Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

Bruxelles
Université Libre de
F a c u l t é d e s S i e n c e s A p p l i q u é e s
Méthodes spectrales pour une analyse en
fatigue des structures métalliques sous
chargements aléatoires multiaxiaux
Xavier Pitoiset
30 mars 2001
Thèse soumise pour l’obtention du grade de docteur en sciences
appliquées
Laboratoire des Structures Actives
Département des constructions mécaniques et de
robotique

Remerciements
Cette thèse est le résultat de quatre années de recherche passées au Laboratoire des
Structures Actives de l’Université Libre de Bruxelles. Elle a débuté par mon service
national français de 16 mois effectué pour la Société Européenne de Propulsion et s’est
poursuivie dans le cadre d’une bourse Marie-Curie de la Commission Européenne.
Je tiens à remercier particulièrement le Professeur André Preumont, mon directeur de
thèse et directeur du laboratoire, pour m’avoir fait découvrir les vibrations aléatoires,
pour son accueil ainsi que pour sa disponibilité et ses conseils tout au long de ces quatre
ans. Je remercie également la petite équipe du laboratoire, en particulier Vincent
Piéfort, pour son aide précieuse tant sur les vibrations aléatoires et la fatigue que sur
la vie bruxelloise ainsi que Frédéric Bossens, Arnaud François, Pierre De Man, Nicolas
Loix et les autres membres du groupe pour le support MATLAB, les discussions
techniques ou conviviales et leur sympathie.
Je suis également très reconnaissant envers Alain Kernilis de SNECMA-Moteurs
Fusées qui a initié le projet, l’a soutenu et a encouragé le développement de la
MATLAB Random Fatigue Toolbox ; merci également à nos autres partenaires industriels,
M. Marucchi-Chierro d’Alenia Aerospazio Turin, M. Klein et M. Henriksen
de l’Agence Spatiale Européenne (ESTEC) pour leur confiance et leur collaboration.
J’ai également eu la chance de rencontrer de nombreux collègues travaillant dans le
même domaine et qui m’ont apporté de l’aide, des conseils avisés et des encouragements.
A cette occasion, j’adresse toute ma gratitude à Igor Rychlik, professeur du
département de mathématiques statistiques de l’université de Lund, en Suède. J’ai
eu le plaisir de travailler avec lui alternativement à Lund et à Bruxelles et il m’a
considérablement aidé au niveau des mathématiques probabilistes et statistiques. Je
tiens également à remercier Jean-Louis Robert et Bastien Weber de l’INSA Lyon, pour
leur sympathie et leurs explications sur les critères et le modèle de prédiction de durée
de vie qu’ils ont développé. Je suis également reconnaissant envers André Galtier, responsable
du département Fatigue et Rupture d’USINOR (Laboratoire IRSID), pour
ses encouragements et son accueil dans le groupe de travail sur la fatigue multiaxiale
de la Société Française de Métallurgie et de Matériaux. J’exprime également ma gratitude
à Guy Robert et Yvan Radovcic de SAMTECH SA pour avoir supporté mes
questions concernant le code éléments finis SAMCEF et le logiciel BOSS QUATTRO.
Enfin, je remercie Sylvie pour l’enthousiasme croissant qu’elle manifeste à l’égard de
la transformée de Fourier suite à la relecture de mes papiers.
iii

iv 0. Remerciements

Résumé
Cette thèse est consacrée au développement de méthodes spectrales de dimensionnement
en fatigue de structures soumises à des environnements aléatoires. Après un
court chapitre introduisant les vibrations aléatoires et la fatigue des métaux, le chapitre
2 traite des méthodes temporelles et spectrales proposées dans la littérature et
applicables à des états de contrainte uniaxiaux. Les performances des méthodes spectrales
par rapport à une méthode temporelle de référence sont analysées au moyen
de simulations numériques. Le chapitre 3 est dédié à l’étude des méthodes spectrales
applicables à des états de contraintes multiaxiaux aléatoires. Une méthode temporelle
de référence permettant de calculer la durée de vie d’une pièce à partir des
historiques des tenseurs des contraintes locaux est présentée. Les résultats obtenus
en appliquant les méthodes spectrales proposées sont comparés à ceux obtenus par
la méthode temporelle de référence lorsque celle-ci est appliquée à des simulations
de Monte-Carlo. Divers critères d’endurance multiaxiaux sont ensuite présentés au
chapitre 4. Deux d’entre eux sont pour la première fois, à la connaissance de l’auteur,
formulés dans le domaine de Fourier. Les nouvelles formulations spectrales sont validées
par rapport aux critères temporels initiaux à partir du modèle éléments finis
d’une structure simple. Le gain de temps qu’apportent ces nouvelles formulations est
mis en évidence. L’ensemble des outils fréquentiels développés dans ces chapitre sont
ensuite appliqués à l’analyse en fatigue de la tuyère divergente du moteur Vulcain II
d’Ariane V. Cette étude est décrite au chapitre 5. Enfin, le chapitre 6 illustre deux
applications possibles des méthodes spectrales en bureau d’études, d’une part, dans le
but de concevoir un système d’amortissement actif des vibrations à l’aide de capteurs
et d’actionneurs piézoélectriques et d’autre part, en vue d’une optimisation structurale
en fatigue multiaxiale aléatoire. Les diverses conclusions de notre recherche sont
rassemblées au chapitre 7.
v

vi 0. Résumé

Table des matières
Remerciements iii
Résumé v
Liste des symboles xi
1 Introduction 1
1.1 Introduction aux vibrations aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Introduction à la fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Organisation de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Fatigue uniaxiale aléatoire 9
2.1 Domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Chargement à amplitude constante et courbe de Wöhler . . . . 10
2.1.2 Effet d’une contrainte moyenne non nulle . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Cumul du dommage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Méthode ”rainflow” de comptage des cycles . . . . . . . . . . . 13
2.2 Domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Définition d’une densité spectrale de puissance . . . . . . . . . 15
2.2.2 Propriétés statistiques des signaux aléatoires . . . . . . . . . . 17
2.3 Méthodes spectrales de calcul du dommage . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 L’approximation de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Facteurs de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Méthode du ”Single Moment” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Simulations de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Comparaisons entre simulations rainflow et méthodes spectrales 25
2.4.2 Distribution des cycles rainflow et du dommage . . . . . . . . . 27
2.5 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Approches empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Méthode de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire 41
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vii

viii TABLE DES MATI ÈRES
3.2 Méthode temporelle de prédiction de durée de vie . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Projection du tenseur des contraintes sur un plan . . . . . . . . 43
3.2.2 Chargement multiaxial périodique . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Chargement multiaxial variable ou aléatoire . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Simulation de Monte-Carlo d’un processus vectoriel aléatoire . 48
3.3 Méthodes fréquentielles de prédiction de durée de vie . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Méthode de la contrainte équivalente de von Mises . . . . . . . 49
3.3.2 Méthode du rainflow multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Application à une structure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 Analyse des zones critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.3 Explication des différences observées . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire 65
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Les différents types de critères multiaxiaux . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Les critères de type plan critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Les critères de type approche globale . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Optimisation des temps de calcul des critères . . . . . . . . . . 71
4.3 Formulation fréquentielle du critère de Matake . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 Définition fréquentielle des contraintes relatives à un plan physique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.2 Définition fréquentielle du plus petit cercle circonscrit . . . . . 73
4.3.3 Formulation fréquentielle du critère . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Formulation fréquentielle du Critère de Crossland . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 Première formulation fréquentielle du critère . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Seconde formulation fréquentielle du critère . . . . . . . . . . . 78
4.5 Application à une structure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.1 Application du critère de Matake : domaines temporel et
fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.2 Application du critère de Crossland : domaines temporel et
fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Variabilité des directions des contraintes principales . . . . . . . . . . 83
4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V 91
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Présentation de la structure et définition du chargement . . . . . . . . 92
5.3 Analyse modale et analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Analyse en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Application des méthodes spectrales de prédiction de durée de
vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.2 Application des formulations spectrales des critères d’endurance 99

TABLE DES MATIÈRES ix
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Quelques perspectives 103
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Amortissement actif contre fatigue aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.1 Description de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.2 Conception d’un contrôleur multi-mode PPF . . . . . . . . . . 105
6.3 Optimisation contre fatigue aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Conclusions 115
A Simulation de processus vectoriels gaussiens 119
A.1 Echantillons d’un processus gaussien stationnaire . . . . . . . . . . . . 119
A.2 Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire . . . . . . . 121
B Facteur de pic 125

x TABLE DES MATI ÈRES

Liste des symboles
symbole signification
b niveau d’un seuil ou d’un maximum défini pour une variable aléatoire
c vecteur constant intervenant dans la formulation fréquentielle du
rainflow multiaxial éq. (3.23)
C constante de l’équation de Basquin Ns β = C décrivant la courbe
de Wöhler
C(γ, φ) matrice apparaissant dans la projection du vecteur des contraintes
sur un plan physique défini par les angles sphériques (γ, φ)
Ca amplitude maximale de la contrainte de cisaillement agissant
sur un plan physique
d dommage produit par un cycle élémentaire de la contrainte
d(ψ) dommage relatif au plan physique ψ (approche du plan critique)
D dommage cumulé produit par une séquence de chargement
er, ep
épaisseurs de la plaque étudiée au chapitre 6
E[x] espérance mathématique de la variable aléatoire x
f0(N) limite d’endurance à N cycles en traction répétée
f−1(N) limite d’endurance à N cycles en traction alternée
F (N) facteur de pic d’un processus observé pendant N cycles
(formule de Davenport éq. (4.26))
g terme général désignant un critère d’amorçage en fatigue multiaxiale
J
Jacobien de la transformation résultant d’un changement de variables
J2,a amplitude du deuxième invariant du déviateur du tenseur
des contraintes
moment spectral d’ordre a
ma
MT
nombre de maxima par unité de temps
n vecteur normal à un plan physique défini par les angles
sphériques (γ, φ)
xi

xii 0. Liste des symboles
symbole signification
N nombre de cycles à l’amorçage d’une fissure
Ne nombre de cycles à la limite d’endurance du matériau
Nx(b) nombre de franchissements à pente positive du niveau b
par la variable aléatoire x
p pression hydrostatique, premier invariant du tenseur des contraintes
px(x) densité de probabilité de la variable aléatoire x
Q matrice constante utilisée dans les formulations fréquentielles
des méthodes de la contrainte équivalente de von Mises éq. (3.18)
et du multiaxial rainflow éq. (3.28)
Qθ matrice de rotation d’un angle θ entre deux repères
R rayon du plus petit cercle circonscrit au trajet décrit par la contrainte
de cisaillement agissant sur un plan physique
Rx(τ) fonction de corrélation de la variable aléatoire x
s contrainte uniaxiale (chapitre 2) ou vecteur des contraintes
(à partir du chapitre 3)
sa amplitude de la contrainte
saeq amplitude de la contrainte cyclique de moyenne nulle équivalente
en terme de dommage à un cycle de contrainte d’amplitude
sa et de moyenne sm
sc contrainte équivalente de von Mises définie éq. (3.11)
se limite d’endurance du matériau
sm contrainte moyenne
sn contrainte normale à un plan physique variant dans la direction n
sna amplitude de la contrainte normale sn
snm partie moyenne de la contrainte normale sn
sr contrainte équivalente selon la méthode du rainflow multiaxial
définie éq. (3.23)
sψ vecteur des contraintes relatives au plan physique ψ défini éq. (3.3)
sx contrainte normale selon x dans le repère structural (x, y)
sy contrainte normale selon y dans le repère structural (x, y)
sxy contrainte de cisaillement dans le repère structural (x, y)
Su contrainte ultime de traction
t−1(N) limite d’endurance à N cycles en torsion alternée
T période d’observation d’un processus aléatoire
Ta projection du trajet décrit par la contrainte de cisaillement
sur une droite du plan (critère de Papadopoulos)
vitesse de convection longitudinale d’une turbulence
Ul

symbole signification
X(ω, T ) transformée de Fourier tronquée d’une variable aléatoire x
sur une période T
amplitude modale relative au mode m
ym
α(N) coefficient intervenant dans le calage à N cycles d’un critère
multiaxial
αim composante i de la contrainte modale induite par le mode m
β exposant de l’équation de Basquin Nsβ = C décrivant la courbe
de Wöhler
β(N) coefficient intervenant dans la calage à N cycles d’un critère
multiaxial
γ angle sphérique définissant un plan physique (l’angle sphérique
complémentaire est φ)
γ facteur d’irrégularité d’un processus aléatoire défini éq. (2.19)
Γ(x) fonction gamma définie éq. (2.29)
∆(b) taux de dommage produit par les maxima compris dans
l’intervalle [b, b + db[
∆s étendue entre deux extrema successifs d’un historique d’une
contrainte
ɛ indicateur de la largeur de bande d’un processus aléatoire
défini éq. (2.20)
η amplitude réduite d’un maximum par rapport à l’écart type σ
du processus aléatoire
θ angle de rotation entre deux repères
θ(N) coefficient intervenant dans le calage à N cycles d’un critère
multiaxial
µ(r) nombre moyen de franchissements par unité de temps du cercle
de rayon r par la contrainte de cisaillement agissant sur un plan
physique
ν +
b nombre moyen de franchissements du seuil b par une variable
aléatoire par unité de temps
ξ amortissement modal
ρxy coefficient de corrélation entre les variables aléatoires x et y
σx écart type du processus aléatoire x
Σ matrice de covariance d’un processus vectoriel aléatoire
τn ou τ vecteur représentant la contrainte de cisaillement agissant
sur un plan physique τ = (τu, τv) T , (u, v) étant une base du plan
de normal n
xiii

xiv 0. Liste des symboles
symbole signification
τna amplitude de la contrainte de cisaillement agissant sur le plan
de normal n
τnm partie moyenne de la contrainte de cisaillement agissant sur le plan
de normal n
τu composante selon u de la contrainte de cisaillement agissant sur un
plan physique
τv composante selon v de la contrainte de cisaillement agissant sur un
plan physique
φ angle sphérique définissant un plan physique
(l’angle sphérique complémentaire est γ)
Φxx(ω) densité spectrale de puissance (PSD) de la variable aléatoire x
Φx(ω) matrice des PSD relative au procesus vectoriel aléatoire x
ψ plan physique défini par sa normale n ou les angles sphériques (γ, φ)
ω fréquence

Chapitre 1
Introduction
1.1 Introduction aux vibrations aléatoires
La théorie des vibrations aléatoires a été développée afin de prédire la réponse des
structures soumises à des environnements aléatoires. Les ingénieurs sont confrontés à
ce type de problème lorsqu’ils souhaitent prédire par exemple :
– la réponse des ponts et des bâtiments soumis à l’action du vent ou encore aux
tremblements de terre,
– la réponse des bateaux ou des plate-formes de forage soumis à l’action de la houle,
– la réponse des chassis et éléments de suspensions de véhicules qui dépendent de la
rugosité de la route,
– la réponse des avions soumis à des turbulences atmosphériques ou les lanceurs
spatiaux soumis à des environnement acoustiques sévères lors du lancement,
– la réponse des équipements embarqués soumis aux vibrations des supports, etc.
Les applications sont donc très diverses. Le développement de cette théorie a demandé
plusieurs décennies et de nombreux travaux dans les différents domaines que
sont la dynamique des structures, l’analyse des signaux aléatoires et la mécanique
probabiliste. C’est à la fin des années 50, avec les programmes civils et militaires
d’explorations spatiales que la première théorie des vibrations aléatoires est apparue.
Parmi les ouvrages de référence, citons par ordre chronologique les travaux majeurs de
Crandall & Mark [4] en 1963, puis l’importante contribution dans les développements
mathématiques des vibrations aléatoires de Lin [8] en 1967. Parallèlement à ces
développements, d’importants progrès ont été réalisés dans le domaine de la mesure
et l’estimation des paramètres de processus aléatoires et l’analyse spectrale. Le livre
de référence dans ce domaine a été publié par Bendat & Piersol [2] en 1966. Avec le
développement des ordinateurs, des moyens d’acquisition de signaux portables, des
capteurs et des logiciels d’analyse modale, la pratique des vibrations aléatoires est
devenue de plus en plus courante dans l’industrie, des ouvrages récents montrent les
différents développements réalisés dans ce domaine au cours des dernières décennies :
Preumont [9], Wirshing et al. [10].

2 1. Introduction
L’une des hypothèses en vibrations aléatoires est que la structure est déterministe, sa
géométrie et les caractéristiques des matériaux qui la constituent sont donnés. Elle est
également supposée linéaire. Sa réponse à une excitation aléatoire est prédite à partir
d’un modèle numérique souvent réalisé en utilisant la méthode des éléments finis.
La difficulté majeure de l’analyse d’une structure soumise à des excitations aléatoires
se situe dans la définition même de l’excitation physique qui agit sur celle-ci. Cette
excitation doit être définie afin d’être compatible avec la modélisation par éléments
finis. Elle peut être appliquée soit aux supports (excitation de type sismique) soit
à des noeuds du maillage (excitation de type force ponctuelle ou champs de pressions).
Dans la théorie classique des vibrations aléatoires, les excitations sont supposées
gaussiennes. Cette hypothèse est souvent justifiée par le théorème de la limite
centrale qui stipule qu’une variable aléatoire résultant d’une superposition d’un grand
nombre de variables élémentaires statistiquement indépendantes tend à être gaussienne,
quelles que soient les distributions des variables élémentaires. De tels processus
sont entièrement caractérisés par leurs propriétés statistiques du deuxième ordre,
c’est-à-dire par leur moyenne et par leur fonction d’autocorrélation ou encore leur
densité spectrale de puissance. La densité spectrale de puissance donne l’information
sur le contenu fréquentiel du signal ainsi que sur la variance du processus.
Pour les systèmes linéaires, la relation entre l’entrée, c’est-à-dire l’excitation, et la sortie,
c’est-à-dire la réponse de la structure (déplacements, déformations et contraintes)
est calculée pour les statistiques des deux premiers ordres. En effet, la structure étant
linéaire, sa réponse à une excitation gaussienne est également gaussienne. Les relations
entrée-sortie sont alors régies par les équations différentielles traditionnelles de
la dynamique des structures, voir Géradin & Rixen [7]. Dans la plupart des cas, les
structures possèdent des modes normaux, ce qui réduit la résolution numérique des
équations différentielles car le mouvement de telles structures peut être décomposé en
celui de ses différents modes propres, qui se comportent comme autant d’oscillateurs
à un degré de liberté.
Dans le cas d’une analyse temporelle, la relation entre l’entrée et la sortie s’exprime par
une intégrale de convolution, caractéristique d’un système linéaire. Par conséquent, le
calcul de la réponse de la structure dans le domaine temporel revient à intégrer par
pas de temps cette intégrale de convolution, ce qui rend l’analyse très coûteuse en
temps de calcul. Par contre, dans le domaine de Fourier, l’opération de convolution
correspond à une simple multiplication. Par conséquent, la réponse de la structure
à une excitation aléatoire est calculée beaucoup plus rapidement dans le domaine
spectral. Les excitations, comme les réponses, sont alors caractérisées, non pas par
des séquences temporelles, mais par des densités spectrales de puissances (cf. Fig.
1.1).
Dans la plupart des codes de calcul qui possèdent un module d’analyse spectrale
(par exemple SAMCEF, MSC NASTRAN, STARDYNE ou encore ANSYS), les
types d’excitations principaux qui peuvent être appliqués sont des déplacements, des
accélérations ou des forces. Ces excitations peuvent être multiples, c’est-à-dire appliquées
à différents points de la structure et donc éventuellement corrélées ; prenons
par exemple le cas d’un véhicule se déplaçant sur une route rugueuse à une certaine
vitesse. L’excitation à laquelle est soumis l’essieu avant est identique à celle ap-

1 Introduction aux vibrations aléatoires 3
pliquée à l’essieu arrière, mais les deux excitations sont dites spatialement corrélées, il
existe en effet un délai entre l’accélération vue par les deux essieux. Ce délai dépend
de la distance entre les deux essieux et de la vitesse du véhicule. Les excitations
étant modélisées, l’analyse spectrale consiste donc à calculer les densités spectrales
de puissances des différentes grandeurs comme les déplacements, les accélérations, les
déformations ou encore les contraintes aux noeuds du maillage ou moyennées sur un
élément fini.
Fig. 1.1 – Analyse spectrale d’une structure linéaire
Le but ultime de ce calcul est d’étudier la fiablilité et l’intégrité des structures. Plus
précisément, l’objectif de l’ingénieur est de prédire les risques de ruine et de déterminer
si la structure pourra endurer des chargements donnés pendant la durée de service
prévue. En vibrations aléatoires, différents modes de ruine peuvent se ramener à
l’étude du problème dit du premier passage. Ce problème consiste à déterminer la
probabilité que la réponse de la structure ne dépasse pas un certain seuil pendant une
durée d’observation donnée. A titre d’exemple nous pouvons citer le dépassement de
la limite d’élasticité par une contrainte, le dépassement d’une déformation excessive,
le dépassement d’une force de compression provoquant l’instabilité par flambement
etc. L’autre mode de ruine très fréquemment rencontré dans l’étude des structures
soumises à des vibrations aléatoires est la fissuration en fatigue. Ce mode d’endommagement
résulte des contraintes aléatoires induites par les vibrations dans la structure.
Cette thèse a pour but d’améliorer les méthodes de prédictions de durée de vie des
structures exposées à ce dernier type d’endommagement.

4 1. Introduction
1.2 Introduction à la fatigue
L’endommagement par fatigue est défini comme la modification des propriétés des
matériaux consécutive à l’application d’efforts variables dans le temps ou de cycles
d’efforts, cycles dont la répétition peut conduire à la rupture par fissuration de la
pièce ou de la structure constituée de ce matériau. Ce phénomène a été étudié dès le
XIXième siècle, par Wöhler, qui a caractérisé pour la première fois les matériaux en
fatigue en établissant une courbe donnant la durée de vie ou le nombre N de cycles
à rupture en fonction de l’amplitude s des cycles parcourus par la contrainte.
Cette courbe est souvent utilisée pour caractériser un matériau soumis à une traction
alternée sinusoïdale. Deux domaines sont alors distingués, le premier domaine est
celui de la fatigue oligocyclique, où la rupture intervient aux alentours de 10 4 −
10 5 cycles et où les pièces sont soumises à des contraintes dépassant généralement
localement la limite d’élasticité. Les modèles de prédictions de durée de vie reposent
alors sur l’historique des déformations dans les zones critiques (entailles, congés de
raccordement etc). Le second domaine est celui de la fatigue dite à grand nombre de
cycles, la rupture se produisant entre 10 5 et 10 7 cycles, la structure est alors soumise
à des contraintes ne dépassant pas la limite d’élasticité du matériau. La fatigue à
grand nombre de cycles est donc plutôt basée sur l’historique des contraintes (cf. par
exemple Dowling [5]). Les structures linéaires, soumises à des vibrations aléatoires
et dont la réponse est calculée au moyen d’une analyse spectrale par éléments finis,
appartiennent à cette catégorie.
La vie d’une structure endommagée par fatigue peut être décomposée en trois stades :
l’amorçage d’une fissure, la propagation lente de la fissure et la propagation brutale
due à l’instabilité et conduisant à la rupture, voir Bathias & Bailon [1]. Il n’existe
pas de définition universellement acceptée de l’amorçage, toutefois, nous le définirons
ici comme l’apparition d’une fissure d’une longueur supérieure à 0.01 mm, dimension
devenant détectable et correspondant au niveau métallurgique à la taille de grain pour
la plupart des aciers. Dans le cadre de ce travail, nous nous intéressons principalement
à cette première phase de l’endommagement par fatigue et ce pour deux raisons. La
première raison est que, dans le cas de la fatigue à grand nombre de cycles, la phase
la plus longue est la phase d’amorçage, elle peut représenter jusqu’à 90% de la durée
de vie de la structure, notamment dans le cas des métaux durs (pour lesquels le
rapport entre la limite d’endurance en torsion alternée et la limite d’endurance en
flexion alternée se situe approximativement entre 0.5 et 0.8). La durée de vie dite à
l’amorçage peut donc être une relativement bonne indication sur la durée de vie totale
de la structure. La deuxième raison est que la propagation de la fissure entraîne de
fortes non linéarités dans le comportement de la structure, l’analyse spectrale telle
que nous l’avons classiquement définie dans le premier paragraphe n’est plus valable.
De plus, la propagation de fissure est du ressort de la mécanique de la rupture, elle
est par conséquent souvent traitée tout à fait séparément du problème d’amorçage.
L’approche généralement utilisée pour le calcul de durée de vie en fatigue est donc
basée sur la courbe de Wöhler et sur l’historique des contraintes donné en différents
points de la structure. Cette approche, que nous adoptons dans cette thèse, est macroscopique.
Le matériau constituant la structure est considéré comme étant homogène.

