

8.42

v

1

: VEP de

1

v : VEP de

2

2

(1’) Si 1

, 2

C, una forma reduïda alternativa amb coeficients reals és:

1

a bi ,

2

a bi

1

a b

( S ) AS

b

a

amb:

S

u

u

u v 1

v 1

u

i ( v ) 1

v1 2

0

(2) Q ( t)

( t )

, d 2 A

0

2

0

(3) Q ( t)

( t )

, d 1 S

1 AS

1

amb:

S ( w v)

( A I)

w v 0

Aplicació – Classificació de transformacions en el pla

Tota transformació lineal en el pla es representa per una matriu A M

2

( ), i per tant

s’hi aplica la classificació d’aqueixes matrius. Gràficament, es pot representar per la

imatge del quadrat unitat:

(1) Aixafaments:

(1’) Rotacions:

8.43

(2) Compressions/dilatacions (homotècies):

(3) Cisallaments:

Prop. – Classificació de matrius per n = 3

Anàlogament, per A M

3

( ):

(1) Q ( t)

(

t )( t )( t ) S

amb:

1

S

v1 v2

v3

1

, v2

, v3

2

3

1

1

AS 0

0

0

2

0

0

0

3

v : VEPs de

1

, 2

, 3

respectivament

(1’) Com abans, si 2

, 3

C, una forma alternativa real és:

0

amb:

a bi,

a bi S

2

S v 1

u

3

u

1

AS

1

0

0

a

b

0

b

a

8.44

u v 2

v 2

u

i ( v ) 2

v2 1

0 0

2

(2) Q ( t)

(

t 1 )( t 2

) , d 2

2

1

S AS 0 2

0

0 0 2

amb:

S v1 v2

v

2

v

1

: VEP de

1

v : VEPs l.i. de

2

2 ,v 2

1

0 0

2

(3) Q ( t)

(

t 1 )( t 2

) , d 2

1

1

S AS 0 2

0

0 1 2

amb:

S v1 w2

v2

v

1

: VEP de

1

2

A I)

w 0, A I)

w v 0

(

2 2

(

2 2 2

(4)

( ) ( )

3

Q t t , 3

d

A 0

0

0

0

0

0

3

(5) Q ( t)

(

t )

, d 1

amb:

S

w

u

v

S

2

( A I)

w v 0

u ( A I)

w

1 AS

1

0

0

1

0

0

3

(6) Q ( t)

(

t )

, d 2

amb:

S

S w v v

( A I)

w v 0

v : VEP l.i. amb v

1 AS

1

0

0

0

0

0

Exem. – La matriu

8.45

3

A 0

1

0

2

0

1

0

1

correspon al darrer cas ja que:

Q

d 3 rang(

A 2I)

2

3 2

( t)

t

6t

12t

8 (

t

2)

3

Per tant, la seva forma reduïda serà

S

1 AS

2

1

0

0

2

0

0

0

2

on les columnes de S són una base de la forma ( w,

v ( A 2I)

w,

v)

, amb

Per exemple:

2

w Nuc(

A 2I)

, w Nuc(

A 2I)

v Nuc( A 2I)

; v, v

l.i.

w (1, 0, 0)

v (1, 0, 1)

v

(0, 1,

1

S 0

0

1

0

1

0)

0

1

0

8.39, ... , 8.45.- Forma reduïda de Jordan: cas general.

Obs. –

(1) Quan el polinomi característic descompon totalment

1

s

Q( t)

( t ) ( t )

n

1

s

,

1

(recordem que sobre C sempre ho fa), tota matriu pot reduir-se a l’anomenada

“forma canònica de Jordan”, la qual en particular inclou els casos ja estudiats:

d (diagonalitzable)

i

i

d

i

1 (no derogatòria).

Queda pendent, doncs, generalitzar el cas:

1 d .

i

i

s

8.46

que ja hem estudiat quan n = 3.

