Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 65
Preuve : Supposons que le nombre premier p ne divise pas l’entier a. Les
seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p. Donc le seul diviseur commun à p et
a est 1.
Supposons que le nombre premier p divise le produit ab. Si p ne divise pas a
alors p est premier avec a, donc d’aprés le lemme d’Euclide il divise b. Pour
un produit de plus de deux entiers on raisonne par récurrence.
Décomposition en produit de nombres premiers
Théorème 4.2.9 Tout entier n > 1 s’écrit de manière unique sous la forme
n =
k
i=1
où les αi sont des entiers ≥ 1 et où les pi sont des nombres premiers distincts
tels que pi < pi+1.
Preuve : Nous avons déjà vu précédemment que la décomposition en
nombre premier est toujours possible. Il nous reste à montrer l’unicité. Le
Résultat est vrai pour 2. Supposons le vrai pour tout entier < n. Supposons
alors que
n = p1 · · · pu = q1 · · · qv
alors p1 divise q1 · · · qv, et donc divise au moins l’un des qi, par exemple q1 ;
comme q1 est premier, p1 = q1. Il s’en suit que toute décomposition de n est
de la forme p1a. En appliquant l’hypothèse de récurrence à a on obtient le
résultat voulu.
Aspects algorithmiques
La détermination des nombres premiers est un problème important et difficile.
Plus précisément il y a plusieurs problèmes distincts. Tout d’abord
déterminer les nombres premiers plus petits qu’un nombre donné, c’est-àdire
construire une table ; ensuite dire si un nombre donné est ou n’est
pas premier ; enfin, déterminer la décomposition en nombres premiers d’un
nombre donné. Tous ces problèmes algorithmiques ont donné lieu à de longs
développements et ne sont que partiellement résolus. Nous donnons ici un algorithme
élémentaire pour construire des tables de nombres premiers, appelé
le crible d’Ératosthène.
p αi
i