1 Organisation de la thèse 5
Toutefois, pour étudier l’endommagement par fatigue, il est nécessaire de mieux comprendre
les mécanismes physiques mis en jeux à une échelle microscopique ou plutôt
mésoscopique (échelle correspondant à la taille des grains de cristaux constituant le
métal) lors de l’amorçage.
Lorsqu’une éprouvette lisse est soumise à la fatigue, les fissures apparaissent en surface
où l’état des contraintes est donc uniaxial ou biaxial. L’amorçage de ces fissures
est dû au fait qu’à l’échelle microscopique, un métal n’est plus homogène. En effet,
l’observation de sa microstructure montre qu’il est consitué de grains cristallins dont
les orientations sont aléatoires. En fonction de son orientation, le cristal a des propriétés
mécaniques variables. Certains grains d’orientation défavorable par rapport à
l’orientation de la sollicitation subissent un écrouissage. En surface, les dislocations
activées dans ces grains sont évacuées en suivant les plans de glissement du cristal. Ces
bandes de glissements peuvent alors devenir persistantes et un polissage ne les élimine
pas, elles sont à nouveaux observées dès que l’application de la sollicitation reprend.
Ce premier stade d’endommagement est par conséquent irréversible. De plus en plus
de dislocations débouchent en surface accentuant le relief, formant des marches puis
des intrusions et des extrusions. Celles-ci se transforment en fissures qui suivent les
bandes de glissements pour pénétrer dans les grains. C’est le stade I de la propagation.
Deux types de fissures peuvent alors être distingués. Le premier type est observé dans
le cas de la traction alternée où les microfissures s’orientent à 45 ◦ par rapport à l’axe
de la sollicitation. Lorsque les grains sont traversés, une fissure prédominante poursuit
ensuite sa propagation perpendiculairement à l’axe dans lequel s’exerce la traction.
Elle pénètre donc dans la section, c’est alors que commence le stade II de propagation.
Dans le cas de la torsion alternée, l’expérience montre que les fissures sont perpendiculaires
à la surface et qu’elles se propagent d’abord superficiellement avant de se
propager au travers de la section, ce type de chargement est par conséquent beaucoup
moins sévère. Ces observations mettent en évidence les raisons pour lesquelles
l’amorçage dépend du plan subissant la contrainte de cisaillement de plus grande amplitude
(qui, par exemple, est orientée à 45 ◦ par rapport à l’axe de la sollicitation
pour une traction simple). Notons que l’amorçage est aussi influencé par la contrainte
normale à ce plan de cisaillement qui provoque l’ouverture de la fissure et influence
sa direction et sa vitesse de propagation (voir par exemple François et al. [6], Brown
& Miller [3]).
1.3 Organisation de la thèse
Cette thèse est organisée en 6 chapitres. Dans le chapitre 2, nous montrons quelle
est la méthodologie à appliquer pour calculer la durée de vie d’une pièce métallique
soumise à un chargement aléatoire ayant une seule composante. La première partie
de ce chapitre montre d’abord l’approche traditionnelle basée sur l’historique de la
contrainte aléatoire. Dans la seconde partie du chapitre, nous montrons comment la
même prédiction peut être obtenue dans le domaine fréquentiel, à partir de la densité
spectrale de puissance de la contrainte aléatoire considérée. Le chapitre 3 aborde le
problème des structures soumises à des sollicitations comportant plusieurs compo-

6 1. Introduction
santes, problème désigné par le terme de fatigue multiaxiale. Comme dans le chapitre
précédent, nous décrivons rapidement une méthode de calcul de durée de vie pouvant
être appliquée à l’historique du tenseur des contraintes. Nous présentons ensuite
les nouvelles méthodes alternatives applicables dans le domaine fréquentiel à partir
de la matrice des densités spectrales de puissance relative au tenseur aléatoire
des contraintes. Nous nous intéressons uniquement aux chargements gaussiens de
moyenne nulle. Les résultats obtenus dans le domaine fréquentiel sont comparés à
ceux obtenus par la méthode temporelle, considérée comme étant la référence, en utilisant
le modèle éléments finis d’une structure simple. Le quatrième chapitre traite
des critères multiaxiaux de rupture par fatigue, permettant de prédire si une structure
sera endommagée par fatigue, si elle est soumise à un chargement multiaxial
aléatoire donné. Deux critères multiaxiaux classiques sont formulés dans le domaine
fréquentiel et validés par rapport à leurs formulations temporelles initiales respectives
au moyen de simulations de Monte-Carlo. Nous passons alors à des applications des
méthodes que nous avons développées. Le chapitre 5 consiste en l’application de ces
méthodes à l’analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain 2 du lanceur européen
Ariane 5. Nous terminons notre exposé au chapitre 6, par l’illustration de perspectives
d’utilisation des méthodes spectrales en bureau d’étude. Nous illustrons d’une
part la possibilité de limiter l’endommagement par fatigue des structures au moyen
d’un amortissement actif des vibrations et nous présentons d’autre part un exemple
d’optimisation structurale en fatigue multiaxiale aléatoire. Enfin, nous rappelons les
principaux résultats de notre recherche.

BIBLIOGRAPHIE 7
Bibliographie
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Hermès, 2e Edition.
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[10] Wirshing P.H., Paez T.L. & Ortiz K., 1995. Random Vibrations : Theory and
Practice. Wiley-Interscience.

8 1. Introduction

Chapitre 2
Fatigue uniaxiale aléatoire
Considérons une pièce mécanique soumise à une contrainte s(t) qui varie au cours
du temps. Cette contrainte variable produit, même si elle n’excède pas la limite
d’élasticité du matériau, un endommagement par fatigue. Le but du concepteur est
donc de dimensionner la section de cette pièce de façon à éviter la rupture en fatigue
pendant la durée de service. Cette discipline est relative à la science des matériaux,
qui étudie les problèmes de caractérisation des matériaux en fatigue ainsi que les aspects
physiques de ce mode d’endommagement. L’approche développée dans ce cadre
est traditionnellement temporelle, c’est-à-dire basée sur l’historique de la contrainte.
Elle repose sur des variables telles que l’amplitude et la valeur moyenne des cycles
parcourus par la contrainte s(t) pendant la séquence de chargement.
Par conséquent, ce chapitre commence par l’étude d’une éprouvette soumise à un
chargement uniaxial d’amplitude constante et par la caractérisation des métaux en
fatigue sous forme de courbe de Wöhler (§ 2.1.1). Puis, en envisageant différents cas
de chargement de complexités croissantes, nous aboutissons à une méthode de calcul
de durée de vie des pièces soumises à des sollicitations d’amplitudes variables
ou aléatoires. Cette méthode est basée sur une décomposition de l’historique de la
contrainte en cycles élémentaires à l’aide d’une procédure appelée ”comptage rainflow
des cycles”. Elle est actuellement considérée comme la méthode qui donne les
prédictions les plus proches des durées de vie mesurées expérimentalement (§ 2.1.2 -
§ 2.1.4).
Toutefois, la fatigue peut également être induite par des vibrations et le problème
de calcul de durée de vie peut alors se poser aux ingénieurs qui étudient la réponse
dynamique des structures à des excitations périodiques ou aléatoires. Cette réponse est
alors donnée dans le domaine fréquentiel, comme nous l’avons vu dans l’introduction.
Des méthodes alternatives de calcul de durée de vie à partir de la densité spectrale de
puissance de la contrainte s(t) ont alors été développées. Toutes ces approches visent
à approximer les résultats obtenus par la méthode temporelle basée sur le comptage
rainflow des cycles.
Après avoir donné quelques notions théoriques fondamentales sur les signaux
aléatoires gaussiens (§ 2.2), les différentes méthodes spectrales de calcul de durée

10 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
de vie proposées dans la littérature sont passées en revue. Une étude comparative
basée sur des simulations numériques permet ensuite de trouver quelle est la méthode
spectrale la plus performante. Dans ce but, à partir d’un spectre de chargement donné,
plusieurs réalisations de la contrainte s(t) sont générées artificiellement. La méthode
temporelle peut être appliquée et le dommage moyen produit par le chargement pendant
une durée d’application T est estimé à partir de ces réalisations. Ce dommage
moyen est alors comparé à celui obtenu directement à partir du spectre de chargement
en appliquant les différentes méthodes fréquentielles (§ 2.3 - § 2.5).
2.1 Domaine temporel
Dans ce paragraphe, nous traitons le cas du chargement d’amplitude constante et
l’influence de la superposition d’une contrainte moyenne à la contrainte alternée.
Nous étudions ensuite le cumul du dommage permettant de calculer la durée de vie
d’une pièce qui est soumise à des séquences de différentes amplitudes et différentes
contraintes moyennes. Enfin, nous traitons le cas le plus complexe et le plus couramment
rencontré, c’est-à-dire celui d’une contrainte d’amplitude variable ou aléatoire.
2.1.1 Chargement à amplitude constante et courbe de Wöhler
En fatigue, les matériaux sont caractérisés par des essais semblables à celui présenté
Fig. 2.1 où une éprouvette est soumise à un chargement alterné sinusoïdal d’amplitude
constante jusqu’à ce que l’amorçage d’une fissure soit observé. Le nombre de cycles à
l’amorçage est alors mesuré, expérimentalement le nombre de cycle à l’amorçage est
confondu au nombre de cycles à rupture. De tels essais sont répétés pour différentes
amplitudes du chargement afin d’établir la courbe de Wöhler du matériau, donnant
en ordonnée l’amplitude de la contrainte notée sa ou s en fonction de la durée de vie
à l’amorçage N.
Fig. 2.1 – Essai de fatigue et courbe de Wöhler

2 Domaine temporel 11
Pour la plupart des matériaux, une relation linéaire entre l’amplitude de la contrainte
et le nombre de cycles à rupture ou à l’amorçage est observée lorsque la courbe
de Wöhler est représentée sur une double échelle logarithmique. La relation entre
l’amplitude de la contrainte et le nombre de cycles à rupture peut alors être exprimée
sous la forme suivante :
Ns β = C (2.1)
où C et β sont des constantes du matériau. Cette équation est connue sous le nom
d’équation de Basquin ; elle est très utilisée en fatigue uniaxiale aléatoire. D’autres
représentations mathé-matiques ont été proposées tout au long du XXième siècle et
sont décrites dans de nombreux ouvrages, par exemple Lieurade & La commission
fatigue des métaux de la SFM [18].
Toutefois, l’équation de Basquin ne permet pas de rendre compte de l’existence d’une
asymptote horizontale observée principalement dans le cas des aciers, une contrainte
seuil de coupure est alors introduite. En effet, une amplitude minimale se de la
contrainte en dessous de laquelle l’éprouvette résiste au chargement pour un nombre
de cycles largement supérieur à Ne = 10 6 − 10 7 cycles a souvent été mise en évidence.
Cette amplitude est appelée limite d’endurance. Les métaux non-ferreux ne présentent
en général pas de telle limite.
Il est également important de noter que les résultats de ces essais de fatigue sont distribués
statistiquement et qu’ils sont présentés sous forme de courbes d’isoprobabilité
d’amorçage. En pratique, la courbe de Wöhler est généralement donnée pour une probabilité
d’amorçage p = 0.5 (voir Fig. 2.1). Les dispersions observées résultent de la
nature même de l’endommagement par fatigue et sont considérées comme étant l’un
des aspects physiques du phénomène : ces dispersions sont dues à des variations d’une
éprouvette ou d’une pièce à l’autre, variations qui peuvent être internes au matériau
(microstructure, défauts ... ), ou liées à la préparation des éprouvettes (usinage ...),
ou enfin externes (charge appliquée, environnement ...).
Notons enfin qu’en présence du seul mode d’endommagement par fatigue, la fréquence
de la sollicitation ne semble pas avoir d’influence significative sur la durée de vie
(François et al. [13]), sauf dans le cas des métaux moux tels que par exemple les
aciers auténitiques.
2.1.2 Effet d’une contrainte moyenne non nulle
Les observations expérimentales ont mis en évidence que lorsqu’une contrainte statique
positive sm est superposée au chargement cyclique d’amplitude sa, la durée de
vie de l’éprouvette ou de la pièce diminue. L’effet inverse est observé en présence d’une
contrainte moyenne de compression. Afin de prendre en compte ce phénomène, des
essais complémentaires peuvent être réalisés afin d’établir un diagramme de Haigh
donnant, pour une durée de vie fixée N, la contrainte alternée admissible sa en fonction
de la contrainte moyenne sm.
Là encore, plusieurs modélisations mathématiques de ce diagramme ont été formulées
(comme par exemple le modèle de Goodmann, la parabole de Gerber etc.). Ces

12 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
différents modèles sont décrits dans la littérature (par exemple Robert [29]). Le CE-
TIM (Centre Technique des Industries Mécaniques) préconise l’emploi du modèle
bilinéaire illustré Fig. 2.2.
Fig. 2.2 – Effet de la contrainte moyenne : diagramme de Haigh
Ce diagramme permet alors de transformer chaque cycle de moyenne non nulle sm
et d’amplitude sa en un cycle de moyenne nulle et d’amplitude saeq. En terme de
durée de vie, le premier cycle (sm, sa) représenté par le point B sur le diagramme
est équivalent au cycle (0, saeq), représenté par le point A. Sachant que la diagramme
de Haigh sa = f(sm) se décompose en deux parties linéaires dont l’intersection est
le point C = (Su − saeq/2, saeq/2), où Su est la contrainte limite à la rupture du
matériau, il est possible de montrer que
saeq = Su + 1
2 (sa
− sm) − (Su + 1
2 (sa − sm)) 2 − 2saSu) (2.2)
Ceci revient en fait à modifier la courbe de Wöhler pour chaque cycle de contrainte
moyenne non nulle. La diminution de la durée de vie qu’entraine la superposition
d’une contrainte moyenne positive à une contrainte alternée donnée peut être obtenue
en abaissant la courbe de Wöhler initiale. En considérant le diagramme de Haigh à
la limite d’endurance N = Ne, il est possible d’obtenir directement la diminution
de limite d’endurance se en fonction de la contrainte sm. La contrainte d’endurance
modifiée devient
s ′ e =
⎧
⎨
⎩
−sesm/(2Su − se) + se
Su − sm
si sm ≤ (Su − se/2)
si sm > (Su − se/2)
(2.3)
La courbe de Wöhler, modélisée par l’équation Ns β = C peut alors être translatée
vers le bas en remplaçant la constante C par

2 Domaine temporel 13
2.1.3 Cumul du dommage
C ′ = C( s′ e
)
se
β
(2.4)
Lorsque les chargements se composent de différents cycles de différentes amplitudes et
différentes valeurs moyennes, il est alors nécessaire de quantifier l’endommagement total
que produisent ces cycles. Fatemi & Yang [12] présentent une revue synthétique et
complète des lois de cumul du dommage qui ont été developpées depuis la célèbre règle
de cumul linéaire proposée par Palmgren en 1924. Les auteurs concluent qu’il n’existe
pas encore de loi de cumul satisfaisante universellement acceptée. Par conséquent, la
simple loi de cumul linéaire maintient sa popularité et est encore largement utilisée
en raison de sa simplicité. La formulation mathématique sous laquelle elle est actuellement
connue a été proposée par Miner en 1945, le dommage total D produit par le
chargement est donné par :
D =
ni/Ni
i
(2.5)
L’historique de la contrainte est décrit comme une séquence de blocs d’amplitude
constante. Chaque bloc i est composé de ni cycles d’amplitude si. La durée de vie Ni
correspondant à cette amplitude de la contrainte est déterminée à partir de la courbe
de Wöhler. L’amorçage est théoriquement prédit lorsque le dommage D vaut un.
Notons que D ne rend pas compte du dommage dans le sens physique du terme, c’està-dire
de l’amorçage de la fissure, de sa surface ou encore du stade de la propagation.
Le ”dommage” D tel qu’il est défini dans l’approche macroscopique décrite ici est
donc un compteur, un instrument de bureau d’étude permettant de situer la pièce
par rapport à sa durée de vie estimée.
Bien que la loi de cumul linéaire de Palmgren-Miner néglige de nombreux phénomènes
observés expérimentalement, elle semble toutefois donner de bonnes estimations de
durée de vie lorsque les chargements sont des processus aléatoires stationnaires, voir
Schütz [35], Shin & Lukens [36]. Ceci justifie donc le choix de cette loi de cumul dans
le cadre de notre étude.
2.1.4 Méthode ”rainflow” de comptage des cycles
La méthodologie développée jusqu’ici permet de traiter les problèmes de fatigue
par blocs, chaque bloc présentant une amplitude constante de la contrainte et une
contrainte moyenne. Mais les chargements réels sont souvent plus complexes. Qu’ils
soient d’amplitude variable ou qu’ils soient décrits par des processus aléatoires (gaussiens,
par exemple), l’application de la démarche décrite jusqu’ici nécessite l’utilisation
d’une méthode de comptage de cycles, permettant de décomposer le chargement en
cycles élémentaires dont l’amplitude et la valeur moyenne sont connues.

14 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
Fig. 2.3 – Définition d’un cycle rainflow
Afin d’identifier des cycles à partir de l’historique de la contrainte, la méthode de
comptage rainflow, proposée par Matsuishi & Endo [21], est considérée, depuis l’étude
de Dowling [9], comme celle menant à des prédictions de durée de vie les plus proches
de la réalité. Différents algorithmes ont été présentés dans la littérature, voir Downing
& Socie [10], Amzallag et al. [1].
La procédure de comptage utilisée dans le cadre de notre étude est basée sur la
méthode dite des quatre points présentée Fig. 2.3. Physiquement, une boucle fermée
dans le plan contrainte-déformation s−ɛ est décrite pour chaque cycle rainflow extrait
de l’historique de la contrainte.
La décomposition du signal se déroule en plusieurs étapes :
1. Le signal est réduit à une séquence de maxima et minima locaux, appelée processus
des extrema.
2. Les quatres premiers points successifs s1, s2, s3 et s4 sont examinés, ces quatre
points forment trois étendues ∆s1,2,3 qui sont calculées :
∆s1 =| s2 − s1 |, ∆s2 =| s3 − s2 |, ∆s3 =| s4 − s3 |
3. Si ∆s2 ≤ ∆s1 et ∆s2 ≤ ∆s3, le cycle rainflow défini par le couple d’extrema
(s2, s3) (zone grise sur la Fig. 2.3), est extrait du signal, son amplitude est définie
par sa =| s2 − s3 | /2 et sa valeur moyenne est donnée par sm = (s2 + s3)/2. s2
et s3 sont éliminés du signal, s1 est raccordé à s4.
4. Sinon, le rang des quatres points est incrémenté d’une unité et le test précédant
est appliqué.

2 Domaine fréquentiel 15
5. La procédure est répétée jusqu’au dernier point de la séquence des extrema.
Suite à ces différentes étapes, certains points du signal n’ont pas été extraits. Ils
forment un résidu, qui est un signal dont les étendues vont en croissant puis en
décroissant. Le maximum et le minimum de la séquence de départ se trouvent dans
ce résidu, formant ainsi la plus grande étendue observée sur la séquence considérée.
La contribution au dommage de ce résidu est par conséquent non négligeable, c’est
pourquoi il est nécessaire de le décomposer en cycles élémentaires. Pour cela, une
nouvelle séquence de chargement est formée à partir du résidu, à la suite duquel
est ajouté une nouvelle fois ce même résidu. De nouveaux cycles peuvent alors être
extraits en appliquant la procédure précédente. L’ensemble de la décomposition est
alors terminé.
En pratique, il est possible de discrétiser les niveaux de contrainte en définissant n
classes d’amplitudes. Chaque cycle rainflow (j, k) est une transition d’un extremum
de niveau j (classe de départ) à un extremum de niveau k (classe d’arrivée), il peut
alors être stocké dans une matrice rainflow R = r(j, k) de dimension n × n dite classe
de départ - classe d’arrivée. Le calcul du dommage à partir de cette matrice rainflow
est alors facilement réalisé à partir de la courbe de Wöhler, du diagramme de Haigh
et de la loi de cumul de Palmgren-Miner.
2.2 Domaine fréquentiel
Les méthodes de calcul de durée de vie en fatigue ont traditionnellement été
développées dans le domaine temporel. Toutefois, lorsqu’une structure est soumise
à des vibrations aléatoires, le calcul de sa réponse dynamique à partir d’un modèle
éléments finis est souvent réalisé dans le domaine fréquentiel. La contrainte aléatoire
est alors donnée sous forme de densité spectrale de puissance (power spectral densities,
en anglais, notées PSD dans la suite du texte).
2.2.1 Définition d’une densité spectrale de puissance
Dans la suite de ce travail, nous nous limitons aux processus aléatoires gaussiens
stationnaires et ergodiques. Un processus est stationnaire si sa structure de probabilité
n’est pas affectée par par un changement de l’origine des temps. La propriété
d’ergodicité permet de remplacer des moyennes d’ensembles par des moyennes temporelles
estimées à partir d’une réalisation unique du processus.
Considérons un signal stationnaire x(t), sa transformée de Fourier n’existe pas car
∞
−∞
|x(t)|dt
n’est pas une quantité finie. Ce problème peut être contourné en définissant sa transformée
de Fourier tronquée :

16 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
X(ω, T ) =
+T/2
−T/2
x(t)e −jωt dt (2.6)
Numériquement, le résultat de cette opération est un vecteur de valeurs complexes
où chaque valeur représente l’amplitude et la phase d’une sinusoïde particulière de
fréquence ω. L’amplitude de cette sinusoïde est donnée par le module de cette valeur
complexe alors que la phase est donnée par son argument. Pour générer un signal
à partir du domaine fréquentiel, la transformée de Fourier inverse est appliquée au
vecteur des valeurs complexes donné fréquence par fréquence. Le signal obtenu est
alors identique au signal de départ.
En pratique, la PSD représente une densité normalisée, c’est-à-dire qu’elle donne en
ordonnée la moyenne quadratique de l’amplitude de chaque sinusoïde en fonction de
la fréquence ω. Elle est définie comme étant la transformée de Fourier de la fonction
d’autocorrélation du signal :
Φxx(ω) =
+∞
−∞
R(τ)e −jωτ dτ (2.7)
où R(τ) = E[x(t)x(t + τ)]. En effet, il est possible de démontrer (voir Papoulis [25])
que si
alors
+∞
−∞
lim
T →∞
|τE[x(t)x(t + τ]|dτ < ∞ (2.8)
1
2πT E[|X(ω, T )|2 ] = Φxx(ω) (2.9)
En supposant que x(t) est de moyenne nulle, la fonction d’autocorrélation est alors
définie par :
R(τ) =
+∞
−∞
Φxx(ω)e jωτ dω (2.10)
Les Eqs. 2.7 et 2.10 sont connues sous le nom de théorème de Wiener-Khintchine. A
τ = 0, l’éq. 2.10 devient :
R(0) = E[x 2 (t)] =
+∞
−∞
Φxx(ω)e jωτ dω (2.11)

