Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Activités 43
a = 2 6 + 23, 23 = 2 4 + 7, 7 = 2 2 + 3, 3 = 2 + 1
Donc
a = 1 × 2 6 + 0 × 2 5 + 1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 + 1 = (1010111)2.
Utilisation de la base 2 pour accélérer le calcul de x n .
En calculant directement x.x · · · .x on fait n−1 multiplications. Si on décompose
n en base 2 on obtient
Alors
n = ak2 k + · · · + a12 + a0.
x n = x ak2 k +···+a12+a0 = x a0 × (x 2 ) a1 × · · · × ((x 2 k−1
) 2 ) ak .
Il y a donc au maximum k − 1 carrés à effectuer de proche en proche et au
maximum k − 1 autres produits, donc au plus 2(k − 1) multiplications.
Par exemple si n = 15 alors on calcule x 2 puis x 4 = (x 2 ) 2 puis x 8 = (x 4 ) 2
et enfin x 15 = x × x 2 × x 4 × x 8 , soit 6 multiplications. Remarquons qu’une
décomposition astucieuse de 15 en 6 + 9 permet de ne faire que 5 multiplications.
Passage d’une écriture binaire à une écriture décimale
Si n = ak2 k +· · ·+a0, il suffit de calculer cette somme de manière ”habituelle”
pour avoir le développement décimal. Ce qui nous permet d’avoir le résultat,
c’est bien sûr qu’on utilise les notations et les tables d’opérations du calcul
décimal.
Le calcul peut être fait de manière astucieuse (surtout si ce calcul doit être
programmé sur une machine) en utilisant l’algorithme de Hörner proposé,
qui consiste à écrire le calcul sous la forme
n = (· · · ((an × 2 + an−1) × 2 + an−2) · · ·) × 2 + a0.
Par exemple si n = (10011)2 alors on calcule
n = ((((1 × 2) + 0) × 2 + 0) × 2 + 1) × 2 + 1,
et comme on calcule en base dix, on obtient le résultat 19 en base dix. Quand
on calcule ”à la main” sur des petits nombres, il est plus facile d’additionner
directement les puissances de 2. Ainsi, dans notre exemple, n = 2 4 + 2 + 1 =
19.