(2) Triangularització

En un primer pas, es demostra per inducció que pot reduir-se a la forma triangular

(3) Primera descomposició

És fàcil veure que la forma (2) es pot reduir a la diagonal per blocs triangulars:

S’anomenen subespais propis generalitzats els

ˆ

( )

i

E Nuc A I E

i

i i

que corresponen a cadascun dels blocs diagonals i per tant:

(3.1) Eˆ

, , Eˆ

1

són A-invariants

s

(3.2) dim Eˆ

i

; i 1,

,

s

(3.3) E Eˆ

Eˆ

s

i

1

(4) Segona descomposició

8.47

Finalment es construeix una “base de Jordan” per cada Eˆ

separadament, essent la

i

base cercada la reunió de totes elles. El resultat final després d’aquesta segona

descomposició s’enuncia a continuació.

Teor. (forma reduïda de Jordan complexa) –

Essent f : E E lineal i A la seva matriu en qualsevol base, considerem el seu

polinomi característic (sobre C) i les multiplicitats geomètriques:

1

Q( t)

( t ) ( t )

1

1 d

i

dim Nuc(

A I)

i

; i 1, ,

s

s

s

(1) Existeix una matriu de canvi de base

de manera que la matriu

1

A J

S AS

és de la forma:

(1.1)

(1.2)

8.48

(2) En particular:

amb d

i

blocs diagonals, de grandàries adequades.

(2.1)

d i

A

i

i

i

0

0

i

prenent S

i

una base de VEPs de

i

.

(2.2)

d i

1 A i

i

1

0

1

0

i

prenent S

i

la cadena

i 1

w , ( A I)

w , , ( A I)

w v

i

i

i

i

i

i

generada per qualsevol

w

i

tal que:

( A I)

i

w

0, ( A I)

i i

1

i

i

w

i

0

(3) La forma A

J

és única, fora de permutacions en els blocs diagonals.

Def. –

8.49

(1) En les condicions anteriors, A

J

, s’anomena forma canònica de Jordan de A, i S una

base de Jordan.

(2) Les grandàries de les submatrius diagonals de cada A i

s’anomenen els divisors

elementals del VAP

i

. Els VAPs

1,

,s

, juntament amb els divisors elementals

de cadascun, determinen la forma de Jordan: s’anomena la característica de Segre de

A.

Obs. –

(1) Com casos particulars, retrobem els ja estudiats:

diagonalitzable d , ,

1 1

d s

1

d

s

no derogatòria d 1

(2) Queda pendent determinar, en l’apartat pròxim, els divisors elementals quan

1 d . Reiterem que:

i

i

d divisors elementals: 1,

1, , 1

i

i

d

i

1 divisors elementals:

i

(2’) Veurem també en l’apartat pròxim que les bases de Jordan es formen reunint les

corresponents a cada VAP i

(de forma més precisa les de cada subespai propi

generalitzat ˆ ).

E i

Per cadascun, és una reunió de d

i

cadenes de Jordan (corresponents a cada bloc de

Jordan de A

i

), de llargàries els divisors elementals.

En particular, una base E i

és formada pels VEPs finals de cada cadena,

corresponents a les columnes diagonals de A

i

(la darrera de cada bloc de Jordan).

(3) En qualsevol cas, resulta finalment que A

J

és diagonal per blocs de Jordan, tants

com

d d

1 s

:

s

8.42, 8.43.- Càlcul del divisors elementals i de bases de Jordan.

8.50

Anem a veure com calcular els divisors elementals i com construir bases de Jordan. Per

simplificar la notació ens referirem a un VAP, ben entès que caldrà aplicar-ho

reiteradament a tots.

Suposem doncs, en tot l’apartat:

Q ( t)

( t )

1 d ,

Lema – En les condicions anteriors:

(1) La cadena de subespais

E

Nuc(

A I)

Nuc(

A I)

( A I)

( A I)

1

2

( A I) n Eˆ

estabilitza a partir de la primera igualtat.

(2) Si anomenem

1 2

, , ,

les dimensions respectives:

1

dim Nuc(

A I)

d

2

dim Nuc(

A I)

dim Nuc(

A I)

2

es verifica:

1 2

d

1

1 2 1 3 2

1

1

0

8.51

Obs. – En les condicions anteriors:

(1) és el menor exponent per al qual

dim Nuc ( A I)

1 2

3

(2) d 1 1, 2, 3,

1 2

d 1

Teor. – En les condicions anteriors:

1 2 d

(1) Els divisors elementals , , , del VAP queden determinats per l’esquema

següent:

(2) Si prenem

1 2

w , w , ,

d

w de manera que:

1

1

1

1 1

( A I)

w 0, ( A I)

w v 0

2

( A I)

w

1 2

v , v l.

i.