2 Domaine fréquentiel 17
ce qui montre bien que la PSD est une décomposition fréquentielle de la moyenne
quadratique du processus. La représentation sous forme de PSD ne contient pas d’information
sur la phase, seule la partie réelle est décrite. Pour générer un signal à
partir d’une PSD, il est donc nécessaire de faire des hypothèses sur la phase, ce qui
permet de générer différents échantillons temporels statistiquement équivalents. Dans
le cas des signaux ergodiques stationnaires gaussiens, la phase est alors uniformément
distribuée entre −π et +π radians.
L’algorithme généralement utilisé pour la génération artificielle de signaux temporels
à partir d’une PSD donnée est basé sur la transformée de Fourier rapide (Fast Fourier
Transform désignée par FFT) et sur la méthode de Monte-Carlo pour le tirage de
nombres aléatoires utilisés pour la phase. Ce type d’algorithme est couramment décrit
dans la littérature, voir par exemple Wirshing et al. [40], Preumont [27].
2.2.2 Propriétés statistiques des signaux aléatoires
Ce paragraphe a pour but de présenter simplement les principaux instruments utilisés
dans le cadre d’une analyse en fatigue dans le domaine fréquentiel.
Moments spectraux
Le moment spectral mi d’ordre i d’un processus aléatoire stationnaire x(t) de PSD
Φxx(ω) est défini comme suit :
mi =
+∞
−∞
| ω i | Φxx(ω)dω (2.12)
Pour un processus de moyenne nulle, nous avons les relations suivantes :
σ 2 x = m0 =
σ 2 ˙x = m2 =
σ 2 ¨x = m4 =
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
Φxx(ω)dω (2.13)
ω 2 Φxx(ω)dω (2.14)
ω 4 Φxx(ω)dω (2.15)
où σ 2 x = E[x(t) 2 ] est la variance du processus x(t). Si x(t) représente un déplacement,
m2 représente la variance de la vitesse, et m4 la variance de l’accélération.
Franchissements de seuil
A partir du calcul de ces moments spectraux, Rice [28] a démontré que, pour un
processus stationnaire gaussien de moyenne nulle x(t), le nombre moyen par unité de
temps de franchissements à pente positive d’un seuil de niveau b, noté ν +
b , peut être
exprimé par :

18 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
ν +
b
1
=
2π (m2 )
m0
1/2 exp( −b
2σ2 ) (2.16)
x
En particulier, le nombre de passages par zéro avec une pente positive s’écrit :
ν + 0
1
=
2π (m2 ) 1/2
m0
(2.17)
Le nombre moyen de maxima E[MT ] par unité de temps peut être calculé à partir de
ces mêmes moments spectraux selon l’équation :
E[MT ] = 1
2π (m4 ) 1/2
m2
(2.18)
Ce résultat est également dû à Rice. A partir de ces différentes grandeurs, des paramètres
donnant des indications sur la largeur de bande du signal ont été développés,
le plus simple est appelé facteur d’irrégularité, il représente le rapport entre le nombre
de passages par zéro à pente positive et le nombre de maxima :
γ = ν+ 0
E[MT ] =
m2
(m0m4) 1/2
(2.19)
Le processus est dit en bande étroite si le facteur d’irrégularité γ est proche de 1,
presque chaque cycle contient alors un seul maximum. Un autre paramètre de largeur
de bande souvent utilisé dans la littérature est le paramètre ɛ défini par
ɛ 2 = 1 − m22 = 1 − γ
m0m4
2
(2.20)
Afin d’illustrer les différents points développés dans ce paragraphe, deux exemples
de simulations d’historiques de contrainte ont été réalisés à partir de deux PSD
différentes. Les deux processus ont une fréquence centrale ν + 0 de 1000 Hz. Les historiques
présentent 32768 pas de temps pour une durée totale de la séquence de 2
secondes.
La moyenne quadratique de la contrainte σs vaut 120 MPa, elle est identique pour
les deux processus. La figure 2.4.a représente un extrait d’une réalisation d’un processus
en bande étroite, où γ = 0.99. Lorsque la largeur de bande augmente, le
facteur d’irrégularité γ décroît. Chaque cycle contient alors plusieurs maxima, certains
maxima sont alors négatifs. Ce cas est illustré Fig. 2.4.b où un historique de la
contrainte généré à partir d’une PSD large bande est représenté, γ vaut 0.74.
Le paramètre de largeur de bande ɛ, défini éq. (2.20), varie entre 0 lorsque le processus
est en bande étroite et 1 lorsque le processus est large bande. Dans le cas du processus

2 Domaine fréquentiel 19
Fig. 2.4 – Exemple de processus : (a) bande étroite et (b) large bande
en bande étroite illustré précédemment, ɛ = 0.03, alors que dans le cas du processus
en bande large ɛ = 0.66.
Un comptage du nombre de passages par chaque niveau b peut alors être réalisé sur la
séquence de la contrainte simulée d’une durée de 2 s et comparé à la valeur théorique
défini selon Rice par l’éq. (2.16), comme l’illustre la figure 2.5.
de ν +
b
Distribution des maxima
Cartwright & Longuet-Higgins [5] ont démontré que la densité de probabilité des
maxima pour un processus gaussien x(t), est une combinaison linéaire d’une distribution
gaussienne et d’une distribution de Rayleigh. Elle est donnée par :
où
pb(b) = (1 − γ 2 1
) exp(−
2π(1 − γ2 )σx
1 b
2
2
(1 − γ2 )σ2 )
x
+
γ
γF (
1 − γ2 b
exp(− 1 b
2
2
) (2.21)
σx
) b
σ 2 x
σ 2 x

20 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
Fig. 2.5 – Nombre de passages par un niveau b : comparaison simulation-théorie (pour
le processus illustré à la fig.2.4.b)
F (u) =
u
−∞
1
√ exp(−
2π 1
2 ξ2 )dξ
est la fonction de répartition d’une densité de probabilité gaussienne unitaire. Chaque
terme est affecté d’un coefficient dépendant du facteur d’irrégularité γ. L’équation
précédente montre qu’en effet, dans le cas limite d’un processus en bande étroite, de
facteur d’irrégularité γ = 1, le premier terme s’annule et la distribution des maxima
est une distribution de Rayleigh :
pb(b) = b
σ 2 x
exp(− −b2
2σ2 ) (2.22)
x
alors dans le cas limite d’un processus large bande où γ = 0, la distribution des
maxima est une distribution gaussienne :
pb(b) =
1
√ 2πσx
exp( −b2
2σ2 ) (2.23)
x
Les distributions des maxima normalisées, correspondantes aux deux processus
illustrés aux figures 2.4.a et 2.4.b ont été estimées à partir de l’éq. ( 2.21). Elles
sont présentées à la Fig. 2.6 où η = b/σ est le niveau des maxima réduits par rapport
à la valeur quadratique moyenne du signal.

2 Méthodes spectrales de calcul du dommage 21
Fig. 2.6 – Distribution des maxima pour les processus illustrés aux Fig.2.4.a et 2.4.b
Nous remarquons que des maxima négatifs se produisent dès que le processus n’est
plus rigoureusement en bande étroite et que leur fraction augmente lorsque la largeur
de bande augmente. Nous notons enfin qu’en queue de distribution dans le domaine
des valeurs élevées, la densité de probabilité des maxima dans le cas d’une distribution
de Rayleigh est supérieure à celle calculée avec une distribution gaussienne.
2.3 Méthodes spectrales de calcul du dommage
2.3.1 L’approximation de Rayleigh
L’approche classique adoptée en théorie des vibrations aléatoires, pour un processus
gaussien de moyenne nulle, consiste à dire que chaque maximum d’amplitude b est
considéré comme étant un cycle de contrainte d’amplitude b et de moyenne nulle
produisant un dommage, qui selon l’équation de Basquin Ns β = C, est donné par la
relation d = C −1 b β .
La contribution au taux de dommage des maxima compris dans l’intervalle [b, b + db[,
comme l’illustre la Fig. 2.7, peut alors s’écrire :
∆(b)db = C −1 b β E[MT ]pb(b)db (2.24)
où E[MT ]pb(b)db est le nombre moyen par unité de temps de maxima dont l’amplitude
est comprise dans l’intervalle [b, b + db[, en rappelant que E[MT ] est le nombre de
maxima par unité de temps et que p(b)db est la fraction de maxima appartenant à

22 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
Fig. 2.7 – Définition de l’amplitude d’un cycle de contrainte en théorie des vibrations
aléatoires
l’intervalle [b, b+db[. L’espérance du dommage par unité de temps peut être facilement
déduite et elle s’écrit :
E[D] =
+∞
0
∆(b)db = C −1 E[MT ]
+∞
0
b β pb(b)db (2.25)
L’intégrale est limitée entre 0 et l’infini puisque seuls les maxima positifs contribuent
au dommage. L’espérance du dommage total sur un durée T d’application du chargement
aléatoire vaut E[DT ] = T E[D]. Introduisant le niveau réduit η = b/σx, l’éq.
(2.25) s’écrit :
E[D] = C −1 E[MT ]σ β x
+∞
0
η β pη(η)dη (2.26)
Dans le cas d’un processus en bande étroite, le nombre de maxima par unité de temps
est égal au nombre de passages par zéro à pente positive, E[MT ] peut donc être
remplacé par ν + 0 , et la densité p(η) est la distribution de Rayleigh (2.22). L’espérance
mathématique du dommage devient alors :
ou encore
E[D] = C −1 σ β xν + 0
où la fonction Γ(x) est donnée par la relation :
+∞
η
0
β+1 e −η2 /2
dη (2.27)
E[D] = C −1 σ β xν + 0 2β/2 Γ(1 + β/2) (2.28)

2 Méthodes spectrales de calcul du dommage 23
Γ(x) = 2
+∞
0
t (2x−1) e −t2
dt (x > 0) (2.29)
Il est possible de montrer (voir Wirshing & Haugen [38]) que cette relation peut
également être exprimée comme une fonction de deux moments spectraux et devient
alors :
E[D] = C
−1 2β/2
2π
Γ(1 + β/2)m(β−1)/2 0 m 1/2
2
(2.30)
Ce résultat a été présenté pour la première fois par Miles [22] en 1954 et a été repris par
Crandall & Mark [7]. Il est connu sous le nom d’approximation de Rayleigh (Rayleigh
approximation) ou approximation bande étroite (Narrow band approximation). Cette
formulation est simple à implémenter, de plus, Wirshing & Haugen [38] l’ont appliquée
à différents spectres de largeurs de bande diverses et ont trouvé que cette formulation
était toujours conservative par rapport aux résultats obtenus par comptage rainflow
sur des réalisations de la contrainte simulées à l’aide de la méthode de Monte-Carlo.
Le caractère conservatif de l’approximation de Rayleigh par rapport au comptage
rainflow, quelque soit le spectre et la largeur de bande, a été prouvé par Rychlik [32].
2.3.2 Facteurs de correction
En pratique, les historiques de contrainte rencontrés sont des processus qui ne sont
ni en bande étroite, ni large bande, mais ils se situent en général entre les deux.
L’approximation de Rayleigh, qui donne des résultats théoriquement exacts en bande
étroite, mène, pour de nombreux processus de largeurs de bandes moyennes ou larges,
à des résultats jugés trop conservatifs et donc pénalisants au niveau de la masse des
structures. Dans le but d’obtenir des estimations de la durée de vie les plus proches
possibles de celles obtenues par simulations rainflow, de nombreux modèles ont été
développés (voir par exemple Chauldry & Dover [6], Wirshing & Light [39], Ortiz &
Chen [24]). Seuls les modèles les plus couramment étudiés dans la littérature sont reportés
ci-après. Ils reposent sur l’idée de rectifier l’approximation de Rayleigh en multipliant
celle-ci par des facteurs de correction semi-empiriques. Ces facteurs dépendent
alors principalement de paramètres de largeur de bande, de moments spectraux ainsi
que de l’exposant β de l’équation de Basquin. L’estimation du dommage s’écrit alors
D = λDRay, DRay étant l’espérance mathématique du dommage donnée éq. (2.30).
Les premiers travaux effectués dans ce sens sont ceux de Wirshing & Light [39] qui
proposent le facteur de correction suivant :
où
λW L = a(β) + [1 − a(β)](1 − ɛ) b(β)
a(β) = 0.926 − 0.033β
(2.31)

24 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
b(β) = 1.587β − 2.323
avec ɛ = 1 − γ 2 .
Un modèle plus raffiné a été proposé ensuite par Ortiz & Chen [24]. Poursuivant la
même idée, ils ont proposé le facteur de correction suivant :
λOC = δβ
γ
où δ =
m2m 2/β
m0m (2+2/β)
(2.32)
Chacun de ces facteurs représente, dans un certain nombre de cas seulement, une
amélioration par rapport à l’approximation de Rayleigh et dégénère vers cette approximation
de Rayleigh dans le cas d’un processus en bande étroite.
2.3.3 Méthode du ”Single Moment”
En 1990, Lutes & Larsen [20] abandonnent l’idée de facteur de correction et proposent
une formulation empirique qui fait appel à un seul moment spectral, qui est un moment
singulier d’ordre fractionnaire 2/β. Suite à de très nombreuses simulations rainflow
par la méthode de Monte-Carlo, ils préconisent l’utilisation de l’équation suivante :
−1 2β/2
E[D] = C
2π Γ(1 + β/2)(m2/β) β/2
(2.33)
D’après l’étude réalisée ensuite par les mêmes auteurs, Larsen & Lutes [17], étude dans
laquelle la méthode du ”single moment” est comparée à l’approximation de Rayleigh,
au modèle de Wirshing et Light (éq. (2.31)) ainsi qu’à celui de Ortiz et Chen (éq.
(2.32)), la méthode du ”single moment” est celle dont la validité est la plus générale
par rapport aux simulations rainflow. Elle donne des résultats très satisfaisants même
si elle est parfois moins performante que l’une des méthodes précédentes dans quelques
cas particuliers. L’autre avantage de celle-ci est de ne faire intervenir que le moment
spectral d’ordre fractionnaire : m 2/β.
2.4 Simulations de Monte-Carlo
Evidemment, le dommage DT résultant d’un chargement aléatoire appliqué pendant
une période T est aussi une variable aléatoire. Comme nous l’avons vu dans les paragraphes
précédents, les méthodes spectrales permettent d’en calculer directement
l’espérance mathématique par unité de temps E[D]. Pour l’ensemble de la séquence
nous obtenons alors E[DT ] = T ×E[D]. Par contre, pour estimer E[DT ] en appliquant
une méthode temporelle, il est nécessaire de générer un grand nombre de réalisations
statistiquement indépendantes de la contrainte aléatoire à l’aide de l’algorithme de
la FFT et de la méthode de Monte-Carlo. D’une simulation à l’autre la valeur du
dommage DT varie. Ces simulations dites de Monte-Carlo permettent donc d’estimer
l’espérance mathématique du dommage E[DT ] à partir d’un échantillon représentatif
de valeurs de DT .

2 Simulations de Monte-Carlo 25
2.4.1 Comparaisons entre simulations rainflow et méthodes
spectrales
Afin de vérifier les résultats présentés dans la littérature, l’approximation de Rayleigh,
qui est historiquement la première méthode spectrale, et la méthode du ”Single
Moment”, qui semble être la méthode la plus prometteuse actuellement, ont été
implémentées. Ces deux méthodes ont été appliquées à différentes formes de spectres
et pour des processus de largeur de bande variable. D’autre part, des simulations de
Monte-Carlo de la contraintes ont été réalisées à partir de ces mêmes spectres. Le
dommage DT a ensuite été estimé pour chaque réalisation en utilisant le comptage
rainflow des cycles et la loi de cumul linéaire du dommage. Notre étude nous permettra
donc bien d’apprécier les performances des différentes méthodes spectrales proposées
dans la littérature en les comparant aux simulations rainflow.
Trois formes spectrales ont été considérées :
Fig. 2.8 – Formes spectrales utilisées pour les simulations : (a) oscillateur linéaire,
(b) spectre bimodal, (c) processus idéal passe bande
– la réponse d’un oscillateur à un degré de liberté (d.d.l.) à un bruit blanc gaussien
(Fig. 2.8.a) ;

26 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
– un spectre bimodal représentant la réponse couplée de deux oscillateurs linéaires
à un bruit blanc gaussien (Fig. 2.8.b). La variance du processus est également
répartie entre les deux fréquences naturelles du système respectivement données
par (1 + α)ωn et (1 − α)ωn ;
– le processus idéal passe-bande (Fig. 2.8.c), qui est un bruit blanc de largeur de
bande limitée à αωn centré sur ωn.
Fig. 2.9 – Méthodes spectrales et simulations rainflow : comparaisons du dommage
calculé (β = 7), (a) oscillateur linéaire, (b) spectre bimodal, (c) processus idéal passe
bande
Pour ces trois formes spectrales données, différentes largeurs de bandes peuvent être
obtenues en faisant varier l’amortissement dans le cas de l’oscillateur à un d.d.l. ou
en faisant varier le paramètre α dans les deux autres cas. Tous les processus ont la
fréquence centrale ν + 0 de 1000 Hz et la même moyenne quadratique σs = √ m0 = 120
MPa. Les réalisations de la contrainte, obtenues par simulations de Monte-Carlo, sont
constitués de 2 15 soit 32768 pas de temps pour une durée totale de la séquence de
2 secondes. Les résultats obtenus par comptage rainflow ont été moyennés sur une

2 Simulations de Monte-Carlo 27
quinzaine de réalisations du processus considéré. Les caractéristiques du matériau en
fatigue sont β = 7 et C = 4.88×1029 . Le matériau considéré ne présente pas de limite
d’endurance.
Les résultats de ces simulations sont représentés Fig. 2.9. Pour les processus en bande
étroite (valeurs faibles de l’amortissement ξ ou du paramètre α), les simulations
confirment la théorie, à savoir que les trois méthodes donnent des estimations du
dommage équivalentes. Nous observons également que l’approximation de Rayleigh
prédit un dommage constant, quelque soit la largeur de bande du processus et la forme
spectrale, σs et ν + 0
étant constants. Lorsque la largeur de bande augmente, l’approxi-
mation de Rayleigh devient de plus en plus conservative. Ceci est dû au fait que, pour
un processus en bande étroite, chaque maximum est associé à un minimum de même
amplitude, contrairement à un processus large bande qui est constitué d’oscillations
de grandes amplitudes sur lesquelles se superposent des oscillations de faibles amplitudes.
Pour une même longueur d’échantillon temporel, le nombre de cycles rainflow
de grandes amplitudes est donc beaucoup plus faible pour un processus large bande
que pour un processus bande étroite. Par contre, la décroissance du dommage observée
sur les résultats des simulations rainflow, lorsque la largeur de bande augmente, est
très bien approximée par la méthode du single moment. Ceci est donc bien cohérent
avec les observations de Larsen & Lutes [17].
Quant aux temps de calcul, les routines relatives aux simulations rainflow ont été
implémentées en FORTRAN et les méthodes spectrales ont été implémentées dans
MATLAB. Les différentes simulations ont été effectuées sur une station de travail
de type DEC alpha. Pour chaque estimation du dommage, les simulations rainflow
prennent 130 secondes, alors que le calcul dure 1.8 s en utilisant l’approximation de
Rayleigh où l’évaluation de deux moments spectraux est réalisées, et 0.9 s en utilisant
le ”Single Moment” qui nécessite le calcul d’un seul moment spectral.
2.4.2 Distribution des cycles rainflow et du dommage
Le rapport
f(b)db = ∆(b)db
E[D]
(2.34)
représente la fraction du dommage associée aux contraintes dont l’amplitude est comprise
dans l’intervalle [b, b + db[, ∆(b)db est le dommage produit par unité de temps
par les cycles dont les amplitudes sont comprises dans l’intervalle [b, b + db[, comme
le montre l’éq. (2.24), et E[D] est le dommage total produit par unité de temps, en
prenant en compte tous les maxima positifs.
Dans l’hypothèse d’un processus en bande étroite, nous pouvons remplacer p(b) par la
distribution de Rayleigh dans l’éq. (2.24) qui constitue le numérateur de l’éq. (2.34).
Le dénominateur de cette même équation, E[D], est dans ce cas donné par l’approximation
de Rayleigh c’est-à-dire par l’éq. (2.30). En réduisant les amplitudes des
maxima par rapport à la moyenne quadratique du processus, η = b/σs, il est possible
de montrer que, pour une distribution de Rayleigh des maxima, la densité de

28 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
probabilité du dommage correspondante s’écrit :
f(η) = ηβ+1 e −η/2
2 β/2 Γ(1 + β/2)
(2.35)
Il est intéressant de noter que f(η) se réduit aussi à une distribution de Rayleigh
lorsque β est nul. La Fig. 2.10 montre la distribution du dommage f(η) correspondant
à une distribution de Rayleigh p(η) des amplitudes de cycles rainflow pour trois valeurs
de l’exposant β. Le déplacement de la distribution vers les fortes amplitudes lorsque
la valeur de β augmente est mis en évidence. Plus la valeur de β est élevée, plus la
contribution au dommage due aux cycles de grandes amplitudes est dominante.
Fig. 2.10 – Distribution des cycles rainflows p(η) et distribution du dommage f(η)
La Fig. 2.11.a montre la distribution normalisée de l’amplitude réduite des cycles
rainflow dans le cas des simulations d’un processus idéal passe-bande pour lequel
α = 0.1. Les niveaux d’amplitudes ont été discrétisés en 32 classes. La distribution
normalisée par rapport à σs obtenue par simulations rainflow est représentée par des
histogrammes. Pour ce processus bande étroite, la corrélation entre les histogrammes
et la distribution de Rayleigh représentée par la courbe Fig. 2.11.a. est évidente.
La distribution du dommage associé est illustrée Fig. 2.11.b, les histogrammes sont
effectivement proches de la distribution théorique. Notons toutefois, que dans le cas
de simulations d’échantillons temporels de durée limitée, il est difficile d’obtenir le
nombre théorique de cycles de grandes amplitudes c’est-à-dire pour des valeurs de
η > 4, ce que nous pouvons observer à la Fig. 2.11.b.

