Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

2 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD 33
processus des extrema devient alors un processus discret. Si njk représente le nombre
de transitions arrivant à un extremum de niveau k partant d’un extremum de niveau
j, la probabilité conditionnelle tjk d’observer une transition vers un niveau k sachant
que l’extremum précédent est de niveau j peut s’écrire :
tjk = njk/
M
m=1
njm
(2.39)
Le nombre de transitions peut être observé sur une réalisation du processus s(t), mais
également être déterminé théoriquement à partir d’une PSD, comme nous le verrons
par la suite. La matrice T = tjk peut être divisée en deux matrices triangulaires, la
matrice triangulaire supérieure U = ujk et la matrice triangulaire inférieure D = djk
définies par :
U = ujk = P (Mn = k|mn−1 = j) D = djk = P (mn = k|Mn−1 = j) (2.40)
où l’indice n est le rang de l’extrema.
Selon la théorie des chaînes de Markov à un pas de mémoire, que suit le processus
des extrema de s(t), la probablilité conditionnelle de transition vers un extremum de
niveau k sachant que le précédent est au niveau j est indépendante des niveaux des
extrema précédents. Il est alors possible de déterminer par manipulations matricielles
sur U et D, la probabilité d’observer un cycle rainflow (k, j) d’un maximum de niveau
k vers un minimum de niveau j. Selon la définition illustrée Fig. 2.15, elle est égale à la
probabilité d’observer une transition, à droite, d’un maximum de niveau k au x-ième
maximum de niveau supérieur à k tel que le plus petit minimum intermédiaire est au
niveau j, alors qu’à gauche le plus petit minimum situé entre le précédent maximum
de niveau supérieur à k et le maximum considéré est inférieur à j. Il est également
possible de calculer la configuration inverse à savoir le cas où m rfc = j est à gauche du
maximum considéré, la somme des deux donnant une matrice de probabilité rainflow.
Cette démarche et les calculs matriciels correspondants sont par exemple développés
par Olagnon [23].
La validité de cette méthode de Markov à partir d’une matrice de transition observée
sur des historiques de la contrainte a été établie par Rychlik [31] en 1989.
Mais comme nous l’avons mentionné ci-dessus, le problème se situe dans l’étape intermédiaire
qui est le calcul de la matrice de transition njk à partir d’un spectre
donné. Dans l’une des premières études montrant un calcul complet des cycles rainflow
à partir d’une PSD à l’aide de la méthode de Markov, Bishop & Sherratt [4]
utilisent, pour calculer la matrice de transition, la formule de Kowalewski [16] basée
sur les moments spectraux :
njk = 2 T E[MT ]
k − j
(2σsγ) 2
1
e
σs 2π(1 − γ2 ) −(j2 +k 2 +2jk(2γ 2 −1))/(8σ 2
sγ2 (1−γ 2 ))
(2.41)