Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Inversio-ongelma: Määrää funktio f kun sen integraalit
pitkin eri suoria tunnetaan.
∫ r
−r
f(x, ax + b)dx
y
r
Suora y = x
-r r
x
D
-r
Kuva 1.6: Tomografiakuvaus: funktion f integraalit lasketaan pitkin eri suoria.
Käytännössä mittauksia ei voi tehdä jokaista suoraa pitkin, vaan mittaussuuntia
on rajallinen määrä. Mitä vähemmän mittaussuuntia on käytössä, sitä
vähemmän tietoa on saatavilla tuntemattomasta funktiosta. Ongelmana on, että
useilla eri funktioilla voi olla samat integraalit. Esim. jos f(x, y) = x 2 + y 2
kun (x, y) ∈ B(0, 1) jaf(x, y) = 0 muulloin, niin sen integraali pitkin suoraa
y = 0 ( tai pitkin mitä tahansa origon kautta kulkevaa suoraa y = ax), on
∫ 1
−1
x 2 dx = 2 3
joka on sama kuin funktion f(x, y) = 1 3
integraali pitkin samaa suoraa.
Tomografiakuvauksessa datan rajallisuutta kompensoidaan rajoittamalla ratkaisun
muotoa: Oletetaan esimerkiksi, että
n∑
f(x, y) = a i φ i (x, y),
i=1
missä n on kiinnitetty luku, funktiot φ i ovat tunnettuja ja kertoimet a i ∈ R
ovat tuntemattomia. Funktiot φ i (x, y), i = 1, .., n voivat olla esimerkiksi pistevieraiden
neliöiden karakteristisia funktioita (kuvan pikseleitä)
{
1 kun (x, y) ∈ I i
φ i (x, y) =
0 muulloin.
Luku a i voidaan esittää siilloin esim. harmaasävyskaalan värinä.
Käytännön inversio-ongelmissa rekonstruktio (eli kuvan muodostaminen
tuntemattomasta kohteesta) on tehtävä jollakin tapaa rajallisesta
määrästä dataa. Käytännön inversio-ongelmissa approksimoidaan
tuntemattomia usein äärellisulotteisten vektoreiden avulla.
8