Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

20 Chapitre 2
donc k1 divise βk2, et étant premier avec k2 il divise β. Si bien que
m = uk1k2d.
Ainsi tout multiple commun de a et de b est de la forme uk1k2d c’est-àdire
uab/pgcd(a, b). Réciproquement tout nombre de cette forme est à la fois
multiple de a et de b (uk1k2d = uk2a = uk1b). En particulier le plus petit
commun multiple > 0 de a et b est obtenu pour u = 1 ou u = −1 suivant les
signes de a et b, c’est |ab|/pgcd(a, b).
Théorème 2.3.5 Si a et b sont deux nombres entiers, il existe un plus petit
entier ≥ 0 qui est multiple commun de a et de b. Cet entier sera noté
ppcm(a, b) et appelé le plus petit commun multiple de a et b. Si a = 0
ou b = 0 alors ppcm(a, b) = 0. Sinon, ppcm(a, b) = |ab|/pgcd(a, b).
Les multiples communs de a et b sont les multiples de ppcm(a, b).
Remarque : ab est un multiple commun de a et b. Hormis le cas trivial
où l’un des deux nombres est nul, peut-il se faire que |ab| = ppcm(a, b) ? Du
fait que dans ce cas ppcm(a, b) = |ab|/pgcd(a, b), on peut dire que si ab = 0,
ppcm(a, b) = |ab| si et seulement si a et b sont premiers entre eux.
2.4 Les nombres premiers
2.4.1 Définition et premières propriétés
Définition 2.4.1 Un nombre premier dans Z est un entier n > 1 dont les
seuls diviseurs positifs sont 1 et n.
Théorème 2.4.1 Tout entier n > 1 est soit un nombre premier soit un
produit de nombres premiers.
Preuve : Le résultat est vrai pour 2. Supposons le vrai pour tout entier
< n. Si n est non premier il a un diviseur positif d > 1, d = n. Donc n = ab
avec 2 ≤ a < n et 2 ≤ b < n. En appliquant l’hypothèse de récurrence à a et
b on obtient le théorème.
Théorème 2.4.2 Le sous ensemble constitué par les nombres premiers est
infini.