2 Simulations de Monte-Carlo 29
Fig. 2.11 – Processus en bande étroite (β = 7), distributions : (a) des cycles rainflow,
(b) du dommage
La Fig. 2.12.a montre la distribution normalisée des amplitudes réduites des cycles
rainflow obtenue dans le cas des simulations d’un processus idéal passe-bande pour
lequel α = 1.9. Elle met en évidence que pour ce processus large bande, le nombre de
cycles de faibles amplitudes augmente au détriment des cycles de grandes amplitudes.
Par rapport à la distribution de Rayleigh, représentée par la courbe, un déficit important
de cycles d’amplitudes comprises entre η = 1 et η = 3 est observé, la répercution
de ce déficit sur la distribution du dommage est visible sur les histogrammes de la Fig.
2.12.b dans le domaine des amplitudes réduites η = 2 à η = 3. Ceci illustre la raison
pour laquelle l’approximation de Rayleigh est conservative dans le cas d’un processus
large bande.
Fig. 2.12 – Processus large bande (β = 7), distributions : (a) des cycles rainflow, (b)
du dommage

30 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
2.5 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD
2.5.1 Approches empiriques
Parallèlement aux différents travaux sur les facteurs de correction visant à rectifier
l’approximation de Rayleigh, une autre voie basée sur la distribution réelle des amplitudes
des cycles rainflow a été explorée au cours des années 80. L’idée est de déterminer
directement la distribution des cycles rainflow à partir d’une PSD. En 1985, Dirlik
[8] propose une formule empirique basée sur une étude approfondie des simulations
rainflow. Cette formule est complexe, mais reste une fonction de quatre moments
spectraux de la PSD, à savoir m0, m1, m2 et m4. La méthode de Dirlik, également
décrite dans Bishop & Sherratt [2, 3], est utilisée dans l’industrie et est notamment
implémentée dans les logiciels de fatigue commercialisés par nCode International Ltd
(Halfpenny [15]).
Le nombre de cycles rainflow N d’étendue ∆s (voir définition paragraphe 1.2.4) est
donné par l’équation :
N(∆s) = E[MT ] T p(∆s) (2.36)
où E[MT ] est le nombre de maxima par unité de temps, T est la durée de la séquence
de chargement et p(∆s) est la probabilité d’observer un cycle rainflow d’étendue ∆s.
Cette probabilité est donnée par l’équation :
où
p(∆s) =
D1
Q e−Z/Q + D2Z
R2 e−Z2 /(2R 2 )
+ D3Ze −Z2 /2
/ 2 √
m0
D1 = 2(xm − γ2 )
1 + γ2 ; D2 = 1 − γ − D1 + D2 1
; D3 = 1 − D1 − D2
1 − R
xm = m1
m0
m2
m4
; γ = m2
√ ; R =
m0m4
γ − xm − D2 1
1 − γ − D1 + D2 1
Q = 1.25(γ − D3 − D2R)
; Z =
D1
∆s
2 √ ;
m0
(2.37)
Appliquée au spectre idéal passe-bande pour les deux valeurs du paramètre α = 0.1
et α = 1.9, nous observons Fig. 2.13.a que dans le cas du processus en bande étroite,
la densité de probabilité p(η) des amplitudes réduites des cycles rainflow, où
η = ∆s
2σx
(2.38)

2 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD 31
Fig. 2.13 – Formule de Dirlik, distribution des cycles rainflow : processus idéal passebande
: (a) α = 0.1 et (b) α = 1.9
est bien une distribution de Rayleigh équivalente à celle illustrée Fig. 2.11.a. Dans le
cas du processus large bande Fig. 2.13.b, la méthode de Dirlik donne également une
distribution des cycles rainflow assez proche de celle illustrée Fig. 2.12.a.
La formulation complexe de Dirlik donne des résultats comparables à ceux obtenus en
appliquant la formule du ”Single Moment”, comme le montre la Fig. 2.14. Notons que
la méthode du ”Single Moment” est plus rapide que la formule de Dirlik, car elle ne fait
appel au calcul que d’une seule intégrale sur la PSD. Par contre, la méthode de Dirlik
nécessite 4 intégrations, ainsi qu’une itération sur le nombre de classes choisi pour
discrétiser les étendues des cycles rainflow. Implémentée dans MATLAB, l’estimation
du dommage à partir d’une PSD prend 10 s contre 0.9 s pour le ”Single Moment”.
Notons également que l’évaluation numérique du moment d’ordre 4 peut être délicate,
notamment à cause de l’amplification que ce moment d’ordre 4 génère dans les hautes
fréquences.
Fig. 2.14 – Formule de Dirlik appliquée au spectre idéal passe-bande

32 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
2.5.2 Méthode de Markov
Le problème du passage direct de la PSD du processus s(t) au comptage des cycles
rainflow a ensuite été résolu par une théorie rigoureuse basée, d’une part, sur la
définition d’un cycle rainflow proposée en 1987 par Rychlik [30] et d’autre part, sur
la théorie des chaînes de Markov. En effet, un cycle rainflow, tel qu’il est illustré Fig.
2.15, peut être mathématiquement caractérisé de la façon suivante :
Considérons la contrainte s(t) où t ∈ [0, T ] et le maximum de la contrainte Mi de
niveau k se produisant au temps ti. Nous pouvons définir les étendues (m −
i , Mi) et
(Mi, m +
i ) où :
– m −
i
est le minimum de s(t) qui se trouve entre le dernier passage à pente négative
de s(t) par le niveau k et le maximum Mi. Ce minimum se trouve à gauche de Mi
et se produit au temps t −
i .
– m +
i est le minimum de s(t) qui se trouve entre Mi et le premier passage à pente
positive de s(t) par le niveau k. Ce minimum se trouve à droite de Mi et se produit
au temps t +
i .
Fig. 2.15 – Caractérisation mathématique d’un cycle rainflow
S’il n’existe pas de passage de s(t) par le niveau k avant ou après le temps ti, alors
respectivement t −
i
= 0 ou t+
i = T . Le cycle rainflow extrait au temps ti est alors défini,
soit comme l’étendue (m rfc
i , Mi), soit (Mi, m rfc
i ). Ce minimum m rfc
i
en appliquant la condition :
m rfc
i
= j =
max(m −
i
m +
i
, m+
i
) si t−i
> 0
sinon
est déterminé
L’implémentation de cette définition donne des résultats identiques à ceux obtenus
en appliquant la procédure décrite au § 2.1.4 (voir Rychlik [30]).
Ensuite, nous supposons que le processus des extrema peut être modélisé par une
chaîne de Markov. La contrainte est alors discrétisée en un nombre M de niveaux, le

2 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD 33
processus des extrema devient alors un processus discret. Si njk représente le nombre
de transitions arrivant à un extremum de niveau k partant d’un extremum de niveau
j, la probabilité conditionnelle tjk d’observer une transition vers un niveau k sachant
que l’extremum précédent est de niveau j peut s’écrire :
tjk = njk/
M
m=1
njm
(2.39)
Le nombre de transitions peut être observé sur une réalisation du processus s(t), mais
également être déterminé théoriquement à partir d’une PSD, comme nous le verrons
par la suite. La matrice T = tjk peut être divisée en deux matrices triangulaires, la
matrice triangulaire supérieure U = ujk et la matrice triangulaire inférieure D = djk
définies par :
U = ujk = P (Mn = k|mn−1 = j) D = djk = P (mn = k|Mn−1 = j) (2.40)
où l’indice n est le rang de l’extrema.
Selon la théorie des chaînes de Markov à un pas de mémoire, que suit le processus
des extrema de s(t), la probablilité conditionnelle de transition vers un extremum de
niveau k sachant que le précédent est au niveau j est indépendante des niveaux des
extrema précédents. Il est alors possible de déterminer par manipulations matricielles
sur U et D, la probabilité d’observer un cycle rainflow (k, j) d’un maximum de niveau
k vers un minimum de niveau j. Selon la définition illustrée Fig. 2.15, elle est égale à la
probabilité d’observer une transition, à droite, d’un maximum de niveau k au x-ième
maximum de niveau supérieur à k tel que le plus petit minimum intermédiaire est au
niveau j, alors qu’à gauche le plus petit minimum situé entre le précédent maximum
de niveau supérieur à k et le maximum considéré est inférieur à j. Il est également
possible de calculer la configuration inverse à savoir le cas où m rfc = j est à gauche du
maximum considéré, la somme des deux donnant une matrice de probabilité rainflow.
Cette démarche et les calculs matriciels correspondants sont par exemple développés
par Olagnon [23].
La validité de cette méthode de Markov à partir d’une matrice de transition observée
sur des historiques de la contrainte a été établie par Rychlik [31] en 1989.
Mais comme nous l’avons mentionné ci-dessus, le problème se situe dans l’étape intermédiaire
qui est le calcul de la matrice de transition njk à partir d’un spectre
donné. Dans l’une des premières études montrant un calcul complet des cycles rainflow
à partir d’une PSD à l’aide de la méthode de Markov, Bishop & Sherratt [4]
utilisent, pour calculer la matrice de transition, la formule de Kowalewski [16] basée
sur les moments spectraux :
njk = 2 T E[MT ]
k − j
(2σsγ) 2
1
e
σs 2π(1 − γ2 ) −(j2 +k 2 +2jk(2γ 2 −1))/(8σ 2
sγ2 (1−γ 2 ))
(2.41)

34 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
Fig. 2.16 – Méthode de Markov appliquée au processus unimodal pour ɛ = 0.03 : (a)
matrice de transition observée, (b) matrice rainflow observée, (c) matrice de transition
théorique, (d) matrice rainflow théorique.
où T est la durée de la séquence de chargement et E[MT ] le nombre de maxima
par unité de temps du processus s(t). Toutefois cette approximation n’est pas très
performante, surtout dans le cas des processus large bande (Pitoiset et al. [26]).
Une méthode alternative, dite méthode de régression, donnant la matrice de transition
exacte à partir d’une PSD a ensuite été développée par Lindgren & Rychlik [19].
L’utilisation de cette méthode de régression et son application à l’analyse rainflow
sont illustrés dans Frendhal & Rychlik [14], Rychlik et al. [34].
Notons enfin que la méthode de Markov peut être appliquée dans le sens inverse, c’està-dire
pour reconstruire des séquences de chargement à partir d’une matrice rainflow
donnée. Un comptage rainflow sur l’une des séquences reconstruites donne alors la
matrice rainflow initiale (Rychlik [33], Dressler et al. [11]).
Afin de montrer les résultats qui peuvent être obtenus en appliquant la méthode
de Markov, nous avons traité le cas d’un processus bande étroite et d’un processus
large bande. A titre d’exemple, il s’agit respectivement du processus unimodal avec
un amortissement ξ = 0.03 et du processus bimodal avec un amortissement modal
ξ = 0.03 et une distance entre les fréquences propres donnée par α = 0.8. Pour ces

2 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD 35
Fig. 2.17 – Méthode de markov appliquée au processus bimodal pour α = 0.8 et
ɛ = 0.03 : (a) matrice de transition observée, (b) matrice rainflow observée, (c) matrice
de transition théorique, (d) matrice rainflow théorique.
deux processus, les simulations rainflow (décrites au § 2.4.1) ont alors été utilisées afin
d’établir d’une part la matrice de transition, appelée matrice de transition observée (à
partir des historiques de la contraintes), et d’autre part la matrice rainflow, appelée
matrice rainflow observée.
Quant à la contrepartie théorique, la méthode de régression citée plus haut est
implémentée dans la ”toolbox” MATLAB appelée WAFO. Cette ”toolbox” contient
des fonctions MATLAB spécifiques à la résolution des problèmes statistiques liés aux
processus aléatoires et plus particulièrement à l’analyse de la houle et la fatigue uniaxiale,
voir The WAFO group [37]. Elle a été employée pour le calcul des matrices de
transition théoriques. Le calcul de la matrice rainflow à partir de la matrice de transition
a été effectué selon l’algorithme de Olagnon [23] (notons qu’une telle routine
existe également dans la toolbox WAFO). La Fig. 2.16 montre les quatre matrices.
La similitude entre les deux matrices théorique et les deux matrices observées est
flagrante. Le dommage théorique est de DT = 2.0 × 10 −10 pour une durée T = 2 s, le

36 2. Fatigue uniaxiale aléatoire
calcul est effectué en environ 30 s contre un dommage de DT = 1.9×10 −10 obtenu par
simulations rainflow en 130 s. Des résultats équivalents sont illustrés dans le cas du
processus large bande Fig. 2.17. Le dommage théorique calculé est de DT = 1.4×10 −10
alors que le dommage obtenu par simulations rainflow est de DT = 1.2 × 10 −10 .
2.6 Conclusion
Au cours de ce chapître, nous avons étudié la méthode temporelle, basée sur le comptage
rainflow des cycles et sur le cumul de dommage linéaire selon la loi de Palmgren-
Miner. Cette méthode est considérée comme donnant de très bonnes prédictions de
durée de vie pour les chargement uniaxiaux, notammant dans le cas de processus
gaussiens stationnaires. Pour ces derniers, la méthode temporelle est applicable à
partir de la PSD du processus s(t), en générant artificiellement des réalisations temporelles
de s(t) en utilisant l’algorithme de la FFT et la méthode de Monte-Carlo.
Cette procédure complète a donc été implémentée. Toutefois, d’une réalisation du
processus à l’autre, les résultats varient. Il est par conséquent nécessaire d’appliquer
la procédure un grand nombre de fois, afin d’obtenir une durée de vie moyenne, pour
une séquence de chargement d’une durée T donnée.
Dans la deuxième partie du chapitre, nous avons étudié les différentes méthodes de
calcul de la durée de vie dans le domaine fréquentiel. Celles-ci permettent d’éviter
la génération d’historiques de la contrainte et la procédure de comptage des cycles,
qui sont très coûteuses en temps. En effet, les méthodes fréquentielles permettent
d’obtenir directement la durée de vie moyenne à partir de la PSD de la contrainte
appliquée à la pièce. Les méthodes les plus couramment étudiées dans la littératures
ainsi que les méthodes récentes les plus prometteuses ont été implémentées. Une étude
comparative entre la méthode temporelle de référence et les différentes formulations
fréquentielles a permis de mettre en évidence les performances de la méthode dite du
”Single Moment”. Elle donne, d’une part, de bonnes approximations de la durée de
vie par rapport aux résultats des simulations rainflow, et d’autre part, elle est la plus
rapide des méthodes alternatives proposées. Par conséquent, la méthode du ”Single
Moment” est tout à fait appropriée dans le cadre d’une analyse éléménts finis visant à
établir une cartographie du dommage sur l’ensemble d’une structure finement maillée.
Elle sera très souvent utilisée dans la suite de cette thèse. La méthode de Markov est
également très performante et repose sur une théorie beaucoup plus satisfaisante que
la méthode du ”Single Moment”. Toutefois, il est plus difficile de l’intégrer directement
dans un code éléments finis, elle est également plus coûteuse en temps de calcul que
la précédente, mais reste toutefois beaucoup plus avantageuse que les simulations
rainflow.

BIBLIOGRAPHIE 37
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40 2. Fatigue uniaxiale aléatoire

Chapitre 3
Méthodes de calcul de durée
de vie en fatigue multiaxiale
aléatoire
3.1 Introduction
Pour de nombreuses structures, les vibrations aléatoires induisent des états de
contraintes multiaxiaux. Dans les années 80 et 90, la fatigue multiaxiale a été un sujet
de recherche important, de nombreux critères permettant de prédire la durée de vie
de pièces soumises à des chargement multiaxiaux périodiques ont été développés, que
ce soit en fatigue oligocyclique ou en fatigue à grand nombre de cycles. A partir de ces
travaux, des modèles de prédiction de durée de vie pour des chargement multiaxiaux
induisant des contraintes et déformations variables ou aléatoires dans les différentes
directions ont été élaborés. Ces modèles sont basés, soit sur les historiques du tenseur
des contraintes et/ou des déformations, soit sur des concepts énergétiques. L’un de ces
modèles applicable à la fatigue à grand nombre de cycles et considéré comme donnant
des prédictions satisfaisantes de durée de vie est décrit au début de ce chapitre (§ 3.2).
La première étape traitant des chargements multiaxiaux périodiques est brièvement
abordée (§ 3.2.1 et § 3.2.2), avant de passer au cas général des chargements variables
ou aléatoires (§ 3.2.3). Par analogie au premier chapitre, nous décrivons ensuite une
procédure de génération d’échantillons temporels du tenseurs de contraintes à partir
des données spectrales (§ 3.2.4) .
En effet, lorsque l’approche temporelle est utilisée en aléatoire, les résultats doivent
être moyennés sur plusieurs réalisations du tenseur des contraintes. Dans le but
d’établir une cartographie de l’endommagement sur toute une structure finement
discrétisée, suite à une analyse spectrale par éléménts finis, son utilisation devient
alors impossible car trop coûteuse en temps de calculs. Pour résoudre ce problème,
nous présentons dans ce chapitre des méthodes spectrales alternatives rapides et directement
applicables à partir de la réponse spectrale de la structure. Comme les

42 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
fissures s’amorcent en surface où l’état des contraintes est plan, nous développons ces
méthodes pour les appliquer à des contraintes biaxiales. Nous nous limitons également
à l’étude des chargements gaussiens de moyennes nulles.
Contrairement au cas des chargements uniaxiaux, il est très rare de trouver, dans la
littérature, des méthodes de prédiction de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
dans le domaine fréquentiel, à l’exception de Macha [13]. En 1994, Preumont & Piéfort
[17] ont proposé une autre méthode spectrale basée sur la contrainte équivalente de von
Mises. Ces travaux sont à l’origine de cette thèse. Ce chapitre se poursuit donc par la
description de cette approche (§ 3.3.1 et § 3.3.2). Cette contrainte alternée équivalente
est construite dans le domaine fréquentiel en combinant, pour chaque fréquence, les
densités spectrales de puissance des contraintes normales et de la contrainte de cisaillement
selon le critère de von Mises. Grâce à cette réduction à un processus scalaire,
supposé équivalent en terme de dommage, toutes les méthodes disponibles en uniaxial,
décrites au chapitre 2, peuvent être appliquées.
Une comparaison précise entre la formulation de la méthode dite ”rainflow multiaxial”,
proposée initialement dans le domaine temporel par Beste et al. [3], et la contrainte
équivalente de von Mises révèle que ces deux approches mènent à des implémentations
similaires. La formulation fréquentielle de la méthode du ”rainflow multiaxial” est un
des éléments originaux de ce travail et fait l’objet du § 3.3.3.
Nous utilisons ensuite le modèle éléments finis d’une structure simple auquel nous
appliquons, dans chaque élément, les deux méthodes fréquentielles proposées. Afin
de s’assurer de la cohérence de ces deux méthodes, les résultats sont alors comparés
à ceux obtenus par la méthode temporelle basée sur le plan critique, considérée ici
comme la référence. Cette méthode décrite en début de chapitre est appliquée à des
réalisations du tenseur des contraintes obtenues par des simulations de Monte-Carlo
(§ 3.4).
Le dernier paragraphe est consacré à l’étude des résultats (§ 3.5). Cette dernière partie
met en évidence l’efficacité des méthodes fréquentielles, qui produisent de très bonnes
prédictions, au moins du point de vue qualitatif, et permettent de gagner un temps
de calcul considérable.
3.2 Méthode temporelle de prédiction de durée de
vie
Comme nous l’avons vu en décrivant brièvement les mécanismes de l’endommagement
par fatigue au premier chapitre, l’amorçage d’une fissure dépend de deux variables :
la contrainte de cisaillement et la contrainte normale agissant sur un plan physique.
Les méthodes de calcul de durée de vie parmi les plus prometteuses, dans le cas
des états de contraintes multiaxiaux, sont par conséquent souvent basées sur des
combinaisons de ces deux variables et sur la recherche du plan d’amorçage de la
fissure. Ces approches sont regroupées sous le nom d’approches du plan critique.
Certains de ces modèles sont basés sur les déformations ou sur des approches mixtes en
contraintes et déformations, voir par exemple Bannantine & Socie [1], Brown & Wang
[4]. Ces modèles ont été développés dans le cadre d’une approche locale de la zone de

3 Méthode temporelle de prédiction de durée de vie 43
concentrations de contraintes et sont dérivés de la fatigue oligocyclique. Le modèle
de Robert et al. que nous choisissons ici est basé sur une approche en contraintes,
dérivé de la fatigue à grand nombre de cycles, il est décrit en détails dans Weber
et al. [24]. D’après les auteurs, l’application de cette méthode au dimensionnement
d’un triangle de suspension de voiture a permis d’obtenir des prédictions de durée de
vie conservatives dans un rapport de 1.3 par rapport aux essais. Les développements
antérieurs de cette méthodologie se trouvent dans Robert et al. [20], Weber et al.
[25], Kenmeugne et al. [11]. Avant de décrire cette méthode, nous devons définir les
différentes grandeurs relatives à un plan physique intervenant dans ce type d’approche,
ainsi que l’étape intermédiaire du calcul de durée de vie sous chargement multiaxial
périodique.
3.2.1 Projection du tenseur des contraintes sur un plan
Lorsque le tenseur des contraintes sij(t) est déterminé en un point de la structure pour
une durée d’observation T , ce dernier peut être projeté sur chaque plan physique ψ
passant par ce point. Chacun de ces plans est défini par son vecteur normal n, décrit
par deux angles sphériques γ et φ, tels que n = (sin γ cos φ, sin γ sin φ, cos γ) T . Ceci
est illustré Fig. 3.1.a.
Fig. 3.1 – (a) Projection du tenseur des contraintes sur un plan ψ, (b) trajet de la
contrainte de cisaillement dans le plan
Suite à cette projection, nous obtenons, d’une part, une contrainte normale au plan,
notée sn(t) et, d’autre part, une contrainte tangentielle au plan, notée τn(t), appelée
également contrainte de cisaillement. La contrainte normale sn(t) varie selon la direction
n, elle peut être facilement décomposée en une partie moyenne
et une partie alternée,
snm = 1
T
sn(t) (3.1)
T 0

44 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
sna(t) = sn(t) − snm
(3.2)
Quant à la contrainte tangentielle, le problème de la décomposition en une partie
moyenne et une partie alternée est plus compliqué. En effet, le vecteur τn(t) est en
général exprimé dans la base (u, v) appartenant au plan ψ. u = (− sin φ, cos φ, 0) T
et v = (− cos γ cos φ, − cos γ sin φ, sin γ) T sont choisis de façon à former un repère
othonormé direct (n, u, v). Le vecteur τn(t) = (τu(t), τv(t)) T décrit un trajet complexe
dans le plan ψ. En effet, sa norme et sa direction varient en fonction du temps t.
La solution à ce problème, discuté par exemple par Papadopoulos [14], est alors de
déterminer le plus petit cercle circonscrit au trajet décrit par τn(t) dans le plan ψ,
comme l’illustre la Fig. 3.1.b. La partie moyenne τnm est alors donnée par la distance
entre l’origine du repère (u, v) et le centre du cercle circonscrit. La partie alternée de la
contrainte de cisaillement τna(t) agissant sur ce plan est donnée par la distance entre
le centre du cercle circonscrit et la pointe du vecteur τn(t). L’amplitude maximale Ca
atteinte par la contrainte de cisaillement dans le plan considéré est alors donné par le
rayon R du plus petit cercle circonscrit.
Comme nous l’avons vu au chapitre 1, les fissures s’amorcent en surface où l’état
des contraintes est plan. Dans ce cas, le tenseur des contraintes peut être écrit sous
forme d’un vecteur s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t)) T , exprimé dans le repère local (x, y).
La projection de ce tenseur des contraintes sur le plan ψ peut alors s’écrire sous forme
vectorielle :
avec
⎛
sψ(t) = (sn(t), τu(t), τv(t)) T = C(γ, φ) · s(t) (3.3)
sin 2 γ cos 2 φ sin 2 γ sin 2 φ 2 sin 2 γ cos φ sin φ
⎜
C(γ, φ) = ⎜
⎝
− sin φ sin γ cos φ sin φ sin γ cos φ cos2 φ sin γ − sin 2 φ sin γ
− cos γ sin γ cos2 φ − cos γ sin γ sin 2 ⎟
⎠
φ −2 cos γ cos φ sin γ sin φ
(3.4)
3.2.2 Chargement multiaxial périodique
Nous avons vu au chapitre 2 que certains matériaux présentent une limite d’endurance.
Cette limite d’endurance est définie comme le plus petit niveau de contrainte se
menant à l’amorçage d’une fissure après généralement Ne = 10 6 − 10 7 répétitions du
cycle de la contrainte. Une éprouvette soumise à un contrainte périodique alternée,
⎞

3 Méthode temporelle de prédiction de durée de vie 45
notée s(t) = s(t + T ), t ∈ [0, T ], ne dépassant pas la contrainte seuil se est considérée
comme ayant une durée de vie infinie.
Ce concept de limite d’endurance a été généralisé aux chargements multiaxiaux, en
séparant alors l’espace des contraintes en deux parties. La première partie est une
région de l’espace des contraintes de non-fissuration, si les contraintes ne sortent pas
de cette région durant le cycle, la pièce est considérée comme ayant une durée de vie
infinie. Au contrainte, si les contraintes évoluent hors de cette région pendant une
partie du cycle, l’initiation d’une fissure avant Ne répétitions de ce cycle est prédite.
Considérons un chargement multiaxial périodique, celui-ci induit, en chaque point de
la structure, un tenseur des contraintes périodique de la forme [sij(t) = sij(t + T )],
quelque soit t ∈ [0, T ]. Il est alors possible de trouver une fonction de ce tenseur
g(sij(·), T, N) ≤ 1 (3.5)
Cette fonction g est appelée critère de fatigue multiaxial. Si l’inégalité (3.5) est satisfaite
en tout point de la structure pour N = Ne, alors la durée de vie est considérée
comme étant supérieure à Ne répétitions du cycle multiaxial considéré voire même
infinie. Sinon, une fissure peut apparaitre en tout point de la structure où l’inégalité
n’est pas satisfaite. Un tel critère doit être indépendant du repère dans lequel le
tenseur des contraintes est exprimé, il doit également prédire le comportement du
matériau sous sollicitation uniaxiale et reproduire le diagramme de Haigh (voir Fig.
2.2). Enfin, il doit corréler le mieux possible les résultats expérimentaux.
Historiquement, ces critères ont été utilisés comme critères multiaxiaux d’endurance,
la fonction g étant déterminée pour N = Ne. Toutefois, si le concepteur veut dimensionner
une structure pour une durée de vie précise, c’est-à-dire N répétitions du cycle
multiaxial de durée T , il peut tout à fait résoudre l’équation implicite de variable N :
g(sij(·), T, N) = 1 (3.6)
De nombreux critères ou fonctions g ont été proposés dans la littérature, une revue
des différentes propositions a été publiée par You & Lee [27]. Nous reviendrons sur
les critères de fatigue multiaxiaux plus longuement au chapitre suivant et décrivons
ici simplement un exemple de critère de type plan critique utilisé dans la méthode
de prédiction de durée de vie que nous présentons. Tout critère plan critique a pour
forme générale une fonction g dont les variables sont les grandeurs relatives à un plan
physique
g( τna(t) , sna(t), snm, N) = 1, t ∈ [0, T ] (3.7)
Nous constatons que seule l’amplitude de la contrainte de cisaillement τna(t) =
τn(t) − τnm intervient dans la fonction g et non sa partie moyenne τnm. Comme le
montrent les résultats expérimentaux présentés par Sines & Ohgi [23], la contrainte
moyenne de cisaillement n’a en effet pas d’influence significative sur la durée de vie

46 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
dans le domaine des très grands nombres de cycles. Selon Findley [9], Dang Van et al.
[6] et Robert [19], le plan critique est défini comme le plan ψ donnant la plus grande
valeur d’une certaine combinaison linéaire des différentes variables. A titre d’exemple,
Robert propose la fonction g suivante :
g(.) = max
n
max
0≤t≤T
τna(t) +α(N)sna(t) + β(N)snm
θ(N)
(3.8)
Les coefficients α(N), β(N) et θ(N) peuvent être déterminés à partir d’essais de
fatigue simples en torsion et en traction. Ces coefficients sont donnés par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
α(N) = (t−1(N)/f−1(N) − 1/2)/ (t−1(N)/f−1(N))(1 − t−1(N)/f−1(N))
θ(N) = t−1(N) α 2 (N) + 1
β(N) = 2θ(N)/f0(N) − f0(N)/8θ(N) − α(N)
(3.9)
où f−1(N), t−1(N), f0(N) sont les nombres de cycles à l’initiation de fissure obtenus
respectivement en traction alternée, en torsion alternée et en traction répétée.
En pratique, la durée de vie N correspondant au cycle du tenseur des contraintes
[sij(t) = sij(t + T )], consiste à trouver le plan (γ, φ) donnant la plus grande valeur de
la fonction (3.8) à la limite d’endurance du matériau N = Ne, ce plan est appelé plan
critique et son orientation est définie par (γ ∗ , φ ∗ ). Ceci permet d’une part, de savoir
si le cycle est endommageant, c’est-à-dire si g(.) > 1, et d’autre part, d’identifier
l’instant t qui maximise l’éq. (3.8) pour t ∈ [0, T ]. L’équation (3.8) ne comporte alors
plus qu’une variable implicite N, à déterminer en résolvant l’équation g(N) = 1.
3.2.3 Chargement multiaxial variable ou aléatoire
Lorsque les contraintes ont des amplitudes variables ou aléatoires dans les différentes
directions, il est alors nécessaire, par analogie aux chargements uniaxiaux, d’extraire
des cycles élémentaires de contrainte. Chaque cycle élémentaire produit un dommage
qui peut être calculé en appliquant un critère de fatigue multiaxial. En tout point
de la structure où l’endommagement doit être estimé, il est nécessaire de calculer
le dommage d(ψ) correspondant à chaque plan physique ψ passant par ce point. Le
dommage associé à chaque plan est calculé de la façon suivante :
– Le tenseur des contraintes est projeté sur le plan ψ considéré, défini par les angles
sphériques (γ, φ).
– Pour identifier des cycles de contraintes, un comptage rainflow est réalisé sur sn(t),
la contrainte normale au plan ψ.

