Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

42 Chapitre 3
Passage d’une écriture décimale à une écriture binaire : Dans
l’algorithme décrit, Q mod 2 est le reste de la division euclidienne de Q par
2 et Q div 2 en est le quotient.
On peut faire tourner l’algorithme sur un exemple :
Q I A[I]
a = 19 0 1
9 1 1
4 2 0
2 3 0
1 4 1
0
Ainsi l’entier (19)10 s’écrit (10011)2 en base 2.
Quant à l’algorithme, on constate qu’au début on a
donc
Q = a, I − 1 = −1,
2 I I−1
Q + A[j]2 j = a.
Si cette dernière relation est vraie en entrée de boucle, puisque
j=0
Q = 2 ∗ (Q div 2) + (Q mod 2)
alors après la première instruction de la boucle
a = 2 I+1 ∗ (Q div 2) + A[I]2 I
I−1
A[j]2 j
et puisqu’on met Q div 2 dans Q et I + 1 dans I, la relation est encore vraie
en sortie de boucle. Or en sortie de boucle Q = 0, donc I−1 j=0 A[j]2j = a, ce
qui prouve que le tableau A contient le développement binaire de a.
Pour les petits nombres on peut chercher la plus grande puissance de 2 qui
soit ≤ a et soustraire cette puissance à a. On réitère le procédé jusqu’à un
nombre nul.
Exemple : a = 87.
j=0