Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

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2 1. Introduction L’une des hypothèses en vibrations aléatoires est que la structure est déterministe, sa géométrie et les caractéristiques des matériaux qui la constituent sont donnés. Elle est également supposée linéaire. Sa réponse à une excitation aléatoire est prédite à partir d’un modèle numérique souvent réalisé en utilisant la méthode des éléments finis. La difficulté majeure de l’analyse d’une structure soumise à des excitations aléatoires se situe dans la définition même de l’excitation physique qui agit sur celle-ci. Cette excitation doit être définie afin d’être compatible avec la modélisation par éléments finis. Elle peut être appliquée soit aux supports (excitation de type sismique) soit à des noeuds du maillage (excitation de type force ponctuelle ou champs de pressions). Dans la théorie classique des vibrations aléatoires, les excitations sont supposées gaussiennes. Cette hypothèse est souvent justifiée par le théorème de la limite centrale qui stipule qu’une variable aléatoire résultant d’une superposition d’un grand nombre de variables élémentaires statistiquement indépendantes tend à être gaussienne, quelles que soient les distributions des variables élémentaires. De tels processus sont entièrement caractérisés par leurs propriétés statistiques du deuxième ordre, c’est-à-dire par leur moyenne et par leur fonction d’autocorrélation ou encore leur densité spectrale de puissance. La densité spectrale de puissance donne l’information sur le contenu fréquentiel du signal ainsi que sur la variance du processus. Pour les systèmes linéaires, la relation entre l’entrée, c’est-à-dire l’excitation, et la sortie, c’est-à-dire la réponse de la structure (déplacements, déformations et contraintes) est calculée pour les statistiques des deux premiers ordres. En effet, la structure étant linéaire, sa réponse à une excitation gaussienne est également gaussienne. Les relations entrée-sortie sont alors régies par les équations différentielles traditionnelles de la dynamique des structures, voir Géradin & Rixen [7]. Dans la plupart des cas, les structures possèdent des modes normaux, ce qui réduit la résolution numérique des équations différentielles car le mouvement de telles structures peut être décomposé en celui de ses différents modes propres, qui se comportent comme autant d’oscillateurs à un degré de liberté. Dans le cas d’une analyse temporelle, la relation entre l’entrée et la sortie s’exprime par une intégrale de convolution, caractéristique d’un système linéaire. Par conséquent, le calcul de la réponse de la structure dans le domaine temporel revient à intégrer par pas de temps cette intégrale de convolution, ce qui rend l’analyse très coûteuse en temps de calcul. Par contre, dans le domaine de Fourier, l’opération de convolution correspond à une simple multiplication. Par conséquent, la réponse de la structure à une excitation aléatoire est calculée beaucoup plus rapidement dans le domaine spectral. Les excitations, comme les réponses, sont alors caractérisées, non pas par des séquences temporelles, mais par des densités spectrales de puissances (cf. Fig. 1.1). Dans la plupart des codes de calcul qui possèdent un module d’analyse spectrale (par exemple SAMCEF, MSC NASTRAN, STARDYNE ou encore ANSYS), les types d’excitations principaux qui peuvent être appliqués sont des déplacements, des accélérations ou des forces. Ces excitations peuvent être multiples, c’est-à-dire appliquées à différents points de la structure et donc éventuellement corrélées ; prenons par exemple le cas d’un véhicule se déplaçant sur une route rugueuse à une certaine vitesse. L’excitation à laquelle est soumis l’essieu avant est identique à celle ap-
1 Introduction aux vibrations aléatoires 3 pliquée à l’essieu arrière, mais les deux excitations sont dites spatialement corrélées, il existe en effet un délai entre l’accélération vue par les deux essieux. Ce délai dépend de la distance entre les deux essieux et de la vitesse du véhicule. Les excitations étant modélisées, l’analyse spectrale consiste donc à calculer les densités spectrales de puissances des différentes grandeurs comme les déplacements, les accélérations, les déformations ou encore les contraintes aux noeuds du maillage ou moyennées sur un élément fini. Fig. 1.1 – Analyse spectrale d’une structure linéaire Le but ultime de ce calcul est d’étudier la fiablilité et l’intégrité des structures. Plus précisément, l’objectif de l’ingénieur est de prédire les risques de ruine et de déterminer si la structure pourra endurer des chargements donnés pendant la durée de service prévue. En vibrations aléatoires, différents modes de ruine peuvent se ramener à l’étude du problème dit du premier passage. Ce problème consiste à déterminer la probabilité que la réponse de la structure ne dépasse pas un certain seuil pendant une durée d’observation donnée. A titre d’exemple nous pouvons citer le dépassement de la limite d’élasticité par une contrainte, le dépassement d’une déformation excessive, le dépassement d’une force de compression provoquant l’instabilité par flambement etc. L’autre mode de ruine très fréquemment rencontré dans l’étude des structures soumises à des vibrations aléatoires est la fissuration en fatigue. Ce mode d’endommagement résulte des contraintes aléatoires induites par les vibrations dans la structure. Cette thèse a pour but d’améliorer les méthodes de prédictions de durée de vie des structures exposées à ce dernier type d’endommagement.
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