Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

ian sähkönjohtavuudesta). Kappaleeseen voidaan syöttää jännite ja mitata virtaa
tai syöttää virtaa ja mitata jännitettä.
Virta
Jännite
D
Kuva 1.10: Jännite-virta mittaukset kappaleesta D.
Olkoon u jännite kappaleessa D ja oletetaan, että pinnalle on asetettu jännite
f. Olkoon kappaleen D sähkönjohtavuus σ ∈ C ∞ ( ¯D). Silloin funktio u ∈
C 2 (D) ∩ C 1 ( ¯D) toteuttaa yhtälöt
∇ · (σ∇u)(x) = 0, x ∈ D
u(x) = f(x), x ∈ ∂D
Pinnalla mitattava virta g(x) saadaan jännitteestä u kaavalla
g(x) = σ(x)n(x) · ∇u(x), x ∈ ∂D,
missä n(x) on kappaleen D pinnan (ulospäin suunnattu) normaalivektori.
Suora ongelma: Määrää g kun σ ja f on annettu.
Inversio-ongelma: Määrää σ kun g tunnetaan jokaisella f ∈ C 1 (∂D).
Mihin soveltuu:
• Lääketieteellinen kuvantaminen (sydämen ja keuhkojen toiminta).
• Ainetta rikkomaton testaus (esim. vauvanruokapurkkien eheyden tarkistus,
lentokoneen siipien korroosiovaurioiden tarkistus, siltojen betoniraudoitusten
tutkiminen).
• Teollisuuden prosessien valvonta (esim. säiliön sisällä olevan seoksen tasaisuuden
tarkkailu).
10