Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 71
0 et ab. Une autre possibilité consiste à calculer par l’algorithme d’Euclide
étendu des nombres s et t tels que sa + tb = 1. On a alors
et
sa ≡ 1 (b),
tb ≡ 1 (a)
x0 ≡ sav + tbu (ab).
4.3.5 La fonction indicatrice d’Euler
Soit n un entier ≥ 1. Nous étudions le sous ensemble En de Z/nZ constitué
des éléments inversibles. En est un groupe pour la multiplication.
Proposition 4.3.1 Les éléments de En sont les classes des m tels que 0 <
m ≤ n − 1 et m premier avec n.
Preuve : Désignons chaque classe par son unique représentant m tel que
0 ≤ m ≤ n−1. Alors m est inversible dans Z/nZ si et seulement s’il existe un
entier u tel que mu ≡ 1 (n), ce qui s’exprime encore en disant qu’il existe u
et v tels que mu + nv = 1. Donc m est inversible dans Z/nZ si et seulement
si m est premier avec n.
La fonction indicatrice d’Euler est la fonction arithmétique φ qui à tout
entier n ∈ N ∗ fait correspondre le nombre d’éléments de En.
Il résulte immédiatement du théorème précédent que :
φ(1) = 1,
Si p est premier, alors φ(p) = p − 1.
Proposition 4.3.2 Si p est un nombre premier et α un entier ≥ 1 alors
φ(p α ) = (p − 1)p α−1 .
Preuve : Il nous faut chercher le nombre d’entiers x tels que 1 ≤ x ≤
p α−1 qui sont premiers avec p α−1 , c’est-à- dire avec p. Les entiers qui ne
conviennent pas sont les multiples de p qui se trouvent dans l’intervalle
considéré : p, 2p, · · · , p α−1 p. Il y en a exactement p α−1 . Ceux qui conviennent
sont les p α − p α−1 restants.