Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

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4 3.2.1 Clés de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Représentation en machine des entiers . . . . . . . . . 34 3.2.3 Répartitions de termes d’une suite dans un tableau . . 36 3.3 Quelques exercices autour du chiffrement affine . . . . . . . . 37 3.3.1 Principe du chiffrement affine . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 Les clés - Les fonctions de chiffrement . . . . . . . . . 37 3.3.3 Fonctions de déchiffrement . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.4 Cryptanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Une idée de la cryptographie à clé publique : Kid-RSA . . . . 39 3.5 Exemples sur les codes correcteurs d’erreurs . . . . . . . . . . 39 3.5.1 Un code correcteur de Hamming . . . . . . . . . . . . . 39 3.5.2 ∗∗∗ Impossibilité de réaliser une correction du type précédent uniquement avec les chiffres décimaux . . . . . . . . . . 40 3.6 Commentaires et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.1 Les changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.2 La divisibilité, les congruences . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.3 Le chiffrement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.4 Une idée de la cryptographie à clé publique : Kid-RSA 53 3.6.5 Exemples sur les codes correcteurs d’erreurs . . . . . . 54 4 Compléments d’arithmétique élémentaire 57 4.1 Introduction - Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Etude élémentaire de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Ensembles majorés et minorés de Z. . . . . . . . . . . . 57 4.2.2 Quelques fonctions élémentaires liées aux entiers . . . . 58 4.2.3 La division dans Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.4 La divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Les classes résiduelles : Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2 Idéaux et noyaux d’homomorphismes . . . . . . . . . . 67 4.3.3 Application à la représentation des entiers en machine . 69 4.3.4 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.5 La fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Equations ax+by =c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5 Annexe I : Fonctions de Möbius - Formule de Rota . . . . . . 75 4.5.1 Chaînes dans les ensembles finis ordonnés . . . . . . . 75 4.5.2 Fonction de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5.3 Formule sommatoire de Rota . . . . . . . . . . . . . . 77 4.5.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5.5 Aspect fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.6 Produit d’ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Annexe II : Fonctions définies sur Z/nZ . . . . . . . . . . . . 86 4.6.1 L’espace des fonctions définies sur Z/nZ . . . . . . . . 86 4.6.2 Les caractères de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.6.3 Produit scalaire hermitien sur F . . . . . . . . . . . . . 86 4.6.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6.5 Matrices associées aux objets précédents . . . . . . . . 87 4.6.6 Fonctions de F et polynômes formels . . . . . . . . . . 88 4.6.7 Convolution et filtres stationnaires . . . . . . . . . . . 88 4.7 Annexe III : Définitions de base de l’algèbre commutative . . . 89 4.7.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7.2 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7.3 Sous Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7.4 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.5 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.6 Factorisation des homomorphismes . . . . . . . . . . . 90 4.7.7 Diviseurs de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7.8 Idéaux premiers - Idéaux maximaux . . . . . . . . . . 91 4.7.9 Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7.10 Opérations sur les idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7.11 Localisation d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7.12 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5
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