Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

66 Chapitre 4
Pour avoir dans une table de résultats tous les nombres premiers ≤ n, on
écrit dans une table de départ et dans l’ordre habituel, tous les nombres de
2 à n. On itère jusqu’à épuisement de la table de départ l’action suivante :
on met dans la table de résultats le premier nombre qui se trouve dans la
table de départ et on supprime de cette dernière ce nombre ainsi que tous
ses multiples.
Liens avec les idéaux
Un idéal premier d’un anneau A est un idéal I distinct de A et tel que si
un produit ab d’éléments de A est dans I, alors l’un des deux éléments a ou
b est dans I.
Les idéaux premiers de Z sont l’idéal {0} et les idéaux pZ où p est premier.
Un idéal maximal d’un anneau A est un idéal M distinct de A tel que A soit
le seul idéal qui contienne strictement M. Tout idéal maximal est premier.
Les idéaux maximaux de Z sont les idéaux pZ où p est premier.
Nous renvoyons à l’annexe III pour des informations plus précises sur ces
notions.
4.3 Les classes résiduelles : Z/nZ
4.3.1 Définition
Soit n ≥ 0. Dans Z définissons la relation xRy si et seulement si x − y ∈ nZ.
Cette relation est une relation d’équivalence dans Z. Si x et y sont dans la
même classe (i.e. équivalents), nous dirons que x est congru à y modulo n
et nous noterons
x ≡ y (n).
Remarquons que si n ≥ 1, x est congru à y modulo n si et seulement si les
divisions euclidiennes de x par n et de y par n ont le même reste.
Sur l’ensemble quotient on définit une addition et une multiplication en posant
x + y = x + y
xy = xy