Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Activités 53
Cryptanalyse
et
a) On a les deux conditions
8a + b = 20 + 26k1
12a + b = 2 + 26k2.
On en déduit que 4a = −18+26(k2−k1) ou encore que 4a = −18+26+26(k2−
k1 − 1), ce qui donne 4a + 26k = 8, puis 2a + 13k = 4. On a nécessairement
k pair, et k ≤ 0. Essayons k = 0 on obtient a = 2 et b = 4, et cette solution
ne convient pas car 2 n’est pas premier avec 26. Essayons k = −2, on obtient
a = 15 donc b = 4 et cette solution convient. À partir de k = −4 on obtient
un a trop grand.
et
b) On a les deux conditions
15a + b = 17 + 26k1
2a + b = 4 + 26k2.
On en déduit que 13a = 13 + 26(k1 − k2) ou encore a = 1 + 2k.
Les solutions admissibles sont a = 1, b = 2; a = 3, b = 24; a = 5, b = 20; a =
7, b = 16; a = 9, b = 12; a = 11, b = 8; a = 15, b = 0; a = 17, b = 22; a =
19, b = 18; a = 21, b = 14; a = 23, b = 10; a = 25, b = 6. Pour choisir la
bonne clé il faut faire des essais jusqu’à obtenir un texte compréhensible.
3.6.4 Une idée de la cryptographie à clé publique :
Kid-RSA
a) ed − 1 = (a ′ M + a)(b ′ M + b) = a ′ b ′ M 2 + M(a ′ b + ab ′ ) + ab − 1 =
M(a ′ b ′ M + a ′ b + ab ′ + 1). Donc n = a ′ b ′ M + a ′ b + ab ′ + 1. Par suite si les
nombres a, a ′ , b, b ′ sont geq3 alors M ≥ 8 et n ≥ 91.
Il est important que n soit > 25 car comme on travaille modulo n si on veut
avoir une chance que deux messages m et m ′ distincts (0 ≤ m, m ′ ≤ 25)
soient toujours chiffrés différemment il est nécessaire que cette condition soit
réalisée.
Remarquons que nM − ed = 1 et donc que tout nombre qui divise n et e
divise 1. Donc e et n sont premiers entre eux.