Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

• Huonosti asetetulla ongelmalla ei ole ratkaisua lainkaan ja/tai ratkaisuja
on monta ja/tai ratkaisu ei riipu jatkuvasti annetusta datasta.
• Jos datassa on liikaa häiriöitä, voi hyvin asetetun ongelman ratkaisu olla
huonosti asetetetun ongelman ratkaisun kaltainen.
• Käytännön inversio-ongelmatovat usein huonosti asetettuja/häiriöherkkiä.
Osattava;
• määritellä hyvin asetettu ongelma ja huonosti asetettu ongelma.
• tunnistaa ja antaa esimerkkejä äärellisulotteisista lineaarisista huonosti
asetetuista ongelmista.
• määritellä matriisin ehtoluku
• laskea annetun matriisin ehtoluku
Ymmärrettävä:
• miten ehtoluku liittyy yhtälöryhmien ratkaisemiseen.
• mitä matriisiyhtälölle Mx = y tapahtuu, jos annetut arvot y tunnetaan
epätarkasti.
• mitä eroa on häiriöherkällä ja huonosti asetetulla ongelmalla
Tiedettävä:
• että funktioita approksimoidaan numeerisessa laskennassa äärellisulotteisilla
vektoreilla.
• että huonosti asetettua inversio-ongelmaa approksimoivan hyvin asetetun
inversio-ongelman häiriöherkkyys voi kasvaa kun approksimaatiota pyritään
tarkentamaan.
2.6 Liite: Käänteismatriisin singulaariarvot
Lause 1. Olkoon M ∈ C n×n säännöllinen matriisi. Matriisin M −1 suurin
singulaariarvo
σ max (M −1 1
) =
σ min (M) ,
missä σ min (M) on matriisin M pienin singulaariarvo.
Todistuksessa käytämme seuraavaa lemmaa
Lemma 2. Olkoon A, B ∈ C n×n säännöllisiä matriiseja. Silloin matriiseilla
AB ja BA on samat ominaisarvot.
Todistus. Matriisin ominaisarvot löytyvät karakteristisen polynomin
nollakohdista. Mutta
p(λ) = det(AB − λI)
det(AB − λI) = det(A(B − λA −1 )) = det(A)det(B − λA −1 )
= det(B − λA −1 )det(A) = det((B − λA −1 )A) = det(BA − λI),
jolloin matriiseilla AB ja BA on samat ominaisarvot.
29