Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 59
4.2.3 La division dans Z.
Définition et propriétés élémentaires
Définition 4.2.1 Soient a et b deux éléments de Z. Nous dirons que a est
divisible par b s’il existe un élément q dans Z tel que a = bq. Dans ce cas
nous noterons b|a.
Remarquons que si a = 0 et si b divise a alors b = 0 et q est unique. On dira
que q est le quotient exact de a par b et on le notera a/b. Dans ce cas a/b
divise aussi a.
Nous pouvons remarquer directement un certain nombre de propriétés élémentaires
qui dérivent simplement de la définition.
Proposition 4.2.1
1) a|a.
2) c|b et b|a implique c|a.
3) a|b et b|a implique |a| = |b|.
(On a presque une relation d’ordre ; si on restreint la relation à N on a une
relation d’ordre).
4) c|a et c|b implique c|(ua + vb).
5) ac|ab et a = 0 implique c|b.
6) 1|a.
7) a|0.
8) 0|a implique a = 0.
9) b|a et a = 0 implique |b| ≤ |a|.
La division Euclidienne dans Z.
Soit b un nombre entier distinct de 0. Pour tout entier k définissons l’intervalle
Ik par
Ik = [kb, kb + |b|[= {x ∈ Z | kb ≤ x < kb + |b|}.
En utilisant le fait que tout ensemble majoré de Z a un plus grand élément
on peut montrer que les intervalles Ik constituent une partition de Z et aussi
que pour tout entier a ∈ Z il existe un entier q unique appelé quotient
euclidien de a par b tel que a soit dans l’intervalle Iq. On peut donc écrire
a sous la forme