Algebra, teoria primer

8 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
(2) La seva propietat més rellevant és que
Q(t) = det(tI − C(a 1 ,...,a n )) = t n + a 1 t n−1 + · · · + a n−1 t + a n .
Veurem que aquest polinomi juga un paper clau en la reducció de matrius (s’anomena ”polinomi
característic”).
(3) També com a ”formes canòniques de control” de sistemes controlables uniparamètrics. D’aquí el
seu paper clau, per exemple, per estabilitzar un sistema controlable mitjançant una realimentació
que reassigni adequadament els seus pols.
Matlab/Octave. La comanda
C = compan(a), on a = [1,a 1 ,...,a n ].
dóna la matriu anterior, però amb les files i columnes ordenades en sentit contrari. Per obtenir l’anterior
caldria reordenar-les amb
3.3 Operacions suma i producte
C(:, end : −1 : 1)
C(end : −1 : 1, :).
Definició. La suma de dues matrius i el producte per un escalar es realitza ”per coeficients”, mentre que
el producte de dues matrius és fa ”fila per columna”:
( 1 2 3
4 5 6
( 1 2 3
λ
4 5 6
( 1 2 3
4 5 6
) ( 7 8 9
+
10 11 12
)
=
) ( ) λ 2λ 3λ
=
4λ 5λ 6λ
) ⎛ ⎞
7 8
⎝ 9 10 ⎠ =
11 12
( 8 10 12
14 16 18
)
( 7 + 18 + 33 8 + 20 + 36
28 + 45 + 66 32 + 50 + 72
Proposicions. Propietats elementals de les operacions anteriors:
(1) Per a la suma:
• associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• commutativa: A + B = B + A
• neutre: A + O = A, on O és la matriu nul·la.
• oposada: A + (−A) = O, on si A = (a ij ), és −A = (−a ij )
(2) Per al producte per escalar:
• associativa: (λµ)A = λ(µA)
)
=
( 58 64
139 154
)
.