3 Méthode temporelle de prédiction de durée de vie 47
– Chaque cycle rainflow élémentaire, comme celui mis en évidence par la zone grisée à
la Fig. 3.2, produit un dommage qui est calculé en appliquant un critère de fatigue
multiaxial. Les critères applicables à ce stade de l’analyse sont ceux de Findley,
Dang Van ou Robert. Nous choisissons ici de résoudre l’éq. (3.8). Nous obtenons
alors le dommage d = 1/N correspondant au ”cycle multiaxial” des contraintes
identifié.
– Le point précédent est répété pour tous les cycles extraits à partir de la contrainte
normale agissant sur le plan considéré et le cumul du dommage est réalisé selon la
loi de Palmgren-Miner (décrite au chapitre 2), donnant ainsi le dommage relatif au
plan considéré d(ψ).
Le dommage sur tous les plans est ainsi estimé. Le plan critique ψ ∗ , qui subit l’endommagement
le plus grand, est identifié. Le dommage D, au point de la structure
où le calcul est réalisé, est donné par la valeur trouvée sur ce plan
D = d(ψ ∗ ) = max
ψ (d(ψ))
Fig. 3.2 – Contraintes relatives à un plan physique ψ et extraction d’un cycle rainflow
sur la contrainte normale

48 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
3.2.4 Simulation de Monte-Carlo d’un processus vectoriel
aléatoire
Afin d’appliquer le modèle temporel précédent après l’analyse spectrale d’une structure
soumise à des chargements gaussiens multiaxiaux, nous traitons, dans ce paragraphe
le problème de la génération artificielle de processus vectoriels aléatoires à
partir d’une matrice de PSD donnée.
Fig. 3.3 – Simulation d’un processus vectoriel gaussien : (a) éléments diagonaux de
la matrice Φs(ω), (b) réalisation du vecteur des contraintes s(t) générée à partir de
Φs(ω)
Comme nous l’avons vu, pour les états biaxiaux de contraintes, le tenseur
des contraintes peut être écrit sous forme d’un vecteur aléatoire s(t) =
(sx(t), sy(t), sxy(t)) T , caractérisé dans le domaine fréquentiel par une matrice des
densités spectrales de puissance

3 Méthodes fréquentielles de prédiction de durée de vie 49
Φs(ω) =
⎛
⎝ Φsxsx(ω) Φsxsy(ω) Φsxsxy(ω)
Φsysx (ω) Φsysy (ω) Φsysxy (ω)
(ω) Φsxysy (ω) Φsxysxy (ω)
Φsxysx
⎞
⎠ (3.10)
Cette matrice de PSD relative au vecteur s(t) devra être calculée lors de l’analyse
spectrale de la structure par éléments finis en tout point où le dommage doit être
calculé. Dans la suite du texte nous noterons désormais en gras la matrice des PSD
Φ(ω) relative à un processus vectoriel aléatoire et nous noterons normalement Φ(ω)
la PSD relative à un processus scalaire aléatoire.
La génération d’un processus scalaire aléatoire à partir d’une PSD donnée est
brièvement mentionnée au § 2.2.1. Ce problème classique est résolu en utilisant la
méthode de Monte-Carlo couplée à l’algorithme de la Transformée de Fourier Rapide
(FFT). Il est d’ailleurs décrit dans tous les ouvrages théoriques, comme par
exemple Preumont [16] ou Wirshing et al. [26]. L’extension de l’algorithme FFT aux
processus vectoriels aléatoires n’est pas trivial, car les composantes du tenseur des
contraintes doivent non seulement avoir le bon contenu fréquentiel (décrit par les
éléments diagonaux de Φs(ω), mais les corrélations entre les différentes composantes
(décrites par les éléments hors diagonaux de Φs(ω)) doivent également être respectées.
Ces corrélations ont évidemment un effet sur la durée de vie et doivent être prise en
compte dans l’analyse de fatigue (Lagoda & Macha [12]).
Ce problème a été étudié dans la littérature, voir par exemple Shinozuka [22] et
Di Paola [7]. La procédure spécifique développée et implémentée au cours de cette
thèse est décrite en annexe, elle permet de générer artificiellement des réalisations
statistiquement indépendantes du tenseur des contraintes comme l’illustre la Fig. 3.3.
3.3 Méthodes fréquentielles de prédiction de durée
de vie
3.3.1 Méthode de la contrainte équivalente de von Mises
La méthode présentée dans ce paragraphe est basée sur une généralisation de la théorie
de la plasticité généralement appliquée dans le cas des chargements statiques. Selon
cette hypothèse, un endommagement sous chargement multiaxial peut être estimé en
trouvant une contrainte ou une déformation uniaxiale équivalente, sur laquelle il est
ensuite possible d’appliquer la théorie uniaxiale classique. En fatigue, cette théorie
est basée sur la courbe de Wöhler, le diagramme de Haigh et le cumul linéaire du
dommage de Palmgren-Miner.
D’après la littérature, nous remarquons que l’amplitude de la contrainte équivalente
de von Mises est souvent utilisée en première approximation dans le calcul de durée
de vie de composants soumis à des chargements multiaxiaux complexes, comme le
montre l’étude d’un composant de véhicule présentée par Heyes et al. [10]. Nous
notons également que les critères de fatigue multiaxiaux développés par Sines & Ohgi
[23] et par Crossland [5] reposent également sur la contrainte de von Mises.

50 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
Fig. 3.4 – Contrainte de von Mises évaluée dans le domaine temporel à partir de
l’échantillon du tenseur des contraintes de la Fig. 3.3.b
Pour un état de contraintes planes, celle-ci s’écrit :
s 2 c(t) = s 2 x(t) + s 2 y(t) − sx(t)sy(t) + 3s 2 xy(t) (3.11)
La Fig. 3.4 représente la contrainte de von Mises sc(t) calculée en appliquant la
relation (3.11) à la réalisation du tenseur des contraintes illustrée à la Fig. 3.3.b.
Nous remarquons que la nature quadratique de la contrainte sc(t) définie dans le
domaine temporel pose plusieurs problèmes, voir Segalman et al. [21] et Preumont &
Pitoiset [18] :
– la contrainte de von Mises n’est pas gaussienne, ni de moyenne nulle, si sx(t), sy(t)
et sxy(t) sont gaussiens et de moyenne nulle,
– sc(t) est toujours positive et ne se réduit pas à une contrainte alternée dans le cas
d’un chargement uniaxial alterné, il est par conséquent impossible d’extraire des
cycles élémentaires ayant un sens en terme de fatigue à partir de sc(t),
– le contenu fréquentiel de sc(t) n’est pas cohérent avec celui des composantes du tenseur
des contraintes. En d’autres termes, les PSD Φsxsx (ω), Φsysy (ω), Φsxysxy (ω),
des contraintes respectives sx(t), sy(t) et sxy(t), présentent un pic à chaque
fréquence de résonance ωi de la structure, alors que la PSD estimée à partir de
la contrainte sc(t), telle qu’elle est définie par l’éq. (3.11), ne présente pas de pic à
chaque fréquence ωi.
Ces différents problèmes peuvent être contournés en considérant l’éq. (3.11) au sens de
son carré moyen et en transformant ce processus aléatoire dans le domaine fréquentiel.
L’éq. (3.11) est une fonction du vecteur s(t) et peut s’écrire :
où la matrice constante Q est donnée par
s 2 c = s T Qs = T race{Q[ss T ]} (3.12)

3 Méthodes fréquentielles de prédiction de durée de vie 51
⎛
Q = ⎝
1 −1/2 0
−1/2 1 0
0 0 3
⎞
⎠ (3.13)
Cette contrainte de von Mises est un processus aléatoire dont l’espérance
mathématique E[.] est donnée par la relation
E[s 2 c] = T race(QE[ss T ]) (3.14)
où E[ss T ] est la matrice de covariance du vecteur des contraintes. Cette matrice de
covariance s’obtient en intégrant la matrice des densités spectrales de puissance du
vecteur des contraintes comme suit
E[ss T ] =
∞
−∞
Φs(ω)dω (3.15)
Par définition, nous avons également la relation entre la moyenne quadratique E[s 2 c(t)]
et la PSD de la contrainte de von Mises Φc(ω) correspondante :
E[s 2 c] =
∞
−∞
En combinant les éqs. (3.14) et (3.16), nous obtenons :
∞
−∞
Φc(ω)dω =
∞
−∞
Φc(ω)dω (3.16)
T race[QΦs(ω)]dω (3.17)
Cette relation intégrale est exacte et n’implique aucune hypothèse. Elle définit la
contrainte aléatoire de von Mises (voir également Preumont [16] et Preumont & Piéfort
[17]) comme un processus gaussien de moyenne nulle dont la densité spectrale de
puissance est :
Φc(ω) = T race[QΦs(ω)] =
i,j
QijΦsisj (ω) (3.18)
Nous appelons ce processus scalaire gaussien ”contrainte équivalente de von Mises”.
Cette définition fréquentielle permet de résoudre les problèmes cités précédemment :
– le processus est gaussien de moyenne nulle par construction,
– il se réduit à une contrainte alternée dans le cas d’un chargement uniaxial alterné,
– son contenu fréquentiel est bien cohérent avec le contenu fréquentiel des contraintes.
Φc(ω) est obtenue à partir de la matrice des densités spectrales de puissance des
composantes du tenseur des contraintes Φs(ω), selon le critère quatratique de von
Mises comme le montre les éqs. (3.18) et (3.14).

52 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
Nous obtenons non seulement un processus dont le contenu fréquentiel reflète le comportement
dynamique de la structure, mais nous soulignons aussi le fait que les processus
définis par les éqs. (3.18) et (3.11) ont la même variance. Nous savons d’une part,
que plus la variance de la contrainte est grande, plus la durée de vie de la structure
est courte (Bedowski et al. [2]) et d’autre part, que le contenu fréquentiel et la largeur
de bande du processus sont également déterminants en terme d’endommagement
par fatigue. Ayant défini un processus scalaire gaussien de moyenne nulle, toute les
méthodes décrites au chapitre 2 sont par conséquent applicables. Nous choississons,
dans la suite de cette étude, d’appliquer la méthode du ”Single Moment” à partir
de la PSD Φc(ω). Enfin, notons que l’extension de la méthode à un état triaxial de
contraintes peut être facilement réalisée en modifiant le vecteur s(t) qui contient les
composantes du tenseur des contraintes et en définissant la matrice Q de manière
appropriée.
Formulation éléments finis
Le calcul de la PSD de la contrainte de von Mises présente également l’avantage
d’être facilement intégrable dans le module d’analyse spectrale d’un code éléments
finis, comme nous le démontrons dans ce paragraphe. En notant αim la composante
i de la contrainte modale induite par le mode de vibration m lorsque l’amplitude
modale est unitaire, la contrainte si est donnée par la relation
si =
m
αimym
(3.19)
où ym est le vecteur des amplitudes modales. Les contraintes modales αim varient d’un
élément fini à l’autre, alors que ym est défini pour toute la structure. La transposition
de l’éq. (3.19) au cas des chargements aléatoires implique que
Φsisj (ω) =
αimαjnΦmn(ω) (3.20)
m,n
Φmn(ω) est la matrice des PSD des réponses modales, les indices m et n représentant
des modes de vibrations. Cette matrice est hermitienne et peut être calculée selon les
procédures décrites dans différents ouvrages, comme par exemple Preumont [16]. En
combinant l’éq. (3.20) à l’éq. (3.18) et en inversant les ordres de sommations, nous
obtenons :
Φc(ω) =
Φmn(ω)
Qijαimαjn =
Φmn(ω)Amn
m,n
où Amn est défini par la relation
i,j
Amn =
i,j
Qijαimαjn
m,n
(3.21)
(3.22)

3 Méthodes fréquentielles de prédiction de durée de vie 53
La somme sur m et n est réalisée sur les modes inclus dans l’analyse spectrale et la
somme sur i et j est réalisée sur les composantes du tenseurs. Amn résulte en fait
de l’application du critère quadratique de von Mises aux contraintes modales. Par
conséquent, cette grandeur ne dépend pas de la fréquence ω et elle varie d’un élément
fini à l’autre. La procédure décrite ci-dessus minimise les temps de calcul et a été
implémentée dans le code éléments finis SAMCEF.
Prise en compte d’une contrainte statique non nulle
Bien que nous ne nous intéressons dans le cadre de notre étude qu’aux chargements
de moyenne nulle, l’étude menée par Sines & Ohgi [23] montre que, pour une durée de
vie N fixée, l’amplitude de la contrainte de von Mises admissible diminue lorsque la
pression hydrostatique moyenne augmente. D’autre part, appliqué à une sollicitation
uniaxiale alternée, le critère de Sines permet de reproduire le diagramme de Haigh
donnant la contrainte alternée admissible sa en fonction de la contrainte moyenne sm
menant à l’initiation d’une fissure après N cycles (voir Fig. 2.2). Par conséquent, il a
été proposé par Preumont & Piéfort [17] de prendre en compte un chargement statique
superposé à un chargement aléatoire en combinant la pression hydrostatique moyenne
pm, remplaçant alors une contrainte uniaxiale moyenne sm, avec l’amplitude de la
contrainte équivalente de von Mises sca, remplaçant alors une contrainte uniaxiale
alternée sa. Ainsi, ces deux termes équivalents permettent de ramener le problème
multiaxial à un problème uniaxial classique et d’utiliser les résultats du diagramme de
Haigh pour calculer le dommage produit par un cycle multiaxial donné qui présente
des composantes statiques non nulles.
Comme nous l’avons vu dans le cas d’une sollicitation uniaxiale, la prise en compte
d’une contrainte moyenne revient à utiliser une courbe de Wöhler du matériau modifiée.
La courbe initiale, modélisée par l’équation de Basquin Ns β = C, est remplacée
la courbe de Wöhler translatée vers le bas, pour laquelle l’équation de Basquin devient
Ns β = C ′ . Plus la contrainte moyenne sm est élevée, plus la courbe de Wöhler,
donnant la contrainte alternée sa pour chaque durée de vie N, doit être abaissée. La
contrainte sm est alors remplacée par la pression hydrostatique pm dans les éqs. (2.3)
et (2.4).
3.3.2 Méthode du rainflow multiaxial
Nous présentons dans ce paragraphe une formulation fréquentielle de la méthode
dite du rainflow multiaxial, initiallement proposée dans le domaine temporel. Comme
nous l’avons expliqué dans le deuxième chapitre, le comptage rainflow est actuellement
considéré comme étant la méthode donnant les meilleurs résultats en fatigue uniaxiale
aléatoire. Cette méthode de décomposition d’un signal aléatoire en cycles élémentaires
a été étendue au cas des processus aléatoires multiaxiaux. La méthode du multiaxial
rainflow (Beste et al. [3], Dressler et al. [8]) consiste à compter des cycles rainflow sur
toutes les combinaisons linéaires sr(t) possibles des composantes du tenseur aléatoire
des contraintes. D’après les auteurs, la méthode du multiaxial rainflow donne des
résultats comparables à ceux obtenus par une approche de type plan critique. En

54 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
pratique, dans le cas d’un état plan de contraintes, un ensemble de combinaisons
linéaires
sr(t) = c1sx(t) + c2sy(t) + c3sxy(t) = c T s(t) (3.23)
est construit, l’indice r signifiant ”multiaxial rainflow”. Le vecteur constant c =
(c1, c2, c3) T est défini comme appartenant à une sphère de rayon unitaire tel que :
c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 = 1 (3.24)
Selon la méthode du rainflow multiaxial, le dommage est calculé pour chaque processus
scalaire sr(t), et le processus produisant le plus grand dommage est retenu. Nous
remarquons que la méthode se réduit bien à un comptage rainflow dans le cas d’une
contrainte unidirectionnelle.
Nous passons maintenant à la formulation fréquentielle de cette méthode. La fonction
d’autocorrélation de sr(t) est reliée à la matrice de covariance du vecteur des
contraintes par
Rr(t) = E[sr(t + τ)sr(t)]
où la matrice constante Q ∗ est définie par
Q ∗ = cc T =
= E[s T (t + τ)cc T s(t)] (3.25)
= E[s T (t + τ)Q ∗ s(t)]
⎛
⎝
c 2 1 c1c2 c1c3
c1c2 c 2 2 c2c3
c1c3 c2c3 c 2 3
En comparant l’éq. (3.26) aux éqs. (3.12) et (3.14), il en résulte que
⎞
⎠ (3.26)
Rr(τ) = T race {Q ∗ E[s(t + τ)s T (t)]} (3.27)
En appliquant la transformée de Fourier à cette équation, nous obtenons la PSD Φr(ω)
du processus sr(t)
Φr(ω) = T race {Q ∗ Φs(ω)} =
i,j
Q ∗ ijΦsisj (ω) (3.28)
où Φs(ω) est la matrice des densités spectrales de puissances du vecteur des
contraintes. L’analogie avec l’éq. (3.18) est évidente. Contrairement à la méthode de
la contrainte équivalente de von Mises, la méthode du rainflow multiaxial recquiert

3 Application à une structure simple 55
un calcul de la PSD Φr(ω) pour tout vecteur c satisfaisant l’égalité (3.24), rendant
le calcul plus coûteux en temps que dans le cas de la méthode précédente. Malgré
cet inconvénient, la formulation fréquentielle du multiaxial rainflow, que nous avons
proposé pour la première fois au cours de ce travail, est beaucoup plus rapide que sa
formulation temporelle initiale. Nous appliquerons également la méthode du ”Single
Moment” pour calculer de dommage correspondant à chaque processus Φr(ω).
3.4 Application à une structure simple
Afin d’illustrer l’application des méthodes dans le domaine fréquentiel, nous traitons
ici l’exemple d’une éprouvette en acier, en forme de L. Sa géométrie est définie à la
Fig. 3.5.
Fig. 3.5 – (a) Géométrie, (b) maillage et (c) PSD des composantes du tenseur des
contraintes dans un élément sélectionné

56 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
L’éprouvette comporte une entaille arrondie ainsi qu’un trou et est encastrée à ses
deux extrémités. Chaque support est soumis à une accélération aléatoire définie par
un spectre idéal passe-bande qui s’exerce dans la direction perpendiculaire au plan de
l’éprouvette (z) - [Φa(ω) = 25 (m/s 2 ) 2 /rad/s, ωc = 2513 rad/sec], ωc est la fréquence
de coupure. Les accélérations aux deux encastrements sont totalement décorrélées
(indépendantes). Les cinq premiers modes (ω1 = 174 rad/sec, ω2 = 680 rad/sec, ω3 =
809 rad/sec, ω4 = 1836 rad/sec, and ω5 = 1862 rad/sec) sont compris dans la largeur
de bande de l’excitation. 481 éléments coques ont été utilisés pour la discrétisation.
L’épaisseur de l’éprouvette est de 0.5 mm. Le matériau est caractérisé en fatigue
par une courbe de Wöhler. Les constantes de l’équation de Basquin sont β = 9.82
et C = 4.0641 × 10 88 , la limite d’endurance se = 252 × 10 6 Pa est atteinte après
N = 1.28×10 6 cycles. La limite à la rupture du matériau en traction est Su = 566×10 6
Pa. La matrice des densités spectrales de puissance des contraintes peut être calculée
pour chaque élément fini comme le montre la Fig. 3.5. Sur cette figure, les densités
spectrales de puissance des trois composantes sx(t), sy(t) et sxy(t) dans un élément
sélectionné Fig. 3.5.b sont illustrées.
3.5 Résultats et discussion
Les figures 3.6.a et 3.6.b montrent respectivement le dommage par unité de temps obtenu
en appliquant la méthode de la contrainte équivalente de von Mises et la méthode
du rainflow multiaxial. L’échelle de couleur correspond au logarithme du dommage
par unité de temps. Plus la couleur tend vers le rouge, plus l’endommagement est
important. La méthode temporelle basée sur le concept du plan critique, décrite en
début de chapitre, a également été appliquée élément par élément. Afin d’obtenir un
résultat valable, le dommage a été moyenné sur 10 réalisations du vecteur s(t), obtenue
en appliquant la procédure décrite au § 3.2.4. Chaque réalisation présente une
durée de 12 s et est composée de 2 14 = 16384 pas de temps. La cartographie obtenue
à partir de ses simulations est représentée Fig. 3.6.c. La zone colorée en bleu foncé
reflète le fait que les contraintes restent en dessous de la limite d’endurance définie
par le critère appliqué, elles ne produisent donc pas de dommage.
Bien que les trois méthodes ne prédisent pas exactement les mêmes dommages dans
un élément donné, la localisation des niveaux d’endommagement sur la structure est
identique. Quatre zones critiques sont identifiées : près des encastrements (zone A et
zone B), la partie supérieure du trou (zone C) et la partie gauche de l’entaille (zone
D). Ces zones sont indiquées à la Fig. 3.6.c. Nous reviendrons plus en détails sur les
résultats obtenus dans ces quatres zones dans un prochain paragraphe.
La Fig. 3.7 présente une comparaison entre la densité spectrale de puissance obtenue
selon la méthode de la contrainte équivalente de von Mises et la méthode du rainflow
multiaxial pour l’élément indiqué à la Fig. 3.5.b. Les deux courbes sont presque
identiques. Il est également intéressant de remarquer que Φc(ω) et Φr(ω) présentent
effectivement des pics aux fréquences de résonances de la structures. Leur contenu
fréquentiel est en effet en accord avec celui observé sur les composantes du tenseur

3 Résultats et discussion 57
Fig. 3.6 – Cartographies du dommage obtenues sur l’éprouvette en L (a) méthode
équivalente de von Mises (domaine fréquentiel) (b) méthode du rainflow multiaxial
(domaine fréquentiel), (c) approche du plan critique (domaine temporel)
des contraintes comme le montre la Fig. 3.5.c. De plus, pour chaque fréquence ω, la valeur
de Φc(ω) ou Φr(ω) est supérieure à la valeur de Φsxsx (ω), Φsysy (ω) et Φsxysxy (ω).
Les deux processus équivalents représentent ainsi une sorte d’enveloppe fréquentielle
des PSD des composantes des contraintes. Précisons enfin que les deux méthodes
tiennent compte des corrélations entre les composantes du tenseur des contraintes,
l’importance de celles-ci sur la durée de vie calculée à partir de différents modèles a
été relevée par Lagoda & Macha [12].

