Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

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24 2. Fatigue uniaxiale aléatoire b(β) = 1.587β − 2.323 avec ɛ = 1 − γ 2 . Un modèle plus raffiné a été proposé ensuite par Ortiz & Chen [24]. Poursuivant la même idée, ils ont proposé le facteur de correction suivant : λOC = δβ γ où δ = m2m 2/β m0m (2+2/β) (2.32) Chacun de ces facteurs représente, dans un certain nombre de cas seulement, une amélioration par rapport à l’approximation de Rayleigh et dégénère vers cette approximation de Rayleigh dans le cas d’un processus en bande étroite. 2.3.3 Méthode du ”Single Moment” En 1990, Lutes & Larsen [20] abandonnent l’idée de facteur de correction et proposent une formulation empirique qui fait appel à un seul moment spectral, qui est un moment singulier d’ordre fractionnaire 2/β. Suite à de très nombreuses simulations rainflow par la méthode de Monte-Carlo, ils préconisent l’utilisation de l’équation suivante : −1 2β/2 E[D] = C 2π Γ(1 + β/2)(m2/β) β/2 (2.33) D’après l’étude réalisée ensuite par les mêmes auteurs, Larsen & Lutes [17], étude dans laquelle la méthode du ”single moment” est comparée à l’approximation de Rayleigh, au modèle de Wirshing et Light (éq. (2.31)) ainsi qu’à celui de Ortiz et Chen (éq. (2.32)), la méthode du ”single moment” est celle dont la validité est la plus générale par rapport aux simulations rainflow. Elle donne des résultats très satisfaisants même si elle est parfois moins performante que l’une des méthodes précédentes dans quelques cas particuliers. L’autre avantage de celle-ci est de ne faire intervenir que le moment spectral d’ordre fractionnaire : m 2/β. 2.4 Simulations de Monte-Carlo Evidemment, le dommage DT résultant d’un chargement aléatoire appliqué pendant une période T est aussi une variable aléatoire. Comme nous l’avons vu dans les paragraphes précédents, les méthodes spectrales permettent d’en calculer directement l’espérance mathématique par unité de temps E[D]. Pour l’ensemble de la séquence nous obtenons alors E[DT ] = T ×E[D]. Par contre, pour estimer E[DT ] en appliquant une méthode temporelle, il est nécessaire de générer un grand nombre de réalisations statistiquement indépendantes de la contrainte aléatoire à l’aide de l’algorithme de la FFT et de la méthode de Monte-Carlo. D’une simulation à l’autre la valeur du dommage DT varie. Ces simulations dites de Monte-Carlo permettent donc d’estimer l’espérance mathématique du dommage E[DT ] à partir d’un échantillon représentatif de valeurs de DT .
2 Simulations de Monte-Carlo 25 2.4.1 Comparaisons entre simulations rainflow et méthodes spectrales Afin de vérifier les résultats présentés dans la littérature, l’approximation de Rayleigh, qui est historiquement la première méthode spectrale, et la méthode du ”Single Moment”, qui semble être la méthode la plus prometteuse actuellement, ont été implémentées. Ces deux méthodes ont été appliquées à différentes formes de spectres et pour des processus de largeur de bande variable. D’autre part, des simulations de Monte-Carlo de la contraintes ont été réalisées à partir de ces mêmes spectres. Le dommage DT a ensuite été estimé pour chaque réalisation en utilisant le comptage rainflow des cycles et la loi de cumul linéaire du dommage. Notre étude nous permettra donc bien d’apprécier les performances des différentes méthodes spectrales proposées dans la littérature en les comparant aux simulations rainflow. Trois formes spectrales ont été considérées : Fig. 2.8 – Formes spectrales utilisées pour les simulations : (a) oscillateur linéaire, (b) spectre bimodal, (c) processus idéal passe bande – la réponse d’un oscillateur à un degré de liberté (d.d.l.) à un bruit blanc gaussien (Fig. 2.8.a) ;
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