Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 73
Preuve : Il suffit d’introduire la fonction g définie par
g(n) =
φ(d).
d|n
Alors g(n) = n et le théorème d’inversion de Möbius nous donne le résultat.
Théorème 4.3.11 Si n ≥ 1 et si a est premier avec n alors
a φ(n) ≡ 1 (n).
Preuve : L’ensemble des éléments inversibles de Z/nZ est un groupe E pour
la multiplication. Si a est premier avec n la classe de a est un élément de E.
Les puissances de a engendrent un sous groupe cyclique de E dont l’ordre r
divise l’ordre de E c’est-à-dire φ(n). Or on sait que a r ≡ 1 (n), donc on a
aussi a φ(n) ≡ 1 (n).
Remarque : En particulier si a est premier avec n alors a est inversible
dans Z/nZ et a −1 = a φ(n)−1 dans Z/nZ.
4.4 Equations ax+by =c
Soient a, b, c des entiers. Nous cherchons tous les couples d’entiers (x, y) tels
que
ax + by = c.
Eliminons tout d’abord les cas triviaux où l’un au moins des deux nombres
a et b est nul.
Si a = b = 0 alors si c = 0 tout couple (x, y) est solution, sinon il n’y a pas
de solution.
Si a = 0 et b = 0, si b divise c il y a une solution, sinon il n’y en a pas.
Maintenant supposons a = 0 et b = 0.
1) Supposons a et b premiers entre eux.
Il s’agit donc de trouver des couples (x, y) tels que ax + by = c. On sait
que ceci est possible d’après le théorème de Bezout. Plus précisément en se
plaçant dans Z/bZ, on doit résoudre
ax = c.