58 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
Fig. 3.7 – Densités spectrales de puissance des processus de von Mises et du multiaxial
rainflow.
3.5.1 Temps de calcul
L’énorme avantage qu’offrent les méthodes fréquentielles réside dans la réduction des
temps de calcul par rapport aux méthodes temporelles traditionnelles. Les procédures
décrites dans ce chapitre ont été implémentées dans une ”toolbox MATLAB 5”. Les
routines les plus coûteuses en temps ont été écrites en FORTRAN. Les calculs ont été
réalisés sur une station de travail de type DEC-alpha. En ce qui concerne l’approche
temporelle du plan critique ou la méthode de rainflow multiaxial, le temps de calcul
dépend fortement du nombre de plans ou de combinaisons linéaires à examiner. Un
algorithme permettant de balayer un nombre limité de solutions a été développé par
Weber et al. [25], ce dernier a été implémenté, limitant ainsi l’examen du nombre de
plans ou de combinaisons entre 200 et 250. Les temps de calculs mesurés pour obtenir
les trois cartographies du dommage sont respectivement de 17 s pour la méthode
équivalente de von Mises (domaine fréquentiel), 96 s pour le multiaxial rainflow (domaine
fréquentiel) et environ une semaine, soit 604800 s, pour l’approche temporelle
du plan critique. Du point de vue conception, les méthodes fréquentielles apportent
donc un gain considérable de temps.
3.5.2 Analyse des zones critiques
Afin de comparer plus précisément les résultats obtenus par les trois méthodes dans les
éléments composants les zones critiques identifiées à la Fig 3.6.c, la Fig. 3.8 présente
une comparaison des valeurs numériques des dommages par unité de temps calculés
élément par élément.
En basant le classement des zones sur l’élément le plus endommagé de chacune d’entre
elles, le classement de la plus endommagée à la moins endommagée est B, D, A, C
selon l’approche du plan critique, considérée ici comme étant la méthode de référence.
Le classement établi selon la méthode de la contrainte équivalente de von Mises est
D, B, A et C et enfin B, A, C, D selon la méthode du rainflow multiaxial. Toutefois,
nous remarquons que dans chaque zone, la méthode de von Mises permet de détecter

3 Résultats et discussion 59
Fig. 3.8 – Dommage par unité de temps obtenu par les méthodes fréquentielles et
par la méthode temporelle dans les quatre zones identifiées Fig.3.6.c

60 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
les mêmes éléments les plus endommagés (entourés Fig. 3.8) que la méthode du plan
critique. D’un point de vue quantitatif, la Fig. 3.8 révèle, qu’aux encastrements (zones
A et B), la méthode de la contrainte équivalente de von Mises prédit un dommage
environ quatre fois moins important que la méthode du plan critique. En revanche,
cette même méthode est en bien meilleur accord avec la méthode temporelle dans les
deux autre zones que sont le trou (zone C) et l’entaille (zone D). Quant à la méthode
du rainflow multiaxiale, la tendance s’inverse. Cette méthode est en bon accord avec la
méthode du plan critique aux encastrements alors qu’elle prédit des endommagements
inférieurs au voisinage du trou et de l’entaille.
3.5.3 Explication des différences observées
Comme de nombreux auteurs l’ont observé (par exemple You & Lee [27], Papadopoulos
et al. [15], Weber et al. [24]), les critères basés sur une approche globale,
où interviennent des invariants du tenseur des contraintes, produisent de meilleurs
prédictions du dommage lorsques les contraintes principales tournent au cours du
chargement. Au contraire, les approches de type plan critique sont plus appropriées
lorsque les contraintes principales ont une orientation fixe dans l’espace.
Fig. 3.9 – Densité de probabilité de l’angle θ entre les directions principales et l’axe
local x dans les éléments #1 et #439
Examinons alors l’évolution des contraintes principales dans deux des zones critiques
représentatives : à l’encastrement A (élément #1) et au trou C (élément #439). La
densité de probabilité de l’angle θ entre le repère des directions principales et l’axe
local x est illustré Fig. 3.9. Nous observons que, dans l’élément #1 situé au voisinage
de l’encastrement, la densité de probabilité pθ(θ) présente un pic très marqué à θ = 0,
indiquant que les contraintes principales ne tournent pas à cet endroit de la structure.
Par conséquent, le plan subissant la contrainte de cisaillement la plus grande a une
orientation fixe dans l’espace. Il n’est pas surprenant que, dans ce cas, la contrainte

3 Conclusion 61
équivalente de von Mises , qui est proportionnelle à la moyenne quadratique de la
contrainte de cisaillement sur tous les plans passant par le point considéré (voir Sines &
Ohgi [23]), prédise alors un dommage moins important que les deux autres approches
pour lesquelles tous les plans de cisaillement possibles sont examinés.
Par contre, si nous obervons la fonction pθ(θ) dans l’élément #439, que montre la
Fig. 3.9, nous remarquons que les directions principales tournent bien davantage. Cela
signifie qu’un ensemble de plans de glissements sont activés et que l’endommagement
se réparti sur cet ensemble de plan. Dans ce cas, la contrainte de von Mises est tout
à fait appropriée, et est en meilleur accord avec la méthode du plan critique que ne
l’est la méthode du rainflow multiaxial. La même observation s’applique aux éléments
externes des encastrements, par example les éléments #25 et #396, où les contraintes
principales tournent plus à ces endroits précis qu’à leur voisinage.
Fig. 3.10 – Distribution du dommage plan par plan obtenu selon la méthode du plan
critique dans les éléments #1 et #439
Cette explication est confirmée par la Fig. 3.10 représentant la valeur du dommage
obtenue par la méthode du plan critique (domaine temporel), plan par plan, dans
les deux éléments #1 et #439. Comme prévu, dans l’élément #1, où les directions
principales sont fixes, le dommage est principalement concentré sur deux plans ; alors
qu’il est réparti sour toute une couronne de plans dans l’élément #439.
3.6 Conclusion
Une méthode temporelle de prédiction du dommage en fatigue multiaxiale aléatoire est
présentée et implémentée. Afin de l’appliquer après une analyse spectrale d’une structure
soumises à des vibrations aléatoires par éléments finis, une procédure permettant

62 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
de générer des échantillons temporels à partir des données spectrales sur les contraintes
dans chaque élément a été développée et implémentée. Ensuite, deux méthodes d’estimation
de l’endommagement directement applicables à partir de données spectrales
sur les contraintes ont été proposées et appliquées à une structure simple. La première
est basée sur la définition de la contrainte de von Mises comme un processus aléatoire
gaussien dont la densité spectrale de puissance est calculée. Elle est à l’origine de ce
travail, mais n’avait pas encore été confrontée à d’autres méthodes. La deuxième est
une implémentation dans le domaine fréquentiel de la méthode initialement temporelle
du rainflow multiaxial, formulation développée au cours de cette thèse. Nous avons
montré que les deux méthodes mènent à des implémentations identiques, même si le
rainflow multiaxial nécessite le balayage d’un grand nombre de combinaisons linéaires
des composantes du tenseur des contraintes. Sur la structure prise pour exemple, les
deux méthodes donnent des cartographies de l’endommagement qualitativement identiques.
De plus, une très bonne corrélation est mise en évidence lorque celles-ci sont
comparées à l’approche temporelle de type plan critique. Du point de vue de la conception,
les méthodes fréquentielles peuvent donc être appliquées pour localiser les zones
critiques sur une structure soumise à des vibrations aléatoires et rendent possible une
estimation rapide et fiable de la durée de vie dans la phase de conception. Pour un
même problème, elles se sont avérées être de plusieurs ordres de grandeurs plus rapide
que la méthode temporelle : 17 s pour la méthode fréquentielle la plus rapide contre
une semaine pour la méthode temporelle ! Pour une analyse plus précise, la méthode
temporelle plus coûteuse peut alors appliquée à quelques éléments critiques. Notons
enfin, que la rapidité des méthodes fréquentielles permet d’envisager un couplage de
celles-ci à des algorithmes d’optimisation structurale.

BIBLIOGRAPHIE 63
Bibliographie
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life prediction method’. Mechanical Engineering Publications, pp. 35–51.
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64 3. Méthodes de calcul de durée de vie en fatigue multiaxiale aléatoire
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Chapitre 4
Critères d’endurance en
fatigue multiaxiale aléatoire
4.1 Introduction
Les critères de fatigue multiaxiaux sont actuellement largement utilisés pour évaluer
la résistance à la fatigue à grand nombre de cycles de structures soumises à des
chargements périodiques multiaxiaux. Comme nous l’avons mentionné dans le chapitre
précédent, dans le cas d’un chargement multiaxial périodique induisant un tenseur
des contraintes [sij(t) = sij(t + T )] pour tout t ∈ [0, T ], il est possible de définir une
fonction g du tenseur des contraintes telle que la région de non fissuration de l’espace
des contraintes soit exprimée par l’inégalité
g(sij(t), T ) ≤ 1 (4.1)
Un revue complète des critères proposés dans la littérature à été publiée par You &
Lee [24] et, à l’exception de Macha [10], la plupart des critères sont définis par une
telle fonction g.
Bien que les critères de fatigue multiaxiaux ont été validés à partir de chargements
induisant des contraintes sinusoïdales, nous supposons qu’une limite de fatigue existe
également pour les chargements complexes induisant des contraintes d’amplitudes
variables ou aléatoires (voir Dang-Van [3]). Dans le cas des chargements aléatoires, la
valeur extrême définie par la fonction g(sij(·), T ) est également une variable aléatoire.
Par conséquent, nous pouvons nous demander quelle est la probabilité que l’inégalité
(4.1) soit satisfaite en chaque point de la structure. Ce problème est toutefois très
complexe et ne peut être résolu qu’à l’aide de simulations de Monte-Carlo, c’est-àdire
en générant artificiellement plusieurs réalisations du tenseur des contraintes, en
calculant la valeur du critère g pour chaque réalisation et en cherchant quelle est
la distribution la plus proche de celle observée. Cette approche est faisable mais très
coûteuse en temps de calcul. Des méthodes rapides d’estimation de la valeur locale du

66 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
critère peuvent donc être des outils de conception très appréciables, elles permettraient
alors de vérifier l’intégrité de la structure dès les premiers stades de développement.
Dans ce chapitre, nous proposons des approximations de deux critères de fatigue
multiaxiaux (Pitoiset et al. [19]). Nous considérons toujours le cas des chargements
gaussiens de moyenne nulle et nous considérons qu’aucun amorçage de fissure n’a lieu
avant Ne répétitions du chargement aléatoire périodique de durée T si E[g(sij(·), T )] <
1, en d’autres termes si, en moyenne, la valeur extrême (la fonction g) ne dépasse
pas le seuil de la limite de fatigue. Les structures que nous étudions étant linéaires
et les chargements étant gaussiens, la valeur moyenne du critère E[g(sij(·), T )] est
uniquement fonction de la matrice des PSD du tenseur des contraintes. Il est donc
possible de l’estimer directement à partir de l’analyse spectrale de la structure par
éléments finis.
Théoriquement, un processus gaussien défini par une densité spectrale de puissance
ne possède pas de réalisation périodique. Toutefois, comme nous l’avons vu au chapitre
2.2.1 (voir également l’annexe A), les simulations de Monte-Carlo d’un processus
stationnaire gaussien obtenues en utilisant l’algorithme de la FFT sont des fonctions
périodiques. Cet algorithme consiste à approximer la PSD par un spectre fini discret.
La durée de l’échantillon temporel généré dépend alors du nombre de points
choisis pour discrétiser le spectre. Pour de longues périodes d’observation du chargement
gaussien, l’espérance mathématique de la valeur extrême définie par le critère,
E[g(sij(·), T )], est une fonction qui croît lentement en fonction de T , et la valeur du
critère obtenue pour un processus donné n’est pas significativement affectée par le
choix d’une valeur de T spécifique.
Les critères peuvent être classés en deux familles principales, que nous décrivons en
début de chapitre en illustrant chacune d’elles par deux exemples. Comme il n’existe
pas d’approche universellement acceptée actuellement, le but de cette première partie
n’est pas d’être exhaustive mais plutôt de donner un aperçu des différentes théories.
Nous proposons ensuite des approximations spectrales de E[g(sij(·), T )] pour deux
des critères les plus couramment utilisés et que nous avons donnés en exemple, à
savoir le critère de type plan critique de Matake et le critère de Crossland, basé sur
des invariants du tenseur des contraintes. Nous obtenons ce que nous appellons des
formulations fréquentielles des critères de fatigue multiaxiaux. Comme les fissures
apparaissent en surface où l’état des contraintes est biaxial, nous considérons à nouveau
uniquement les états plans de contraintes. Pour des raisons de simplicité dans
les notations et les développements mathématiques, nous n’abordons que les chargements
de moyenne nulle. Les deux formulations sont alors appliquées au modèle
éléments finis de l’éprouvette en forme de ”L”, utilisée dans le chapitre précédent ;
elles permettent d’établir la cartographie des valeurs locales des critères dans tous les
éléments du modèle. Afin de démontrer la validité de ces formulations, nous générons
artificiellement des réalisations du tenseur des contraintes, nous calculons la valeur du
critère g(sij(·), T ) pour chaque réalisation et nous comparons la valeur E[g(sij(·), T )]
obtenue dans chaque élément grâce aux formulations fréquentielles à celle obtenue
en estimant la valeur moyenne de g(sij(·), T ) sur les réalisations de (sij(t), T ). Les
résultats obtenus sont ensuite présentés et discutés. Comme nous l’avons mentionné à
la fin du chapitre précédent, la performance des critères de fatigue est liée à la variabi-

4 Les différents types de critères multiaxiaux 67
lité des directions du repère des contraintes principales pendant le chargement. Nous
terminons donc ce chapitre par la présentation d’un outil fréquentiel permettant de
calculer la densité de probabilité de l’angle observé entre le repère local dans lequel
le tenseur des contraintes est exprimé et le repère des contraintes principales. Cette
méthode spectrale permet d’orienter éventuellement le concepteur dans le choix d’un
critère lorsque celui-ci veut examiner une zone précise de la structure.
4.2 Les différents types de critères multiaxiaux
4.2.1 Les critères de type plan critique
Comme nous l’avons mentionné en présentant le critère de Robert au début du chapitre
précédent, les critères de type plan critique sont basés sur le fait que le comportement
en fatigue d’un matériau en un point donné de la structure est imposé par le
plan matériel le plus sollicité passant par ce point. La sévérité du cycle des contraintes
sur un plan donné est alors exprimée par certaines combinaisons linéaires de grandeurs
liées à la contrainte normale et à la contrainte de cisaillement agissant sur ce
plan. Nous présentons ici deux exemples classiques de critères de type plan critique :
les critères de Matake [12] et de Findley [6]. De nombreux auteurs ont proposés des
critères du même type, nous pouvons en citer quelques uns à titre indicatif, comme
par exemple Dang-Van [3], McDiarmid [13] ou encore Galtier & Séguret [7].
Critère de Matake
Ce critère est basé sur l’observation selon laquelle l’amorçage des fissures en fatigue à
grand nombre de cycles est principalement dû aux déformations plastiques subies par
les cristaux les plus défavorablement orientés par rapport à la direction du chargement.
La principale variable responsable de l’accumulation de déformations plastiques le long
de certains plans de glissement est la contrainte de cisaillement agissant sur ces plans
(voir par exemple Papadopoulos [15]).
Conformément à cet argument, Matake [12] définit le plan critique comme étant le
plan de normale n ∗ défini par les angles (γ ∗ , φ ∗ ) où l’amplitude de la contrainte de
cisaillement (cf Fig. 3.1.b et § 3.2.1) est maximale ; elle est notée C ∗ a et est obtenue
comme suit :
C ∗ a = max
n Ca(n) = max ( max
n 0≤t≤T τn(t) − τnm ) (4.2)
L’orientation de la fissure à l’amorçage est donc déterminée par le couple des angles
sphériques (γ ∗ , φ ∗ ). En notant respectivement s ∗ na et s ∗ nm l’amplitude et la moyenne
de la contrainte normale agissant sur le plan γ = γ ∗ et φ = φ ∗ , le critère de Matake
est exprimé par
g(sij(·), T ) = C∗ a + α(s ∗ nm + s ∗ na)
β
≤ 1 (4.3)

68 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Nous précisons que l’amplitude de la contrainte normale sna agissant sur un plan de
normale n est donnée par :
sna = 1
max
2 0≤t≤T sna(t) − min
0≤t≤T sna(t)
(4.4)
Ce critère est donc exprimé comme la combinaison linéaire de l’amplitude du cisaillement
et la valeur maximale de la contrainte normale agissant sur le plan critique,
nous remarquons que, dans le cas général, C ∗ a et s ∗ na ne sont pas atteints au même
instant du cycle.
α et β sont des paramètres liés au matériau définis par
⎧
⎨
⎩
α = (2t−1(N)/f−1(N)) − 1
β = t−1(N)
où f−1 et t−1 sont respectivement les limites d’endurance en traction alternée et
en torsion alternée. Ces paramètres sont déterminés en appliquant le critère à deux
chargements simples (traction alternée et torsion alternée), menant à un amorçage de
fissure après Ne applications du cycle.
Critère de Findley
Le critère de Findley [6] correspond à la limitation d’une combinaison linéaire de
l’amplitude de la contrainte de cisaillement et de la valeur maximale de la contrainte
normale agissant sur le plan critique n ∗ . Selon Findley, ce plan est déterminé par
max Ca(n) + α(snm + sna)
n
(4.5)
Lorsque le plan critique n ∗ est identifié, le critère ne prédit aucun amorçage de fissure
après N répétitions du cycle de contraintes considéré si
g(sij(·), T ) = C∗ a + α(s ∗ nm + s ∗ na)
β
≤ 1 (4.6)
il s’écrit donc de façon identique au critère de Matake, seule la définition du plan
critique change. α et β sont des paramètres liés au matériau et sont définis en fonction
des limites d’endurances du matériau en traction alternée et torsion alternée, observée
après Ne cycles. α et β sont définis différemment des coefficients donnés pour le critère
de Matake.
4.2.2 Les critères de type approche globale
Cette catégorie de critères peut être divisée en trois groupes distincts :

4 Les différents types de critères multiaxiaux 69
– les critères basés sur des invariants du tenseur des contraintes et de son déviateur,
comme par exemple les critères de Sines & Ohgi [21], de Crossland [2] ou encore de
Marin [11].
– les critères basés sur des contraintes relatives à des plans matériels dont la globalité
provient du fait qu’une moyenne quadratique de ces contraintes sur l’ensemble des
plans est calculée, nous pouvons citer par exemple le critère de Papadopoulos [15].
– les critères basés sur une approche énergétique, comme par exemple les critère
d’Ellyin & Golos [5] et de Palin-Luc & Lasserre [14].
Critère de Crossland
Le critère de Crossland [2] est basé sur des invariants du tenseur des contraintes et
de son déviateur et s’écrit :
J2,a + α max p(t)
≤ 1, t ∈ [0, T ] (4.7)
β
où J2,a est l’amplitude du deuxième invariant du déviateur des contraintes donné,
lorsque les composantes du tenseur des contraintes sont de moyenne nulle, par la
relation
J2,a = 1
√ 3 max
0≤t≤T |sc(t)| (4.8)
où sc(t) est la contrainte de von Mises définie pour un état biaxial des contraintes par
la relation quadratique
s 2 c(t) = s 2 x(t) + s 2 y(t) − sx(t)sy(t) + 3s 2 xy(t) (4.9)
p(t) est la pression hydrostatique définie comme le premier invariant du tenseur sij(t)
et peut être écrite pour un état plan de contraintes
α et β sont des paramètres liés au matériau définis par
⎧
⎨
⎩
p(t) = 1
3 (sx(t) + sy(t)) (4.10)
α = (t−1(N) − f−1(N)/ √ 3)/(f−1(N)/3)
β = t−1(N)
où f−1 et t−1, comme pour le critère de Matake, sont respectivement les limites
d’endurance en traction alternée et en torsion alternée.

