Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Esimerkki 3. Jos M ∈ R m×n ja m < n, niin ongelma ”määrää x ∈ R n kun
y = Mx ∈ R m on annettu”on huonosti asetettu, sillä ongelmalla on useita
ratkaisuja. Esimerkiksi, jos
( ) 1 1 0
M = ,
0 0 1
niin Mx = 0 jos ja vain jos x 1 + x 2 = 0 ja x 3 = 0. Toisin sanoen
Ker(M) = {(x 1 , −x 1 , 0) : x 1 ∈ R} ≠ {0}.
Esimerkki 4. Olkoon M m×n ∈ R m×n . Olkoon V ⊂ R n ja W ⊂ R m lineaarisia
aliavaruuksia. Milloin ongelma ”määrää sellainen x ∈ V , että Mx = y, missä
y ∈ W on annettu”on huonosti asetettu?
Tämä ongelma on huonosti asetettu, jos edes toinen seuraavista väitteistä
on totta.
1. W ∩ M(V ) ≠ W (jolloin ei löydy ratkaisua)
2. V ∩ Ker(M) ≠ {0} (jolloin ratkaisu ei ole yksikäsitteinen)
Lineaarisen aliavaruuden V kuva on aliavaruus
n∑
M(V ) = {y ∈ R m : y = x i M i , x ∈ V },
missä vektori M i on matriisin M i:s pystyvektori (eli sarake). Jos V = R n , niin
M(V ) on matriisin M pystyvektorien virittämä aliavaruus.
Huomaa, että jos lineaarinen kuvaus M : V → W on bijektio, niin sillä on
jatkuva lineaarinen käänteiskuvaus. Tämän voi nähdä toteamalla, että kuvaavaruuden
W = M(V ) dimensio on silloin sama kuin aliavaruuden V dimensio
jolloin lineaarinen kuvaus M voidaan esittää neliömatriisina, jolla injektiivisyyden
perusteella on käänteismatriisi. Matriisikuvaus on jatkuva.
i=1
2.4 Ratkaisun häiriöalttius
Huonosti asetetun ongelman ratkaisu voi olla altis häiriöille, mutta myös hyvin
asetetuilla ongelmilla voi olla erilainen häiriöalttius. Löysästi puhuen voidaan
sanoa että ongelma A on huonommin asetettu tai häiriöalttiimpi (more
ill-posed/ill-conditioned) kuin ongelma B, jos samansuuruinen häiriö datassa
muuttaa ongelman A ratkaisua voimakkaammin kuin ongelman B ratkaisua.
Esimerkki 5. Olkoot y, ỹ ∈ R 8 muotoa y = Mx + ε ja ỹ = ˜Mx + ε, missä
x = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), ε = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02) ja M, ˜M ovat reaalisia 8 × 8-
matriiseja, joiden elementit ovat M ij = 1 i δ ij ja ˜M ij = 2 −i δ ij . Tässä δ ij on
Kroneckerin delta: δ ij = 0 jos i ≠ j ja δ ij = 1 jos i = j. Matriisit M ja ˜M ovat
säännöllisiä, mutta
M −1 y = x + M −1 ε = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.16) ja
˜M −1 ỹ = x + ˜M −1 ε = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 + 2 8 · 0.01)
Viimeiseen elementtiin summautuu 2 8 · 0.02 = 5.12. Vaikka ongelma on Hadamardin
mielessä hyvin asetettu, ei häiriöisellä datalla saatua ratkaisua voi pitää
hyvänä.
21