Algebra, teoria primer

24 Àlgebra Lineal-Teoria (GEM/GETI/GEQ)
Matlab/Octave. El rang d’una matriu s’obté directament amb la comanda rank( ):
rang A = rank(A) (= length(jb), on [R,jb] = rref(A)).
Aplicació. Controlabilitat de Sistemes Lineals
(1) Un dels resultats fonamentals de la Teoria de Sistemes Lineals de Control és que un sistema
és completament controlable si i només si
Així, per al sistema de control
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), A ∈ M n , B ∈ M n×m ,
rang (B, AB, ..., A n−1 B) = n .
⎛
ẋ(t) = ⎝
1 1 2
0 0 α
1 0 1
⎞
⎛
⎠ x(t) + ⎝
estudiem la seva controlabilitat segons el valor de α ∈ R:
(B, AB, A 2 B) = ⎝
Clarament és controlable si, i només si, α ≠ 0.
⎛
1 1 3
0 0 α
0 1 2
⎞
1
0
0
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎠u(t)
1 1 3
0 1 2
0 0 α
(2) Més en general, els índex de controlabilitat es calculen a partir dels rangs:
rang B
rang (B, AB)
rang (B, AB, A 2 B)
· · ·
rang (B, ..., A n−1 B).
⎞
⎠ .
3.15 Aplicació a la invertibilitat d’una matriu
Si A ∈ M n (K) té rang màxim, veurem que resulten ser compatibles determinats els sistemes d’equacions
per al càlcul de la inversa. També és clar que la forma esgraonada reduïda és la identitat. Per tant:
Proposició. Essent A ∈ M n (K):
(1) A és invertible ⇐⇒ rang A = n.
(2) A és invertible ⇐⇒ A ∼ I per pivot (de files).