3

( A I)

w

1 2 3

v , v , v l.

i.

etc.

2

3

0,

0,

1

( A I)

( A I)

2

1

3

1

w

w

2

3

v

v

2

3

0

0

aleshores una base de Jordan de

1

w , w ,

2 d

, w :

Ê

és formada per les cadenes generades per

8.52

1

1

w ,( A I)

w , ,( A I)

2

2

w ,( A I)

w , ,( A I)

w

d

,( A I)

w

d

, ,( A I)

1

1

2

1

w

d

1

1

w

w

v

2

d

1

v

2

v

d

Obs. – En les condicions del teorema:

(1) El nombre de rectangles en “planta baixa” és d, i en total, .

(2)

v , ,v

E .

1 d

són VEPs, i formen una base de

(3) Retrobem com casos particulars els ja coneguts:

diagonalitzable

d 1

la base anterior es redueix als VEPs v 1 , ,v

no derogatòria d 1

la base anterior es redueix a una cadena

1

w,(

A I)

w,

,( A I)

w v

d

Exem. –

(1) Suposem que per un cert VAP és:

Aleshores:

Q ( t)

( t )

13

dim Nuc(

A I)

4

dim Nuc(

A I)

dim Nuc(

A I)

dim Nuc(

A I)

dim Nuc(

A I)

2

3

4

5

7

10

12

13

Per tant, els divisors elementals seran:

8.53

1

2

5,

3

4,

4

3,

1

(1’) Observem que la darrera dada (... = 13) era innecessària, ja que es deriva

necessàriament de la penúltima (... = 12).

(2) Considerem

3

9

A 0

0

1

3

0

0

1

7

4

2

7

1

8

4

(2.1)

4

Q( t)

t

0,

4

(2.2) d dim Nuc(

A I)

4 rangA 2

dim Nuc(

A I)

2

4 rangA

2

4

1

2

2,

2

(2.3) Una base de Jordan serà:

1 1 1

w , Aw v

2 2

w , Aw v

2

on:

1 2 1

1

w : A w 0, Aw 0

1

1

Per exemple: w (1, 0, 0, 0), v (3, 9, 0, 0)

2

2

2 Aw 0, w

w :

2

1

Aw l.

i.

amb v

0

2

2

Per exemple: w (0, 0, 1, 0), v (1, 7, 4, 2)

8.54

8.45, 8.46.- Matrius conjugades.

En apartats anteriors havíem classificat les matrius per n 2 i n 3 . Ara podem

generalitzar-ho:

Corol. (Classificació de matrius/endomorfismes) –

Donades dues matrius A, B corresponents a dos endomorfismes de E en una base

qualsevol:

1

(1) S AS B , per alguna S A J

BJ


A

B

J

J

S

( S

AS

1

AJ

AS

2

1

(

1)

1

1

1

BJ

( S S ) A(

S S

1

1 2

1 2

2

)

) B

Obs. – En les condicions anteriors, es diu que les matrius A i B són conjugades (o

“similars”), o també que ambdós endomorfismes són equivalents. Respon a la idea

intuïtiva que “són iguals, en el fons”, tot i que aquesta “igualtat” només es palesa quan

els representem en bases adients.

Altrament dit:

de manera anàloga com la dimensió classifica els espais vectorials,

la característica de Segre classifica els endomorfismes de cadascun.

Exem. –

(1) Discutim per a quins valors de a , b,

c,

d són equivalents les matrius:

3

9

A 0

0

1

3

0

0

1

7

4

2

7

1

,

8

4

a

0

B 0

0

b

a

0

0

c

b

a

0

d

c

b

a

(1.1) Q A

( t)

t

4

Q B

( t)

( a t)

Per tant, cal: a 0

4

(1.2) Ja hem vist a l’exemple anterior, que per 0 :

1

2,

A

2

A

2

8.55

Imposem-ho per B:

(i) 2 dim Nuc(

B I)

4 rangB b 0, c 0

(ii) Suposant b 0,

c 0 :

4 =

dim Nuc(

B

(2) Suposem A, B com abans, amb:

a b 0,

c 0, d qualsevol

Cerquem S tal que:

S

1

AS B

(2.1) A l’exemple anterior hem vist que

2

2

I)

4 rangB , qualsevol que sigui d .

