Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

16 Chapitre 2
2.3.2 Conséquences, théorème de Bezout, applications
Reprenons l’algorithme qui nous a servi à déterminer le pgcd de deux nombres
sur l’exemple précédent a = 325, b = 145. Cet algorithme nous conduit aux
calculs
325 = 2 × 145 + 35
et le reste 35 s’exprime en fonction de 325 et de 145
puis
35 = 325 − 2 × 145,
145 = 4 × 35 + 5
et le reste 5 s’exprime en fonction de 145 et de 35 et par suite en fonction de
325 et de 145
5 = 145 − 4 × 35 = 9 × 145 − 4 × 325,
puis
35 = 7 × 5 + 0
et l’algorithme s’arrête car le reste est nul. Ainsi pgcd(325, 145) = 5 et de
plus on a pu exprimer ce pgcd 5 comme combinaison entière des nombres 325
et 145.
on dispose en fait du résultat suivant
Théorème 2.3.2 Si pgcd(a, b) = d, il existe deux entiers u et v tels que
ua + vb = d.
Preuve : Là encore nous supposerons que a ≥ 0 et b > 0. Le cas général
s’en déduit.
Voici un algorithme (algorithme d’Euclide étendu, adaptation de l’algorithme
précédent) qui permet de trouver explicitement un couple (u, v) qui
convient.
R0 := a; (a ≥ 0)
R1 := b; (b > 0)
U0 := 1;
U1 := 0;
V 0 := 0;
V 1 := 1;