Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

Compléments d’arithmétique 91
f
A
✲
B
❄
A/Ker(f)
✚ ✚✚❃
s g
4.7.7 Diviseurs de zéro
Un diviseur de zéro est un élément x non nul tel qu’il existe un y non nul
réalisant xy=0.
Un anneau sans diviseurs de zéro est un anneau intègre.
Une unité est un élément x inversible (il existe y tel que xy=1). L’ensemble
des unités est un groupe multiplicatif.
Un élément x est nilpotent s’il existe un entier n > 0 tel que x n = 0. Dans
ce cas x est un diviseur de zéro.
Un corps est un anneau dans lequel 1 = 0 et tout élément non nul est
inversible.
4.7.8 Idéaux premiers - Idéaux maximaux
Un idéal premier dans A est un idéal P différent de A vérifiant
xy ∈ P =⇒ x ∈ P ou y ∈ P.
Un idéal maximal est un idéal M différent de A tel que pour tout idéal I
M ⊂ I =⇒ I = M ou I = A.
On dispose des deux résultats suivants
P premier ⇐⇒ A/P est integre
M maximal ⇐⇒ A/M est un corps.
En conséquence tout idéal maximal est premier.
• Tout anneau = {0} a un idéal maximal.
• Tout idéal I = A est contenu dans un idéal maximal.
• Tout élément non unitaire de A est contenu dans un idéal maximal.