Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

More documents

Recommendations

Info

4.6 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 iv
Luku 1 Suorat ongelmat ja inversio-ongelmat Inversio-ongelmat ovat osa sovellettua matematiikkaa, mutta matka puhtaaseen matematiikkaan on lyhyt sillä matemaattiset inversio-ongelmat ovat sangen abstrakteja. Jopa matematiikan alan arvostetuimmassa lehdessä ”Annals of Mathematics”on inversio-ongelmia koskevia julkaisuja. Erityisesti inversioongelmiin erikoistuneita tieteellisiä lehtiä ovat: Inverse Problems (IP), Inverse Problems and Imaging (IPI), Journal of Inverse and Ill-posed Problems ja Inverse Problems in Science and Engineering. Näitä lehtiä voi lukea Oulun yliopiston kirjaston Nelli-portaalin kautta (myös etäkäytöllä). 1.1 Mitä inversio-ongelmat ovat? Inversio-ongelmissa pyritään saamaan tietoa tuntemattomista kohteista epäsuorien ja usein epätarkkojen havaintojen avulla. Esimerkkejä tutuista inversioongelmista ovat lääketietelliset kuvantamismenetelmät (ultraäänikuvaus, tietokonekerroskuvaus), kuvan terävöittäminen kuvankäsittelyssä ja sateen havainnointi säätutkalla. Tällä kurssilla tutustutaan matemaattisiin inversio-ongelmiin sekä yksinkertaisten inversio-ongelmien käytännön ratkaisumenetelmiin. Inversio-ongelman eli käänteisongelman nimitys tulee siitä että ensin on tunnettava suora ongelma, joka kertoo kuinka data y riippuu kiinnostuksen kohteena olevasta suureesta x. Usein data saadaan hyödyntämällä jotakin fysikaalista ilmiötä ja suora ongelma on kyseistä ilmiötä selittävä fysikaalinen teoria: sanotaan vaikka kuvaus x ↦→ F(x) = y. Inversio-ongelmassa kysytään, mikä suure x on tuottanut datan y. Maallikkotermein asian voi selittää seuraavasti: • Suora ongelma: Syistä seurauksiin. • Inversio-ongelma: Seurauksista syihin. Yksinkertaistettuna kysymys on käänteiskuvauksen F −1 määräämisestä, mutta tulemme näkemään että ratkaisu ei ole aivan niin mutkatonta. 1
Page 1: Inversio-ongelmien peruskurssi Sari
Page 5: Sisältö 1 Suorat ongelmat ja inve
Page 9 and 10: 1.2 1 tarkka data epätarkka data 4
Page 11 and 12: Inversio-ongelma: Määrää M kun
Page 13 and 14: • Ionosfäärin tutkimus (revontu
Page 15 and 16: Kuva 1.7: Neliö I i . 10 9 8 7 6 5
Page 17 and 18: Tällä ongelmalla on olemassa myö
Page 19 and 20: Esimerkki 8 Käänteisessä sironta
Page 21: - Käänteiset reuna-arvo-ongelmat
Page 24 and 25: Jos suora ongelma ”määrää (va
Page 26 and 27: joissakin pisteissä. Tarkastellaan
Page 28 and 29: Hyvin asetettu ongelma, jolla on hy
Page 30 and 31: Olkoon y = Mx + ε annettu. Jos ‖
Page 32 and 33: Todistus. Näytetään ensin, että
Page 34 and 35: Tehdään muuttujan vaihto −θ
Page 36 and 37: Lemma 3. Olkoon A ∈ C n×n sään
Page 38 and 39: Lemma 4. Matriisille M ∈ R m×n p
Page 40 and 41: ja A T y = ⎛ ⎞ ( ) 1 ( ) 1 1 1
Page 42 and 43: annettu data. Tikhonovin regularisa
Page 44 and 45: Tällöin saadaan arvio ‖(A T A +
Page 46 and 47: missä B = B n×n ′ on jokin sell
Page 49 and 50: Luku 4 Tilastolliset inversio-ongel
Page 51 and 52: Matemaattisina objekteina satunnais
Page 53 and 54: Huomautus 5. Kovarianssimatriisi C
Page 55 and 56: Olkoon f X (x|Y = y) satunnaisvekto
Page 57 and 58:
Todistus. Funktio f Z on tntf, sill
Page 59 and 60:
4.2 Moniulotteinen Riemann-integraa
Page 61 and 62:
missä i = 1, ..., m, a < b ∈ R j
Page 63 and 64:
missä m post = C post F T C −1
Page 65 and 66:
Nyt ∫ f (X,Y ) (x, y) = f (X,Y,ε
Page 67 and 68:
4.4 Erilaisia priorijakaumia Okoon
Page 69 and 70:
0.7 0.6 alpha=0.5 alpha=1 alpha=2 0
Page 71 and 72:
elektronin lämpöliike noudattaa m
Page 73 and 74:
[0, 1] : i = 1, .., n 2 } = {( k n
Page 75 and 76:
Vaihto-ehto 1) Tuntematonta mallinn
Page 77 and 78:
0.25 Cauchy Transformed Beta 0.2 0.
Page 79 and 80:
Silloin ∫ R n L(x, h(y))f post (x
Page 81 and 82:
Kun häiriön jakauma on N(0, δI),
Page 83 and 84:
- Tässä kurssissa moniulotteiset
show all

Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?