70 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Critère de Papadopoulos
D’après Papadopoulos [15], l’accumulation de microdéformations plastiques dans une
direction de glissement donnée appartenant à un plan de glissement d’un grain de
cristal est proportionnelle à l’amplitude Ta de la projection de la contrainte de cisaillement
dans cette direction, lorsque le nombre de cycles appliqués tend vers l’infini.
Lorsque cette quantité Ta de déformation plastique accumulée, illustrée à la Fig.
4.1, dépasse une certain seuil, les dislocations se déplaçant selon certains plans de
glissement finissent par former des microfissures.
Pour parler de fissuration au sens de l’ingénieur, ces microfissures doivent commencer
à se propager de façon à être détectables et à dépasser l’échelle du grain de cristal,
pour atteindre après coalescence, l’échelle d’un volume élémentaire V du matériau
contenant plusieurs cristaux. Ce début de propagation est favorisé par la contrainte
normale agissant sur les microfissures. Pour tenir compte de l’amorçage de plusieurs
microfissures dans différents cristaux à l’intérieur d’un volume élémentaire donné,
Papadopoulos propose de calculer :
– la valeur moyenne de l’amplitude de la contrainte normale agissant sur l’ensemble
des plans, il est possible de montrer que cette grandeur est la contrainte hydrostatique
p(t) définie pour les états plans de contraintes par l’éq. (4.10) ;
– la moyenne quadratique volumétrique de Ta, sur toutes les directions χ de chaque
plan et sur tous les plans matériels (γ, φ) passant par le point où le tenseur des
contraintes a été calculé, cette grandeur est définie par
< T 2
a > = √
1
5
8π2 2π π
γ=0
φ=0
2π
χ=0
(Ta(γ, φ, χ)) 2 dχ sin φ dφ dγ (4.11)
Fig. 4.1 – Définition de l’amplitude de la contrainte de cisaillement dans une direction
du plan ψ donnée

4 Formulation fréquentielle du critère de Matake 71
Le critère de Papadopoulos s’écrit ensuite :
< T 2
a > + α max p(t)
≤ 1, t ∈ [0, T ] (4.12)
β
α et β sont à nouveau des paramètres liés aux limites d’endurance du matériau en
traction alternée et en torsion alternée observées après Ne cycles.
4.2.3 Optimisation des temps de calcul des critères
Le principal obstacle à l’utilisation des critères de type plan critique en bureau d’étude
est le temps de calcul qu’ils nécessitent, lorsque la séquence de chargement à traiter
est complexe et définie par un grand nombre de points. Différentes propositions et
améliorations des algorithmes en vue de réduire les temps de calculs ont été proposées
et sont décrites en détails dans Kenmeugne [8] et Weber et al. [23].
La première optimisation concerne la recherche du plan critique au moyen du balayage
des différents plans passant par un point donné (voir Fig. 3.1). Kenmeugne
[8] propose alors de remplacer les incréments constants dγ et dφ utilisés dans la
discrétisation des angles sphériques γ et φ, par une discrétisation non constante de φ.
Les nouveaux incréments dφ sont alors calculés de façon à obtenir des éléments d’une
surface constante sur la sphere. Par conséquent, le nombre de facettes considérées sur
chaque latitude est variable.
La seconde optimisation concerne la recherche du plus petit cercle circonscrit au trajet
décrit par la contrainte de cisaillement dans un plan donné. Le nouvel algorithme
proposé est basé sur la recherche de 12 points cardinaux du trajet relatifs à trois
repères appartenant au plan considéré. Ces trois repères sont obtenus par deux rotations
successives de 30 ◦ du repère initial. La réduction du trajet de chargement à
12 points permet ensuite l’utilisation d’un algorithme plus classique dont la rapidité
d’exécution dépend fortement du nombre de points à traiter.
4.3 Formulation fréquentielle du critère de Matake
Nous proposons dans ce paragraphe une formulation fréquentielle du critère de Matake.
Nous avons choisi ce critère pour deux raisons. La première raison est que le
critère de Matake est exprimé par une combinaison linéaire des valeurs extrêmes de
deux variables. La valeur de cette combinaison est plus simple à approximer dans le
domaine spectral que la valeur extrême d’une combinaison linéaire de deux variables
corrélées comme nous les trouvons par exemple dans les critères proposés par Dang
Van ou Robert. La seconde raison est que le critère de Matake prédit très correctement
l’amorçage pour différents types de chargements multiaxiaux. Comme le montrent les
études menées par Papadopoulos et al. [16] et Weber et al. [22], ce critère mène à des
erreurs entre les prédictions et les essais allant de -20% à +20%.
Nous rappelons que nous ne traitons que les chargements de moyenne nulle. Par
conséquent, la projection du tenseur des contrainte sur un plan donné implique que

72 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
la contrainte moyenne normale à ce plan snm = 0. Pour les chargements de moyenne
nulle, le critère s’écrit donc :
g(sij(·), T ) = C∗ a + αs ∗ na
β
≤ 1, (4.13)
combinant ainsi l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’amplitude de la
contrainte normale agissant sur le plan critique. Le plan critique est défini selon Matake
comme étant le plan physique subissant la plus grande amplitude de la contrainte
de cisaillement. Nous rappelons qu’idéalement nous devrions calculer la probabilité
∗ Ca + αs
P
∗ na
β
≤ 1, en tout point de la structure
(4.14)
mais que ce problème de probabilité de rupture ne peut actuellement être abordé
qu’à l’aide de simulations de Monte-Carlo. Nous proposons alternativement une approximation
plus simple, mais qui présente l’avantage d’être formulée explicitement.
Dans ce but, nous supposons qu’aucun amorçage de fissure ne se produit avant Ne
répétitions du chargement aléatoire périodique d’une durée T si
E[g(sij(·), T )] = E[C∗ a] + αE[s ∗ na]
β
≤ 1 (4.15)
en tout point de la structure. De la même façon, comme la contrainte de cisaillement
est une variable aléatoire, nous définissons le plan critique comme le plan où la valeur
moyenne (sur un nombre infini de réalisations du tenseur) du rayon du cercle
circonscrit au trajet décrit par cette contrainte de cisaillement (voir Fig. 3.1) atteint
sa valeur maximale.
4.3.1 Définition fréquentielle des contraintes relatives à un
plan physique
Toute projection d’un tenseur des contraintes gaussien de moyenne nulle sur un plan
physique donné résulte en trois processus sn(t), τu(t) et τv(t) gaussiens et de moyennes
nulles. Ces trois variables représentent respectivement la contrainte normale, et les
deux composantes de la contrainte tangentielle agissant sur le plan de normale n. Si
les composantes du tenseur des contraintes sont corrélées, alors les trois processus
relatifs à un plan physique sont également corrélés et nous pouvons définir la matrice
des PSD du vecteur gaussien sψ = (sn(t), τu(t), τv(t)) T , que nous appelons Φψ(ω)
telle que
Φψ(ω) =
⎛
⎝ Φnn(ω) Φnu(ω) Φnv(ω)
Φun(ω) Φuu(ω) Φuv(ω)
Φvn(ω) Φvu(ω) Φvv(ω)
⎞
⎠ (4.16)

4 Formulation fréquentielle du critère de Matake 73
Dans le cas particulier d’un état de contraintes planes et pour un chargement gaussien
de moyenne nulle, le tenseur des contraintes est exprimé sous la forme d’un vecteur
gaussien s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t)) T caractérisé par la matrice de PSD Φs(ω) =
[Φsisj (ω)]. La matrice Φψ(ω) peut alors être facilement calculée à partir de Φs(ω) en
appliquant la formule (3.3).
4.3.2 Définition fréquentielle du plus petit cercle circonscrit
Nous rappelons ici que la contrainte τn(t) tangentielle au plan de normale n est un
processus vectoriel ergodique de moyenne nulle. Pour chaque plan ψ et pour une longue
période d’observation T , le centre du cercle circonscrit se trouve à l’origine du repère
dans lequel τn(t) est exprimé. Ceci est vrai quand T tend vers l’infini. Pour trouver
le plan critique défini par les angles sphériques (γ ∗ , φ ∗ ), il suffit de trouver le rayon
du plus petit cercle circonscrit au trajet que décrit la pointe du vecteur τn(t) pour
chaque plan. En aléatoire, nous disons que le plan critique est le plan où la moyenne
(sur un nombre infini de réalisations du tenseur des contraintes) de l’amplitude de
τn(t) est maximale, c’est-à-dire où le rayon du cercle circonscrit est en moyenne le
plus grand.
Nous proposons donc une méthode permettant de calculer la moyenne du rayon
du cercle circonscrit dans un plan donné à partir de la matrice des PSD Φψ(ω).
Le rayon du plus petit cercle circonscrit, dans le domaine temporel, peut être
mathématiquement exprimé par la relation
Ca = R = max τ 2
u(t) + τ
0≤t≤T
2 v (t) (4.17)
Fig. 4.2 – (a) Trajet décrit par l’extrémité de τn(t) dans le plan ψ, (b) bande contenant
le cercle de rayon r défini tel que −r < τu < r, (c) rotation optimale donnant le nombre
maximum de passages par le niveau r avec une pente positive selon u θ
La Fig. 4.2.a illustre une exemple du trajet décrit par la pointe de la contrainte de
cisaillement τn(t) dans un plan ψ donné et pour un chargement gaussien observé

74 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
pendant une certaine durée T . Nous rappelons que le vecteur τn(t) est exprimé dans
le repère (u, v) et que τn(t) = (τu(t), τv(t)) T .
Le problème que nous voulons résoudre est d’approximer E[R] en examinant les caractéristiques
statistiques du vecteur gaussien (τu(t), τv(t)) T , au lieu de générer artificiellement
des réalisations du processus (τu(t), τv(t)) T , de chercher pour chacune
d’elle le rayon R et d’en estimer la moyenne. Pour cela, nous considérons le nombre
de franchissements µ(r) du cercle de rayon r par l’extrémité du vecteur τn(t) allant
de l’intérieur vers l’extérieur du cercle. Etant donné que les deux composantes de la
contrainte de cisaillement τu(t) and τv(t) ne sont pas indépendantes, il est difficile de
trouver une formule analytique simple de µ(r). D’autre part, nous remarquons que
la quantité µ(r) est supérieure au nombre de passages par le niveau r avec une pente
positive observé sur chacune des composantes de la contrainte de cisaillement τu(t)
ou τv(t) (Fig. 4.2.b), nombres de passages que nous notons respectivement Nu(r) et
Nv(r). Evidemment, pour chaque rotation d’un angle θ du repère (u, v) (Fig. 4.2.c),
nous observons des valeurs différentes N θ u(r) et N θ v (r). Nous proposons alors d’approximer
µ(r) par la plus grande valeur de N θ u(r)
µ(r) ≈ max
0≤θ≤π [N θ u(r)] (4.18)
Les composantes de la contrainte de cisaillement τ θ u(t) et τ θ v (t) dans le nouveau repère
sont données par
où
τ θ u(t)
τ θ v (t)
Qθ =
= Qθ
τu(t)
τv(t)
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(4.19)
(4.20)
Elles sont conjointement gaussiennes. Par conséquent, plutôt que de passer en revue
toutes les valeurs de θ afin de trouver celle pour laquelle N θ u(r) est maximum, nous
utilisons la propriété selon laquelle le nombre de passages maximum par le niveau r
avec une pente positive par τu(t) est associé à la direction θ pour laquelle la variance
σu de cette composante est maximale. Pour trouver cette direction spécifique, nous
considérons le vecteur (τu(t), τv(t)) caractérisé dans le domaine fréquentiel par la
matrice des PSD :
Φτ (ω) =
Φuu(ω) Φuv(ω)
Φvu(ω) Φvv(ω)
(4.21)
A partir de cette matrice des PSD, nous pouvons calculer la matrice de convariance
Σ relative au processus vectoriel (τu(t), τv(t)) comme suit :

4 Formulation fréquentielle du critère de Matake 75
Σ =
+∞
−∞
Φτ (ω)dω =
σ 2 u
ρuvσuσv
ρuvσuσv
σ2 v
(4.22)
σ 2 u et σ 2 v sont respectivement les variances des processus τu(t) et τv(t), et ρuv est
le coefficient de corrélation entre les deux variables. La direction de plus grande variance
recherchée est ensuite donnée par la rotation Qθ, qui est déterminée par la
diagonalisation de la matrice de covariance. Cette diagonalisation est exprimée par la
relation
Σθ = QθΣQ T θ = diag(σ 2 1, σ 2 2)
où σ 2 1 et σ 2 2 sont les valeurs propres de la matrice Σ. Nous supposons que σ 2 1 ≥ σ 2 2.
σ 2 1 est alors la variance maximale de τu(t) sur toutes les directions θ. Dans ce repère
particulier, la matrice des PSD des composantes de la contraintes de cisaillements
devient
Φτ θ (ω) = Qθ Φτ (ω) Q T θ
(4.23)
Le plus grand nombre de passages à pente positive de τ θ u(t) par le niveau r, exprimé
par l’éq. (4.18), peut ensuite être estimé à partir du premier terme diagonal de la
matrice Φτ θ (ω), que nous notons Φ θ u(ω).
Ayant calculé la PSD Φ θ u(ω) du processus gaussien de moyenne nulle τ θ u(t), nous
appliquons un résultat classique de la théorie des vibrations aléatoires permettant de
calculer
E[R] = E[Ca] = E[ max
0≤t≤T τ θ u(t)] (4.24)
La formule que nous utilisons a été proposée par Davenport [4] et permet d’estimer la
moyenne du plus grand extremum, autrement appelé facteur de pic, atteint par τ θ u(t)
sur la période d’observation T , cette moyenne peut être déterminée comme suit :
où
E[ max
0≤t≤T τ θ u(t)] = σ1 F (N1) (4.25)
F (N) = 2 ln(N) + 0.5772/ 2 ln(N) (4.26)
N1 correspond au nombre de cycles moyen observé sur le processus τ θ u(t) pendant la
durée T du chargement :

76 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
où la fréquence centrale ν + 0
N1 = ν + 0
est donnée par le formule de Rice
ν + 0 = N θ u(0) = 1
m2
2π m0
T (4.27)
(4.28)
Cette éq. (4.25) représente alors une approximation fiable du rayon E[R] = E[Ca] que
nous cherchons, en particulier dans le cas où les deux composantes de la contrainte de
cisaillement sont fortement corrélées. Pour de plus amples détails sur la théorie des
extrema des processus gaussiens, menant à l’éq. (4.25), le lecteur peut se reporter à
l’annexe B et aux ouvrages plus spécialisés de Leadbetter et al. [9] et Preumont [20].
4.3.3 Formulation fréquentielle du critère
Le plan critique (γ ∗ , φ ∗ ), défini comme le plan où E[Ca] = E[R] ≈ σ1 F (N1) atteint
sa valeur maximale, peut facilement être déterminé en examinant tous les plans ψ
passant par le point où le tenseur des contraintes a été calculé. Nous notons σ ∗ 1 et N ∗ 1
les grandeurs σ1, N1 , que nous avons défini dans le paragraphe précédent, lorsqu’elles
sont déterminées pour le plan critique.
Ensuite, l’espérance mathématique de l’amplitude de la contrainte normale à ce plan
s ∗ n(t) peut être calculée comme suit
E[sna] ≈ σ ∗ n F (N ∗ 2 ) (4.29)
où, à nouveau, σ ∗ n = √ m0 et où N2 représente le nombre de cycles observé sur s ∗ n(t)
au cours de la période d’observation du chargement. N2 peut facilement être évalué à
partir des éqs. (4.27) et (4.28). Les moments spectraux m0 et m2 apparaissant dans ces
équations diffèrent de ceux calculés dans le paragraphe précédent, ils sont maintenant
estimés à partir de la PSD Φnn(ω) du processus sn(t) pour le plan critique. Cette
PSD est exprimée par le premier terme diagonal de la matrice (4.16).
Pour une période d’observation T , nous aboutissons donc à la formulation du critère
de Matake suivante :
σ ∗ 1F (N ∗ 1 ) + ασ ∗ nF (N ∗ 2 )
β
≤ 1. (4.30)
Nous avons donc obtenu, pour chacune des variables qui interviennent dans le
critère de Matake, à savoir l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’amplitude
de la contrainte normale relatives au plan critique, deux processus scalaires
gaussiens représentatifs de ces grandeurs. Nous avons ensuite déterminé l’espérance
mathématique de leurs valeurs extrêmes respectives sur la période T .

4 Formulation fréquentielle du Critère de Crossland 77
4.4 Formulation fréquentielle du Critère de Crossland
Nous avons choisi ce critère d’approche globale pour la simple raison qu’il est relativement
aisé d’en proposer une formulation fréquentielle. Bien que ce critère ne soit
pas parmi les plus performants, Papadopoulos et al. [16], Weber et al. [22] ont montré
qu’il peut mener à des écarts entre les données expérimentales et les prédictions allant
de −30% et +15%.
Par analogie à la démarche employée au paragraphe précédent, nous cherchons à
calculer explicitement
E[g(sij(·), T )] = E[ J2,a] + αE[max p(t)]
β
≤ 1 t ∈ [0, T ] (4.31)
à partir de la matrice de PSD Φs(ω) du tenseur des contraintes, en tout point de la
structure.
4.4.1 Première formulation fréquentielle du critère
Le premier terme J2,a apparaissant dans le critère de Crossland est proportionnel
à la contrainte de von Mises, comme nous le remarquons dans l’éq. (4.8). La première
idée consiste donc à approximer cette variable en utilisant le processus aléatoire que
nous avons appelé contrainte équivalente de von Mises, voir Pitoiset & Preumont [18].
Ce processus gaussien équivalent est défini dans le chapitre précédent au § 3.3.1 et sa
PSD est obtenue en combinant pour chaque fréquence, les PSD des composantes du
tenseur des contraintes selon la relation quadratique de von Mises :
Φc(ω) = Φsxsx (ω) + Φsysy (ω) − Re(Φsxsy (ω)) + 3Φsxysxy (ω) (4.32)
Comme précédemment, nous pouvons approximer l’amplitude du deuxième invariant
du déviateur du tenseur des contraintes J2,a en cherchant la valeur extrême de la
contrainte de von Mises sc(t)
J2,a ≈ 1
√ max |sc(t)| =
3 t
1
√ max s2 c(t) (4.33)
3 t
dont nous estimons l’espérance mathématique dans le domaine fréquentiel
E[ J2,a] ≈ 1
√ 3 σc F (2N1) (4.34)
où σ 2 c est le moment spectral d’ordre 0 calculé à partir de Φc(ω) et N1 est évalué en
appliquant les éqs. (4.28) et (4.27) à cette même PSD. Comme le montre l’éq. (4.34),

78 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
nous prenons en compte les extrema négatifs et positifs de sc(t) en compte, c’est
pourquoi nous remplaçons l’argument de la fonction F par le nombre de demi-cycles
(2N1) observés sur le processus sc(t) pendant la durée T au lieu du nombre de cycles
(N1).
Ensuite, le deuxième terme intervenant dans le critère est la pression hydrostatique,
definie par l’éq. (4.10) comme étant une simple combinaison linéaire de sx(t) et sy(t),
qui peut s’écrire sous forme vectorielle :
p(t) = (1/3 1/3 0) T . s(t) (4.35)
La PSD Φp(ω) de ce processus peut alors être calculée en appliquant la formule
suivante :
Φp(ω) = [1/3 1/3 0] Φs(ω) [1/3 1/3 0] T
(4.36)
Pour ce dernier processus, σ 2 p est égal à l’intégrale de la PSD Φp(ω) tandis que
le nombre de cycles N2 est à nouveau calculé à partir de Φp comme nous l’avons
déjà montré pour les différents processus précédents. Cette première approximation
consiste à dire que les contraintes restent dans l’espace de non-fissuration lorsque le
chargement aléatoire périodique de durée T satisfait l’inégalité
σc F (2N1) / √ 3 + ασpF (N2)
β
≤ 1 (4.37)
en tout point de la structure. Une autre solution pour approximer J2,a est apparue
en développant la théorie permettant de résoudre le problème du rayon du plus
petit cercle circonscrit. Cette deuxième formulation, comme nous le verrons ci-après,
donne des résultats plus proches de ceux observés en appliquant la formulation temporelle
initiale à des réalisations du tenseur des contraintes obtenues par simulations
de Monte-Carlo. Le principe est toujours de construire un processus scalaire gaussien
à partir duquel il est possible d’approximer J2,a, ce nouveau processus est toutefois
construit tout à fait différemment de Φc(ω).
4.4.2 Seconde formulation fréquentielle du critère
Dans cette seconde proposition, nous conservons l’approximation de la valeur maximale
de la pression hydrostatique. L’approximation de ce terme est tout à fait satisfaisante
puisque nous ne faisons que définir la PSD d’un processus qui est gaussien, et
évaluons son amplitude dans le domaine de Fourier. En revanche, le processus Φc(ω),
que nous définissons comme un processus gaussien, est différent du processus aléatoire
non gaussien défini dans le domaine temporel par von Mises. Nous améliorons alors
la première proposition en proposant une meilleure estimation de E[ J2,a], en proposant
le changement de variables

4 Formulation fréquentielle du Critère de Crossland 79
x(t) = sx(t)
√ 2
nous obtenons
y(t) = sy(t)
√ 2
z(t) = sx(t) − sy(t)
√ 2
w(t) = √ 3sxy(t) (4.38)
J2,a = 1
√ max x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) + w2 (t) (4.39)
3 0≤t≤T
L’analogie avec l’éq. (4.17) est évidente, J2,a peut être considéré comme étant égal
à R/ √ 3, où R est défini comme le rayon de la plus petite hypersphere circonscrite
au trajet complexe décrit par l’extrémité du vecteur gaussien à quatre dimension
v(t) = (x(t), y(t), z(t), w(t)) T , dont la matrice des PSD est notée Φv(ω) et dont la
matrice de covariance est notée Σ. Ces deux matrices peuvent être facilement calculées
à partir de Φs(ω) et des définitions des variables donnée par les relations (4.38).
Selon la procédure que nous avons développée dans le paragraphe 4.2.4 pour calculer
le rayon du plus petit cercle circonscrit, il est possible de trouver une matrice de
rotation Q telle que
⎛
⎜
⎝
˜x(t)
˜y(t)
˜z(t)
˜w(t)
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
= Q ⎜
⎝
x(t)
y(t)
z(t)
w(t)
⎞
⎟
⎠
(4.40)
Cette matrice de rotation peut être définie de façon à maximiser la variance de ˜x(t).
Ce problème revient à déterminer la plus grande valeur propre σ 2 1 de la matrice de
covariance Σ définie par
D = QΣQ T = diag(σ 2 1, σ 2 2, σ 2 3, σ 2 4) (4.41)
où σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ σ4 (avec σ4 = 0 parce que x(t), y(t), z(t), w(t) sont quatre fonctions
exprimées à partir de trois processus différents, à savoir sx(t), sy(t) et sxy(t)). La PSD
Φ˜x(ω) est alors donnée par le premier terme de la diagonale de la matrice des PSD
Φ˜v(ω) obtenue, comme précédemment, grâce à la formule suivante :
Φ˜v(ω) = Q Φv(ω) Q T
Par analogie à l’éq. (4.34), nous avons alors
(4.42)
E[ J2,a] ≈ 1
√ 3 σ1 F (2N1) (4.43)
avec N1 estimé à partir de Φ˜x(ω), le premier terme diagonal de Φ˜v(ω), en appliquant
les formules (4.27) et (4.28). Cette seconde approximation est donnée par l’inégalité :

80 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
σ1 F (2N1) / √ 3 + ασpF (N2)
β
4.5 Application à une structure simple
≤ 1 (4.44)
Les procédures décrites dans les paragraphes précédents ont également été
implémentées dans la ”toolbox” MATLAB, qui est utilisée comme post-processeur
du code éléments finis SAMCEF. Les routines les plus coûteuses en temps de calcul
ont été implémentées en FORTRAN. Les calculs suivants ont été réalisés sur
une station de travail DEC-alpha. La structure présentée Fig. 3.5 soumises à des
accélérations aléatoires aux encastremements est utilisée pour illustrer l’application
des deux critères. L’acier constituant cette éprouvette est caractérisée en fatigue par
sa limite d’endurance en traction alternée, f−1 = 252 × 10 6 Pa, et en torsion alternée,
τ−1 = 182 × 10 6 Pa. La durée du chargement a été fixée à T = 10 secondes, soit
environ 1500 demi-cycles. Dans le domaine temporel, g(sij(t), T ) a été évaluée sur
cinq réalisations du tenseur des contraintes comportant chacune 2 15 pas de temps.
La moyenne E[g(sij(t), T )] a ensuite été estimée à partir de ces cinq valeurs. Ces
échantillons temporels ont été générés en utlisant la méthode de Monte-Carlo et l’algorithme
de la FFT selon la procédure décrite dans l’annexe A.
4.5.1 Application du critère de Matake : domaines temporel
et fréquentiel
Les valeurs locales du critère de Matake obtenues dans le domaine temporel et dans
le domaine fréquentiel sont respectivement présentées à la Fig. 4.3.a et 4.3.b. En
moyenne une différence de 0.04 est observée entre les résultats produits par les deux
formulations, la différence maximale atteinte sur tous les éléments est 0.16. Nous
notons également que la formulation fréquentielle est conservative par rapport aux
résultats obtenus par les simulations de Monte-Carlo. En terme de temps de calcul, la
formulation fréquentielle permet de réduire le temps de calcul à 3 minutes contre 57
heures dans le domaine temporel. Evidemment, ce temps de calcul dépend fortement
du nombre de plans examinés pendant la procédure de détection du plan critique, et
ce dans le domaine temporel comme dans le domaine de Fourier. Là encore, afin de
réduire le temps de calcul nous avons implémenté la méthodologie de recherche du
plan critique présentée par Weber et al. [23] afin de minimiser le nombre de plans
balayés. Dans chaque élément, nous avons observé une convergence de l’algorithme
vers le plan critique en traitant entre 200 et 250 plans physiques.
Les Figs. 4.4.a et 4.4.b montrent la valeur du rayon du plus petit cercle circonscrit
obtenue plan par plan (avec un incrément de 5 ◦ sur les deux angles sphériques γ et φ),
la matrice des PSD du tenseur des contraintes étant calculée dans l’élément indiqué
à la Fig. 3.5. La Fig. 4.4.a a été établie en appliquant l’algorithme de recherche du
rayon du cercle circonscit dans le domaine temporel présenté par Weber et al. [23] à
partir des simulations de Monte-Carlo. La Fig. 4.4.b a été établie en appliquant la

