Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ja<br />
Totesimme Esimerkissä 7, että<br />
y = Ax + ε = ( 14.1 −13.1 −65.9 ) T<br />
.<br />
A −1 (Ax + ǫ) = x + ( −168 3<br />
10<br />
184 3<br />
10<br />
6<br />
10) T<br />
.<br />
Ratkaistaan ongelma y = Ax + ε Tikhonovin regularisaatiolla. Lasketaan ensin<br />
⎛ ⎞<br />
11 10 14<br />
A T A = ⎝12 11 −13⎠<br />
14 13 −66<br />
Valitaan α = 0.01 ja lasketaan<br />
(A T A + αI) −1 A T y =<br />
≈<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
11 10 14 461 424 −926<br />
⎝12 11 −13⎠ = ⎝ 424 390 −861⎠<br />
14 13 −66 −926 −861 4721<br />
T ⎛<br />
⎛<br />
⎞<br />
461.01 424 −926<br />
⎝ 424 390.01 −861 ⎠<br />
−926 −861 4721.01<br />
⎛<br />
⎝ −0.003 ⎞<br />
0.006 ⎠ .<br />
1.001<br />
⎞ ⎛<br />
11 12 14<br />
⎝10 14 13 ⎠ ⎝ 14.1 ⎞<br />
−13.1⎠<br />
14 −13 −66 −65.9<br />
−1 ⎛<br />
Lähdetään selvittelemään kuinka parametri α vaikuttaa ratkaisuun. Voimme<br />
aluksi kysyä mitä ratkaisulle ˆx α tapahtuu, jos α → 0 tai α → ∞. Tällöin meidän<br />
tulee laskea raja-arvot<br />
lim<br />
α→0+ (AT A + αI) −1 A T y ja lim<br />
α→0+ (AT A + αI) −1 A T y,<br />
jos ne ovat olemassa.<br />
Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että nolla ei ole matriisin A T A ominaisarvo.<br />
Silloin käänteismatriisi (A T A) −1 on olemassa ja voimme ryhtyä tutkimaan<br />
erotusta<br />
‖(A T A + αI) −1 A T y − (A T A) −1 A T y‖.<br />
Kahden käänteismatriisin erotus voidaan kirjoittaa muodossa<br />
Erityisesti<br />
Silloin<br />
B −1 − C −1 = B −1 (I − BC −1 ) = B −1 (C − B)C −1 .<br />
(A T A + αI) −1 − (A T A) −1 = (A T A + αI) −1 (αI)(A T A) −1 .<br />
‖(A T A + αI) −1 A T y − (A T A) −1 A T y‖ ≤ ‖(A T A + αI) −1 ‖α‖(A T A) −1 A T y‖.<br />
Muistetaan, että ‖(A T A+αI) −1 ‖ on matriisin (A T A+αI) pienimmän ominaisarvon<br />
λ min käänteisluku. Olkoon u min pienintä ominaisarvoa vastaava ominaisvektori,<br />
jolle ‖u min ‖ = 1. Voimme arvioida pienintä ominaisarvoa seuraavasti:<br />
λ min = ((A T A + αI)u min , u min ) = ((A T A + αI)u min , u min ) ≥ (A T Au min , u min )<br />
≥<br />
λ min (A T A).<br />
37