Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

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16 2. Fatigue uniaxiale aléatoire X(ω, T ) = +T/2 −T/2 x(t)e −jωt dt (2.6) Numériquement, le résultat de cette opération est un vecteur de valeurs complexes où chaque valeur représente l’amplitude et la phase d’une sinusoïde particulière de fréquence ω. L’amplitude de cette sinusoïde est donnée par le module de cette valeur complexe alors que la phase est donnée par son argument. Pour générer un signal à partir du domaine fréquentiel, la transformée de Fourier inverse est appliquée au vecteur des valeurs complexes donné fréquence par fréquence. Le signal obtenu est alors identique au signal de départ. En pratique, la PSD représente une densité normalisée, c’est-à-dire qu’elle donne en ordonnée la moyenne quadratique de l’amplitude de chaque sinusoïde en fonction de la fréquence ω. Elle est définie comme étant la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation du signal : Φxx(ω) = +∞ −∞ R(τ)e −jωτ dτ (2.7) où R(τ) = E[x(t)x(t + τ)]. En effet, il est possible de démontrer (voir Papoulis [25]) que si alors +∞ −∞ lim T →∞ |τE[x(t)x(t + τ]|dτ < ∞ (2.8) 1 2πT E[|X(ω, T )|2 ] = Φxx(ω) (2.9) En supposant que x(t) est de moyenne nulle, la fonction d’autocorrélation est alors définie par : R(τ) = +∞ −∞ Φxx(ω)e jωτ dω (2.10) Les Eqs. 2.7 et 2.10 sont connues sous le nom de théorème de Wiener-Khintchine. A τ = 0, l’éq. 2.10 devient : R(0) = E[x 2 (t)] = +∞ −∞ Φxx(ω)e jωτ dω (2.11)
2 Domaine fréquentiel 17 ce qui montre bien que la PSD est une décomposition fréquentielle de la moyenne quadratique du processus. La représentation sous forme de PSD ne contient pas d’information sur la phase, seule la partie réelle est décrite. Pour générer un signal à partir d’une PSD, il est donc nécessaire de faire des hypothèses sur la phase, ce qui permet de générer différents échantillons temporels statistiquement équivalents. Dans le cas des signaux ergodiques stationnaires gaussiens, la phase est alors uniformément distribuée entre −π et +π radians. L’algorithme généralement utilisé pour la génération artificielle de signaux temporels à partir d’une PSD donnée est basé sur la transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform désignée par FFT) et sur la méthode de Monte-Carlo pour le tirage de nombres aléatoires utilisés pour la phase. Ce type d’algorithme est couramment décrit dans la littérature, voir par exemple Wirshing et al. [40], Preumont [27]. 2.2.2 Propriétés statistiques des signaux aléatoires Ce paragraphe a pour but de présenter simplement les principaux instruments utilisés dans le cadre d’une analyse en fatigue dans le domaine fréquentiel. Moments spectraux Le moment spectral mi d’ordre i d’un processus aléatoire stationnaire x(t) de PSD Φxx(ω) est défini comme suit : mi = +∞ −∞ | ω i | Φxx(ω)dω (2.12) Pour un processus de moyenne nulle, nous avons les relations suivantes : σ 2 x = m0 = σ 2 ˙x = m2 = σ 2 ¨x = m4 = +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ Φxx(ω)dω (2.13) ω 2 Φxx(ω)dω (2.14) ω 4 Φxx(ω)dω (2.15) où σ 2 x = E[x(t) 2 ] est la variance du processus x(t). Si x(t) représente un déplacement, m2 représente la variance de la vitesse, et m4 la variance de l’accélération. Franchissements de seuil A partir du calcul de ces moments spectraux, Rice [28] a démontré que, pour un processus stationnaire gaussien de moyenne nulle x(t), le nombre moyen par unité de temps de franchissements à pente positive d’un seuil de niveau b, noté ν + b , peut être exprimé par :
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