Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 61
pour que b divise a il faut et il suffit que l’ensemble des multiples
de a soit inclus dans l’ensemble des multiples de b.
Ainsi la relation de divisibilité s’exprime simplement à travers la relation
d’inclusion entre certaines parties de Z. Ce sont ces parties (ensembles de
multiples) que nous allons donc étudier dans un premier temps.
Idéaux et ensembles de multiples
Soit a ∈ Z. Notons aZ l’ensemble des multiples de a. Il est très facile de
vérifier que l’ensemble aZ possède les propriétés suivantes :
• aZ est un sous groupe de Z ;
• le produit d’un élément quelconque de aZ par un élément quelconque de
Z appartient à aZ.
Ces deux propriétés définissent ce qu’on appelle un idéal de Z.
Ainsi, dans Z, tout ensemble de multiples est un idéal de Z.
Réciproquement, tout idéal de Z est l’ensemble des multiples d’un élément
a de Z. En effet, Soit I un idéal de Z. Si I = {0} le résultat est bien vrai
avec a = 0. Sinon, il existe dans I un plus petit entier strictement positif a.
Alors, si b ∈ I, par division euclidienne on obtient b = aq + r avec 0 ≤ r < a.
Comme a et b sont dans I, il en est de même pour r ; donc en vertu du
choix de a on conclut r = 0, ce qui prouve le résultat. En conclusion on a le
théorème
Théorème 4.2.1 la classe des idéaux de Z est la classe des sous ensembles
de Z de la forme aZ. (On dit que dans Z tout idéal est principal ou encore
que Z est principal).
Remarque : La démonstration du théorème 4.2.1 est importante car elle
reflète une démarche très fréquente dans ce type de situations.
Si I est un idéal il existe un et un seul a ≥ 0 tel que I = aZ.
Conséquences, théorème de Bezout, applications
Nous nous intéressons maintenant à la somme de deux idéaux I1 = aZ et
I2 = bZ
I1 + I2 = {i = i1 + i2 | i1 ∈ I1, i2 ∈ I2} = {au + bv | u ∈ Z, v ∈ Z}
ainsi qu’à leur intersection I1 ∩ I2.