Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Cours en terminale 17
tant que R1 > 0 faire
début
Q := Quotient Division(R0, R1) ;
R := Reste Division(R0, R1) ;
U := U0 − Q ∗ U1 ;
V := V 0 − Q ∗ V 1 ;
R0 := R1 ;
R1 := R ;
U0 := U1 ;
U1 := U ;
V 0 := V 1 ;
V 1 := V ;
fin ;
En sortie R0 = pgcd(a, b), U0 = u et V 0 = v. En effet, on constate que lors
de l’initialisation
U0a + V 0b = R0
et
U1a + V 1b = R1.
De plus si à l’entrée de la boucle on a ces relations alors on les a aussi à la
sortie de la boucle. La première est facile a vérifier car pendant la boucle la
nouvelle valeur de U0 est l’ancienne valeur de U1, la nouvelle valeur de V0
est l’ancienne valeur de V1, la nouvelle valeur de R0 est l’ancienne valeur de
R1. Quand à la seconde relation il suffit de se référer aux valeurs de U ,V ,R
calculées dans la boucle pour voir que Ua + V b = aU0 + bV 0 − Q ∗ (aU1 +
bV 1) = R0 − Q ∗ R1 = R (constater ici qu’on a travaillé sur les anciennes
valeurs de U0,U1,V0,V1). Compte tenu des affectations qui suivent on obtient
la relation attendue. Cet algorithme se termine puisque le contenu positif ou
nul de R1 décroît strictement.
Théorème 2.3.3 (Théorème de Bezout) Deux nombres entiers a et b sont
premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers u et v tels que au +
bv = 1.
Preuve : L’existence des nombres u et v lorsque a et b sont premiers entre
eux découle immédiatement du théorème 2.3.2.
Réciproquement s’il existe u et v tels que au + bv = 1 alors tout diviseur de
a et b divise 1, ce qui montre que a et b sont premiers entre eux.