(2.2) Anàlogament, per B:

(2.3) Doncs, podem prendre:

S

S S

1

1

2

1

0

0

0

3

9

0

0

0

0

1

0

1

0

7

1

c

4 0

2

0

0

d

c

0

1

c

2

1

0

0

0

0

0

1

0

8.46, 8.47.- Aplicació al càlcul matricial.

Per a matrius diagonalitzables, el càlcul matricial es redueix al corresponent amb els

VAPs:

Prop. (Càlcul matricial: cas diagonalitzable) –

8.56

Essent

A M

n

( ) diagonalitzable:

S

1

AS

1

n

(1)

A

k

k

1

S

k

n

1

S , per qualsevol enter k .

(1’) Recíprocament, podem trobar arrels k-èsimes de A:

1

k

i

i

S

S

n

1

k

A

(2) Més en general, considerem una funció analítica (z)

de la forma

com ara

Es defineix

( z)

a

0

a z a z

1

2

k

z z z z

e 1

1! 2! k!

3 5

z z

sin z z

3! 5!

2 4

z z

cos z 1

2! 4!

( A)

a

0

I a

que pot calcular-se mitjançant

2

2

A a A

1

2

k

a k

z

2

k

a k

A

(

1

)

(

A)

S

(

n

S

)

1

(3) També és vàlid el “pas al límit”; per exemple:

8.57

8.58

1

1

lim

lim

lim

S

S

A

k

n

k

k

k

si cada

k

i

lim , n

i

1 , existeix i és finit.

(3’) Igualment per la derivació, ...

Exem. – Reprenem l’exemple introductori:

6

0

0

3

1

1

1

2

3

1

,

2

1

1

1

5

2

1

4

1

1

AS

S

S

S

A

1

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

3

6

0

0

3

k

k

k

k

k

k

k

k

S

S

A

A

B

S

S

B

k

k

k

1

6

0

0

3

1

1

6

1

0

0

3

1

S

S

A

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

At

e

e

e

e

e

e

e

e

S

e

e

S

e 6

3

6

3

6

3

6

3

1

6

3

2

2

2

2

3

1

0

0

1

2

1

2

3

1

0

0

0

1

2

sin

1

S

S

A

1

4

2

1

3

1

1

0

0

1 1

S

S

e A

i

2

2

1

1

3

1

1

0

0

0

1

0

0

2

1

6

1

lim

1

1

S

S

S

S

A

k

k

k

k

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

At

e

e

e

e

e

e

e

e

S

e

e

S

e

D 6

3

6

3

6

3

6

3

1

6

3

4

4

2

2

2

2

6

0

0

3

Observem que aquest mateix resultat resulta de derivar l’expressió de e At trobada

abans.

Observem igualment que:

At

D e

Ae

At

Obs (Càlcul matricial: cas general).- De forma anàloga, per a matrius no

diagonalitzables, el càlcul matricial es redueix al corresponent amb els blocs de Jordan:

S

1

AS

J

1

J d

(

J1)

(

A)

S

(

J

d

S

)

1

Per als blocs de Jordan tenim per exemple:

J

k

k

k 1

k

k

k

2

k

k

3

2

3

0

k

k 1

k

e

tJ

e

t

t

t

2

1

3

t

2!

3!

0

t

1

Exem. – Havíem vist:

1

A 0

0

1

S 0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

3

0

1

S

1 AS

1

1

0

0

0

2

1

0

0

2

8.59

(1) Segons les fórmules anteriors:

A

k

1

S0

0

2

0

k2

k

k 1

0

0

2 S

k

1

e

tA

t

e

S

0

0

e

te

0

2t

2t

0

0 S

2t

e

1

(2) Com abans, podem aplicar-ho a límits, derivades,... Per exemple:

1

0 0

k

1

k

1

1 2

lim

A

1

lim S

0 1 00

k

2

1 0 k 1

1

2

1

0

0

0 2 k

lim S S0

1

1

1

1

At At

* D e Ae

Una de les conseqüències que més aplicarem és:

Corol.- Per a tota matriu A (real o complexa)

k

lim A 0 i

1, VAP

i

k

At

lim e 0 R(

i

) 0, VAP

i

t

on R(·) indica “part real”.

