Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Jos y = y + δy, missä δy ∈ R n edustaa datan häiriötä, niin häiritystä yhtälöstä
y + δy = M(x + δx),
saadaan häiriölle yhtälö δy = M(δx). Epäyhtälön (2.2) nojalla
‖x‖ ≥ ( √ λ max ) −1 ‖y‖. Toisaalta δx = M −1 δy. Epäyhtälön (2.3) nojalla ‖δx‖ ≤
1
‖δy‖. Tarkan ratkaisun suhteellinen virheelle pätee
√
λmin(M)
‖δx‖
‖x‖ = ‖M √ −1 δy‖ λmax ‖δy‖
≤
‖x‖ λ min ‖y‖ = κ(M)‖δy‖ ‖y‖ .
Ehtoluku antaa suhteelliselle virheelle ylärajan. Kun ehtoluku on hyvin suuri
(luokkaa > 10 5 ), niin pelkät pyöristysvirheet alkavat haitata yhtälön numeerista
ratkaisua.
Esimerkki 6. Identtisen matriisin ehtoluku on 1. Esimerkissä 5 matriisien ehtoluvut
ovat
κ(M) = 8
ja
κ(˜M) = 1 2 · 28 = 128.
Esimerkki 7. Lasketaan matriisin
⎛ ⎞
11 10 14
M = ⎝12 11 −13⎠
14 13 −66
ehtoluku. Lasketaan ensin
⎛ ⎞
11 10 14
M T M = ⎝12 11 −13⎠
14 13 −66
⎞ ⎛
⎞
11 10 14 461 424 −926
⎝12 11 −13⎠ = ⎝ 424 390 −861⎠ .
14 13 −66 −926 −861 4721
T ⎛
Tämän matriisin ominaisarvot löytyvät karakteristisen polynomin
⎛
⎞
461 − λ 424 −926
p(λ) = det⎝ 424 390 − λ −861 ⎠
−926 −861 4721 − λ
nollakohdista eli
p(λ) = (461 − λ) · ((390
− λ) · (4721 − λ) − 861 2) − 424 · (424 · (4721 − λ) − 861 · 926)
= 0
−926 (424 · (−861) − (390 − λ) · (−926))
Nollakohtia on kolme: λ 1 , λ 2 ja λ 3 . Nollakohtien neliöjuuret ovat
( √ λ 1 , √ λ 2 , √ λ 3 ) ≈ (0.0006, 21.8, 71.4).
Tällöin ehtoluku on
κ(M) ≈ 71.4
0.0006 ≈ 105 .
23