Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

68 Chapitre 4
Factorisation des homomorphismes
Théorème 4.3.4 Soit f un homomorphisme surjectif de Z sur un anneau
B. Il existe une application bijective g et une seule de Z/Ker f sur B telle
que f = g ◦ s où s est la surjection canonique de Z sur Z/Ker f.
Preuve : Si g existe elle est nécessairement définie par g(x) = f(x). Une
telle définition est cohérente car si x et y sont dans la même classe alors
f(x) = f(y). L’application g est surjective à cause de la surjectivité de f, de
plus Ker g = {0} donc g est aussi injective.
Structure de corps
f
Z
✲
B
❄
A/Ker f
✚ ✚✚❃
s g
On peut se demander si l’anneau Z/nZ est un corps. La réponse est donnée
par le théorème suivant
Théorème 4.3.5 L’anneau Z/nZ (avec n ≥ 0) est un corps si et seulement
si n est premier.
Preuve : Si n = 0 ou si n = 1, Z/nZ n’est pas un corps. Si n ≥ 2 n’est pas
premier il existe deux éléments a et b tels que 2 ≤ a ≤ n − 1, 2 ≤ b ≤ n − 1
et n = ab donc tels que ab ≡ 0 (n). Ainsi Z/nZ a des diviseurs de 0 et donc
n’est pas un corps. Si n est premier et si 1 ≤ a ≤ n − 1, alors a est premier
avec n et on peut trouver u et v tels que au + nv = 1. En passant aux classes
on conclut que au ≡ 1 (n), et donc que a est inversible dans Z/nZ.
En fait on a redémontré ici, dans un cas particulier, le théorème énoncé dans
l’annexe III, qui dit que le quotient d’un anneau par un idéal est un corps si
et seulement si cet idéal est maximal.
Remarque sur la structure de groupe de Z/nZ
Les groupes finis commutatifs ont une description très simple :