8.48, ... , 8.51.- El teorema de Cayley-Hamilton. El polinomi anul·lador.

Teor. (de Cayley-Hamilton) –

Essent f : E E lineal, A la seva matriu en una base qualsevol, i Q(t) el seu polinomi

característic, es verifica:

n

Q(

A)

( 1)

( A

n

trA A

n1

( 1)

n

det A

I)

0

8.60

Obs. –

(1) És evident per endomorfismes triangularitzables, i en particular per = C.

(2) Com una aplicació, observem que si det A 0 :

A ( A

A

1


n1

( 1)

trA A

n1

n2

1

( A

det A

)

(

1)

n1

1

1

n 2 : A ( A trA I)

det A

1

n

trA A

det A

I

n2

1

2

n 3 : A ( A trA A

2

I)

det A

)

(3) Una altra conseqüència, molt útil en teoria de control lineal, és que, per qualsevol

vector columna b:

Aquest teorema justifica la definició i el corol·lari següents:

Def. – Essent f : E E lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, s’anomena el

seu polinomi (mínim) anul·lador, P(t), al mònic de menor grau que anul·li A:

(i) P ( A)

0

(ii) P ( A)

0 si grP

grP

(iii) P (t)

mònic

Exem. –

(1) Si A és diagonalitzable, amb VAPs

1,

,s

, és:

P t)

( t ) ( t )

(

1 s

(2) Si J

és un n-bloc de Jordan, és:

P ( t)

( t )

n

8.61

Prop. – En les condicions anteriors, si

1

Q( t)

( t ) ( t )

1

s

s

aleshores:

(1) P (t)

és de la forma:

1

P( t)

( t )

1 ,

i

i

1

(

t )

s

( i 1, s)


= més gran divisor elemental de

i

i

s

Obs. –

(1) Havíem caracteritzat els VAPs com les arrels del característic Q (t)

. La proposició

anterior els caracteritza com arrels de l’anul·lador P (t)

.

(2) Els exponents

i

queden caracteritzats per:

E

i

2

Nuc(

f I)

Nuc(

f I)

Nuc(

f I)

i

i

i

Nuc(

f I)

i

i

1

i

Eˆ

i

(3) Si no coneixem el polinomi característic, l’anul·lador pot obtenir-se assajant

successivament polinomis mònics de grau creixent:

1

a tal que: (t + a 1

)(A) = A a1I

0

a , a 1 2

tal que: ( 2

)( ) 2

t a1t

a2

A A a1

A a2I

0

etc.

P (t) és el primer per al qual el sistema resulta compatible.

Corol. (criteris de diagonalització i no derogació pel polinomi anul·lador) –

En les condicions anteriors:

(1) diagonalitzable 1 d )

1 s

(

i i

(2) no derogatòria 1 1,

, s

s

( d i

1)

8.62

Aplicacions. –

(1) Endomorfismes idempotents

Un endomorfisme

f

: E E es diu idempotent si

f

2

f

2

Clarament equival a f f 0, i per tant el polinomi anul·lador és

2

P ( t)

t t ( t 1)

t

fora dels casos trivials

f Id ó f 0 .

Els seus VAPs són, doncs, 1

1 , 0 2

, i segons el corol·lari anterior,

diagonalitza. En definitiva, la seva matriu reduïda és de la forma:

1

0

1

0

0

0

(2) Restricció d’un diagonalitzable

Anem a veure que la restricció d’un endomorfisme diagonalitzable a un subespai

invariant és també diagonalitzable.

Considerem f : E E lineal i N E un subespai f-invariant. Siguin A i A | N

les

matrius respectives en una base adaptada a N. Si f és diagonalitzable, segons acabem

de veure serà:

P t)

( t ) ( t )

(

1 s

Com que P ( f ) anul·larà en particular els vectors de N, tindrem

P ( |

) 0

A N

de manera que P N

(t)

serà un divisor de P (t)

.

8.63

Doncs, les arrels de P N

(t)

seran igualment simples i, altre cop pel corol·lari

anterior,

f | N

serà diagonalitzable.

8.64

Algebra, teoria primer

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?