4 Application à une structure simple 81
méthode fréquentielle présentée au § 4.2.4. Nous observons que les deux figures sont
en excellent accord et que la méthode fréquentielle produit des valeurs légèrement
supérieures de Ca que celles obtenues par les simulations temporelles. La différence
sur l’amplitude de la contrainte de cisaillement entre les deux procédures est pour
cet élément en moyenne de 7 Mpa et atteint 15 MPa pour un des plans considérés.
Toutefois, nous devons préciser que, dans le domaine temporel, E[g(sij(·), T )] a été
estimé à partir de seulement 5 réalisations du tenseur des contraintes.
Fig. 4.3 – Cartographie des valeurs locales du critère de Matake (a) simulations de
Monte-Carlo (domaine temporel), (b) formulation fréquentielle
4.5.2 Application du critère de Crossland : domaines temporel
et fréquentiel
La Fig. 4.5.a représente les valeurs locales du critère de Crossland estimées selon
l’éq. (4.7) à partir des historiques du tenseur des contraintes simulés artificiellement.
La Fig. 4.5.b montre les valeurs obtenues directement après l’analyse spectrale en
appliquant l’éq. (4.44). Les deux cartographies sont quasi identiques. En moyenne,
la différence sur la valeur calculée du critère entre la formulation temporelle et la
formulation fréquentielle donnée par l’éq. (4.44) est de 0.06, au lieu de 0.12 en appliquant
l’éq. (4.37). Sur tous les éléments la différence maximale atteint 0.18 pour la
formulation fréquentielle la plus performante contre 0.33 en appliquant la première
solution proposée. Les deux formulations fréquentielles sont évidemment très rapides,

82 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Fig. 4.4 – Rayon du plus petit cercle circonscrit, plan par plan, en fonction de (γ, φ)
dans l’élément indiqué Fig. 3.5 : (a) simulations de Monte-Carlo (domaine temporel),
(b) méthode fréquentielle
la cartographie de la Fig. 4.5 est établie en 15 s dans le domaine spectral tandis que
le calcul prend 6.2 heures dans le domaine temporel.
Fig. 4.5 – Cartographie des valeurs locales du critère de Crossland (a) simulations de
Monte-Carlo (domaine temporel), (b) formulation fréquentielle

4 Variabilité des directions des contraintes principales 83
4.6 Variabilité des directions des contraintes principales
Les résultats obtenus en appliquant les formulations fréquentielles et les formulations
temporelles originales des deux critères sont présentés plus précisément à la Fig. 4.6,
élément par élement, dans les deux zones les plus endommagées qui sont indiquées par
les lettres A et B aux Figs. 4.5.b et 4.3.b. En observant ces résultats, nous remarquons
qu’à l’encastrement les deux critères donnent des résultats très proches l’un de l’autre,
contrairement à l’entaille où le critère plan critique de Matake produit des valeurs
supérieures à celles calculées en utilisant le critère de Crossland.
Comme nous l’avons expliqué à la fin du chapitre précédent, la précision et la validité
des critères de type plan critique ou ceux basés sur une approche globale est
généralement liée à la variabilité des directions des contraintes principales au cours du
chargement. Les approches de type plan critique sont plus performantes lorsque les
directions des contraintes principales ont une orientation fixe dans l’espace, tandis que
les critères de type approche globale prédisent bien l’amorçage lorsque les directions
principales tournent.
Bien qu’un important travail expérimental soit encore nécessaire afin de vérifier les
capacités prédictives des différents critères dans le cas de chargements aléatoires
périodiques (cf. Papadopoulos et al. [16]), nous proposons de baser une première
sélection du type de critère à utiliser en fonction de la variabilité des directions principales
dans la zone de la structure considérée. Par conséquent, afin de guider le concepteur
dans le choix d’un critère si celui-ci souhaite analyser les quelques éléments les
plus endommagés plus précisément, nous proposons un outil spectral qui permet de
calculer la densité de probabilité de l’angle entre le repère local dans lequel le vecteur
s(t) est exprimé et le repère des directions principales. Une procédure temporelle
complète visant à estimer les directions des contraintes principales sous chargement
multiaxial a été développée par Carpinteri et al. [1], mais aucune solution fréquentielle
de caractérisation de la variablilité des directions principales au cours du chargement
n’a, à notre connaissance, encore été proposée.
La relation entre les composantes des contraintes du vecteur s = (sx, sy, sxy) T et
l’angle entre le repère (x, y) et le repère des directions principales peut facilement être
établie à partir des propriétés du cercle de Mohr.
Cet angle, illustré à la Fig. 4.7, est donné par la relation
tan(2θ(t)) =
2sxy(t)
sx(t) − sy(t)
(4.45)
L’éq. (4.45) montre que l’angle θ(t) est une variable aléatoire, fonction de trois variables
gaussiennes ; nous recherchons sa densité de probabilité. Pour cela, nous faisons
le changement de variables suivant :

84 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Fig. 4.6 – Valeurs locales des crtière de Matake et Crossland données élément par
élément dans les zones A et B indiquées à la Fig. 4.3 et 4.5 : domaine temporel (DT)
et domaine fréquentiel (DF)
Fig. 4.7 – Repère local et repère des contraintes principales
y(t) = (sx(t) − sy(t))/2
z(t) = sxy(t)
(4.46)

4 Variabilité des directions des contraintes principales 85
L’éq. (4.45) devient alors tan(2θ(t)) = z(t)/y(t). Comme sx(t), sy(t) et sxy(t) sont des
variables gaussiennes de moyenne nulle, les variables y(t) et z(t) sont aussi gaussiennes
de moyenne nulle ; leur densité de probabilité conjointe est donnée par :
1
pyz(y, z) =
2πσyσz 1 − ρ2
1
exp −
2(1 − ρ
yz
2 2 y
yz) σ2 y
− 2ρyzyz
σyσz
+ z2
σ2
z
(4.47)
où σy et σz sont respectivement les écarts types des variables y(t) et z(t). ρyz est le
coefficient de corrélation entre les deux variables. Les valeurs de σy, σz et ρyz peuvent
être facilement calculées à partir de la matrice de covariance
Sij = E[ss T ] =
∞
−∞
A partir de la définition (4.46) de y(t) et z(t), nous obtenons
⎧
⎨
⎩
Φs(ω)dω (4.48)
σy = E[y 2 (t)] = (S11 + S22 − 2S12)/4
σz = E[z 2 (t)] = √ S33
ρyz = E[y(t) . z(t)]/(σyσz) = (S13 − S23)/(2σyσz)
La densité de probabilité de u = tan(2θ) = z/y peut être déterminée comme suit. En
posant u = z/y et v = y, nous avons
puv(u, v) = pyz(v, uv)| det(J)| (4.49)
où J = ∂(y, z)/∂(u, v) est le Jacobien de la transformation résultant du chargement de
variables qui consiste à en remplacer y, z par u, v. Dans ce cas nous avons det(J) = |v|
(voir par exemple Papoulis [17] pour de plus amples explications). En intégrant l’ éq.
(4.49) sur v, nous obtenons la densité de probabilité de u
pu(u) =
∞
−∞
1 − ρ
pyz(v, uv)|v|dv =
2 yz
πσyσz(u 2 /σ2 z − 2ρyzu/(σyσz) + 1/σ2 y)
(4.50)
Il reste ensuite à revenir à θ, défini par la relation θ = arctan(u)/2. La densité de
probabilité de θ entre l’axe x du repère local et le repère des directions principales
peut finalement être exprimée par l’égalité
pθ(θ) = pu(u)| ∂u
| =
∂θ
où ∂u/∂θ = 2(1 + tan 2 (2θ)).
2(1 + tan2
(2θ)) 1 − ρ2 yz
πσyσz(tan 2 (2θ)/σ 2 z − 2ρyz tan(2θ)/(σyσz) + 1/σ 2 y)
(4.51)

86 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Fig. 4.8 – Distribution de l’angle θ : comparaison entre observations et calcul
théorique
La densité de probabilité de l’angle θ est représentée à la Fig. 4.8 pour deux éléments
de l’éprouvette en L. La courbe correspond à la distribution obtenue à partir de
l’éq. (4.51), alors que les histogrammes ont été estimés à partir d’une réalisation du
tenseur des contraintes en appliquant l’éq. (4.45). Dans l’élément #381 situé près de
l’encastrement, la densité de probabilité p(θ) est caractérisée par un pic à θ = 0,
montrant ainsi que le repère des directions principales a une orientation fixe pendant
le chargement. Par contre, dans l’élément #105 situé près de l’entaille, la courbe
représentant pθ(θ) montre que la distribution de l’angle est beaucoup plus ditribuée
que dans la zone précédente et que les directions principales tournent ici davantage
au cours du chargement.
4.7 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons proposé des formulations fréquentielles des critères de
Matake et de Crossland. Une telle démarche peut être étendue à d’autres critères à
l’avenir, même si la résolution mathématique peut s’avérer être plus complexe pour
certains d’entre eux. Nous avons démontré que les variables les plus importantes en
fatigue multiaxiale telles que l’amplitude de la contrainte de cisaillement et l’amplitude
de la contrainte normale agissant sur un plan donné ainsi que les amplitudes des
invariants du tenseur des contraintes et de son déviateur peuvent être calculées dans
le domaine fréquentiel, directement après une analyse spectrale de la structure par
éléments finis. Cette partie est une des principales contributions de ce travail.
Les simulations de Monte-Carlo ont permis de comparer les formulations fréquentielles
proposées aux définitions initiales des critères, formulés par leurs auteurs dans le
domaine temporel. Il apparait que les approximations fréquentielles donnent de très

4 Conclusion 87
bons résultats tout en permettant de réduire de plusieurs ordres de grandeur les temps
de calcul.
D’après les différents résultats expérimentaux présentés dans la littérature, les critères
de type plan critique prédisent l’amorçage avec précision dans le cas où les contraintes
principales ont une orientation fixe pendant le chargement. L’observation inverse a été
faite pour les critères d’approche globale. L’évolution des directions des contraintes
principales peut donc éventuellement orienter le choix du critère à utiliser lorsque le
concepteur veut analyser une zone précise de la structure. Par conséquent nous avons
développé un outil spectral permettant de caractériser très rapidement la variabilité
des directions principales à partir de la matrice des PSD du tenseur des contraintes.

88 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire
Bibliographie
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90 4. Critères d’endurance en fatigue multiaxiale aléatoire

Chapitre 5
Analyse en fatigue du
divergent du moteur Vulcain
d’Ariane V
5.1 Introduction
Comme nous l’avons mentionné dans le chapitre d’introduction, de nombreux secteurs
de l’industrie appliquent l’analyse spectrale afin d’étudier la réponse des structures
aux sollicitations aléatoires. Les méthodes fréquentielles de prédiction de durée de vie
existantes en fatigue uniaxiale commencent également à être assez largement utilisées.
Nous pouvons relever quelques exemples dans la littérature récente comme :
– le dimensionnement de bras de suspensions pneumatiques de cabines de camions
réalisé par Fu & Cebon [2] lorsque le véhicule est soumis à des déplacements
aléatoires reflétant la rugosité de la route (voir également Morril et al. [7]),
– le calcul en fatigue du fuselage d’un avion soumis à des turbulences atmosphériques
(Laudanski [6]),
– ou encore l’estimation de l’endommagement sur une coque de bateau soumise aux
vagues (Folsø [1]).
Dans ce chapitre, nous appliquons les méthodes développées précedemment à l’analyse
en fatigue du divergent du futur moteur Vulcain II d’Ariane V (Pitoiset et al. [8]).
Le modèle éléments finis (SAMCEF) ainsi que les données concernant l’excitation ont
été fournis par SNECMA-Moteurs. Pour des raisons de confidentialité, nous utilisons
dans ce qui suit les caractéristiques d’un matériau fictif, les résultats présentés n’ont
donc aucune valeur en terme de prédiction de la durée de vie réelle de la structure.
Après la présentation de la tuyère divergente du moteur et du chargement (§ 5.2), nous
décrivons les résultats de l’analyse modale puis de l’analyse spectrale. Nous appliquons
ensuite les méthodes de calcul de durée de vie de la contrainte équivalente de von Mises
et du rainflow multiaxial (§ 5.3). Nous constatons que les deux méthodes donnent
des résultats très proches. Nous analysons ensuite la variabilité des directions des

92 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V
contraintes principales à deux endroits de la structure. Constatant que le chargement
est uniaxial dans la zone la plus sollicitée, nous comparons les résultats obtenus lors de
la première analyse à des simulations rainflow. Enfin, nous utilisons les formulations
fréquentielles des critères de Matake et Crossland afin de voir dans quelles zones
les contraintes induites par les vibrations aléatoires restent en dessous de la limite
d’endurance du matériau hypothétique choisi (§ 5.4) pendant la durée d’application du
chargement. Cette analyse complète permet de démontrer que la ”toolbox MATLAB”
que nous avons développée permet de traiter des modèles de grande taille. La rapidité
des calculs met en évidence la possibilité de coupler l’analyse en fatigue à des routines
d’optimisation afin de réduire la masse de telles structures tout en assurant la durée
de vie requise.
5.2 Présentation de la structure et définition du
chargement
Le moteur Vulcain assure la propulsion de l’étage principal cryotechnique du lanceur
européen Ariane V. Il utilise le couple d’ergols hydrogène/oxygène liquides. Ces
deux ergols sont injectés dans la chambre de combustion au moyen de turbopompes.
L’énergie thermique produite dans la chambre de combustion est alors transformée
en énergie cinétique grâce à l’effet d’une tuyère convergente-divergente qui comprime
puis éjecte les gaz chauds à grande vitesse. C’est cette tuyère divergente que nous
étudions dans ce chapitre. Elle est située au centre du lanceur, sous l’étage principal
et entre les deux propulseurs à poudre comme le montre la Fig. 5.1
Fig. 5.1 – Ariane V et moteur Vulcain

5 Présentation de la structure et définition du chargement 93
Le divergent est donc soumis à plusieurs chargements induisant un endommagement
par fatigue. Le premier est dû à l’environnement acoustique résultant du bruit généré
par les propulseurs à poudre, notamment sur la table de lancement. Ce problème a fait
l’objet d’une première étude par Kernilis et al. [4]. Le chargement que nous étudions
dans ce chapitre est le ”buffeting”, il résulte de l’impacte de l’écoulement turbulent de
l’air le long du lanceur pendant la phase transsonique du vol (voir James et al. [3]). Il
se produit 20 s après le décollage et dure environ une minute. Ce chargement est caractérisé
par un champ de pression aléatoire basse fréquence décrit par des niveaux de
pression et des lois de corrélations spatiales. La bande de fréquences de ce chargement
s’étend de 1 Hz à 80 Hz. Il s’applique à la surface externe du moteur dont le divergent
de la tuyère. Les spécifications du buffeting ont été établies par Aérospatiale, architecte
industriel du lanceur, à partir d’essais en soufflerie. Les corrélations entre les
excitations en deux points de la surface du divergent sont déterminées en fonction de
la taille des tourbillons et de leur vitesse de convection. Les mesures montrent que
la fonction de corrélation entre deux points séparés par une distance xl, situés sur
une droite longitudinale et dans le sens de l’écoulement, présente des pics séparés par
un délai τ = xl/Ul. Ce délai correspond au temps mis par le tourbillon pour parcourir
la distance xl à la vitesse de convection longitudinale Ul. Les mesures montrent
également que la décroissance de ces pics est exponentielle, comme le montre la Fig.
(5.2).
Fig. 5.2 – Fonction de corrélation pour différentes distances dans la direction de
l’écoulement

94 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V
Ces résultats mènent à une fonction de corrélation classique du type :
R(xl, τ) = R0(τ − xl/Ul)e −α|xl|
(5.1)
où R0(τ) est la fonction d’autocorrélation du champs de pression en chaque point
de la surface et l’argument (τ − xl/Ul) prend en compte la vitesse de convection. La
tranformée de Fourier de l’éq. (5.1) mène à une PSD du type :
Φ(xl, ω) = Φ0(ω)e −jωxl/Ul e −α|xl|
(5.2)
Des lois de ce type, mais prenant également en compte l’écoulement circonférentiel,
ont donc été adoptées, et les coefficients ont été déterminés sur la base des essais en
soufflerie.
Fig. 5.3 – Maillage du divergent et modélisation simplifiée de la partie supérieure du
moteur
Le maillage du modèle éléments finis de la structure est représenté à la Fig. 5.3.
Un modèle simplifié de la partie supérieure du moteur a été ajouté à la tuyère afin
d’obtenir les modes de pendulage réels du moteur fixé à l’étage principal. Nous avons
donc modélisé la chambre de combustion fixée à la bride supérieure (voir Fig. 5.3)

5 Présentation de la structure et définition du chargement 95
de la tuyère par un corps rigide, puis ajouté une masse concentrée égale à la masse
du moteur sans divergent au centre de gravité de celui-ci, représenté par le point G.
Enfin, la fixation de l’ensemble à l’étage principal de la fusée est modélisée par un
ensemble de vérins et de rotules, comme le montre également la Fig. 5.3. Le modèle
comprend 7432 éléments, la tuyère divergente est constituée de 5686 éléments de type
coque pour un nombre total de 34588 degrés de liberté.
Le maillage éléments finis d’une structure est essentiellement lié à la représentation de
la raideur de celle-ci. En revanche, la définition du chargement ne nécessite pas d’appliquer
une PSD à chaque noeud de ce maillage. En pratique, le maillage de l’excitation
est alors défini par un maillage régulier, qui est un sous-ensemble du maillage éléments
finis. Ce maillage couvre toute la surface sollicitée. Une représentation schématique
de ce principe est illustré à la Fig. 5.4. Par conséquent, la force attribuée à un noeud
spécifique est obtenue en multipliant la pression par l’aire de la surface de l’élément
qui entoure ce noeud. Ce problème complexe, pour une géométrie comme celle du
divergent, est discuté dans Kernilis & James [5].
Fig. 5.4 – Maillage du champs de pression aléatoire et maillage éléments finis
Enfin, le dernier problème à considérer est l’influence de la taille des éléments du
maillage d’excitation sur la convergence de l’analyse spectrale. Généralement, les deux
conditions de convergence à respecter (voir Preumont [9]) sont les suivantes :
– la taille des éléments du maillage de l’excitation doit être, d’une part, largement
inférieure aux longueurs d’ondes des modes se trouvant dans la bande de fréquences
de l’excitation (cf. déformée modale de la Fig. 5.5) ;
– elle doit être largement inférieure à la longueur de corrélation de l’excitation (cf.
Fig. 5.2)
En respectant ces règles, les éléments du maillage du chargement font entre 8 et
20 cm de côté, ce qui représente entre 30 et 70 noeuds par circonférence et 15 à
20 positions longitudinales. 633 noeuds sont donc excités selon leur trois degrés de
liberté de translation. Cette matrice hermitienne des PSD d’excitation de 633 × 633
est donnée pour 8 fréquences dans la bande d’excitation. Ces PSD sont constantes
entre deux fréquences de contrôle.

96 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V
5.3 Analyse modale et analyse spectrale
Les modes propres de la structure sont des modes de pendulage, de torsion et de flexion
se produisant respectivement à 11, 15, 40 et 61 Hz. Entre ces modes de pendulage
viennent s’intercaler des modes de la tuyère divergente, dont 2 modes d’ovalisation se
trouvant tous les deux environ à 20 Hz, leur déformée modale est représentée à la Fig.
5.5.a, et deux autres modes de fréquence égale à 44 Hz, qui ont une déformée modale
en forme de trèfle, comme le montre la Fig. 5.5.b. L’amortissement modal pour les 9
modes est de 1%. De plus, l’analyse modale permet d’obtenir les déformées modales
aux degrés de liberté excités, ainsi que les masses modales permettant le calcul des
matrices de transfert entre l’excitation et la réponse. L’analyse spectrale, telle qu’elle
est détaillée dans Preumont [9], permet alors de calculer les matrices de PSD des
contraintes en chaque noeud du modèle, mais nous calculons ici la matrice des PSD
du tenseur moyen des contraintes dans chaque élément.
Fig. 5.5 – Déformées modales du divergent : (a) ovalisation (20 Hz), (b) 3 lobes
(trèfle) (44 Hz)
5.4 Analyse en fatigue
L’analyse en fatigue est réalisée pour la partie basse du divergent, située sous le
tore d’injection. Cette partie est constituée d’un matériau unique et a été jugée par
SNECMA-Moteurs comme étant la plus sollicitée en terme de fatigue. La courbe
de Wöhler de ce matériau a donc été établie. Afin de ne pas donner d’informations

5 Analyse en fatigue 97
confidentielles, nous utilisons ici les caractéristiques d’un matériau fictif et supposons
que les constantes de l’équation de Basquin Ns β = C sont les suivantes : β = 7 et
C = 5 × 10 19 , la contrainte s étant exprimée en MPa. Ces constantes sont proches de
celles rencontrées pour un alliage d’aluminium et nous supposons également que ce
matériau fictif présente une limite d’endurance en traction alternée f−1 = 170 MPa
atteinte après N = 2 × 10 6 cycles ainsi qu’une limite d’endurance en torsion alternée
τ−1 = 130 MPa atteinte également au bout de N = 2 × 10 6 cycles.
5.4.1 Application des méthodes spectrales de prédiction de
durée de vie
Les Figs. 5.6.a et 5.6.b montrent les cartographies de l’endommagement sur la jupe
inférieure de la tuyère divergente établies respectivement dans le domaine fréquetiel
selon la méthode de la contrainte équivalente de von Mises et la méthode du rainflow
multiaxial. L’échelle de couleur correspond au logarithme du dommage par unité de
temps. La partie la plus endommagée se situe en bordure de la structure où les conditions
limites imposent un état de contraintes uniaxial. Les deux méthodes détectent le
même élément critique et donnent des résultats très proches lorsque nous comparons
les deux cartographies. La durée de vie calculée est de 65 heures pour la méthode de
la contrainte équivalente de von Mises contre 56 heures pour la méthode du rainflow
multiaxial. La proximité des résultats provient du fait que l’élément critique présente
un état de contrainte uniaxial. Enfin, nous obtenons des temps de calculs de 3 minutes
en utilisant la première méthode contre 11 minutes en appliquant la seconde.
Fig. 5.6 – Cartographie du dommage sur la jupe inférieure du divergent : (a) méthode
de la contrainte équivalent de von Mises, (b) méthode du rainflow multiaxial

98 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V
Fig. 5.7 – Variabilité des directions principales : (a) dans l’élément critique, (b) dans
un élément sous le tore d’injection
Nous notons que dans l’élément le plus endommagé, les écarts types des contraintes
sx(t), sy(t) et sxy(t) prennent respectivement les valeurs σx = 4 MPa, σy = 77 MPa
σxy = 2 MPa, ce qui montre que sy(t) est évidemment largement prédominant. La Fig.
5.6 montre que le dommage est très faible dans la zone centrale et augmente légèrement
en se rapprochant du tore d’injection. Evidemment, comme le prouve la Fig. 5.7.a, les
directions principales ont une orientation fixe au cours du chargement dans l’élément
le plus critique. Par contre, dans la zone la plus sollicitée située sous le tore d’injection,
les écarts types des contraintes sx(t), sy(t) et sxy(t) sont σx = 19 MPa, σy = 17 MPa
σxy = 7 MPa. La variabilité des directions des contraintes principales y est, d’après
la Fig. 5.7.b, beaucoup plus importante.
Fig. 5.8 – Réalisation de la contrainte sy(t) dans l’élément le plus endommagé et
matrice rainflow correspondante
Des simulations rainflow de la contrainte sy(t) agissant au niveau de l’élément le plus
endommagé peuvent facilement être réalisées afin de raffiner les prédictions de durée
de vie. Ce processus a une fréquence centrale ν + 0 = 25 Hz et un facteur d’irrégularité
γ = 0.758. Une dizaine de réalisations du processus présentant 32768 pas de temps

5 Analyse en fatigue 99
pour une durée d’observation de 65 secondes ont été générées. La durée de vie moyenne
calculée est alors de 69 heures. Nous notons que les deux formulations fréquentielles
produisent de très bonnes approximations de la durée de vie et sont légèrement conservatives
par rapport aux simulations rainflow. La Fig. 5.8 illustre une réalisation de
la contrainte sy(t) pendant 2 s ainsi que la matrice rainflow correspondante à ce
chargement.
5.4.2 Application des formulations spectrales des critères
d’endurance
Les Figs. 5.9.a et 5.9.b représentent la cartographie des valeurs locales des critères
repectifs de Matake et de Crossland. Les deux cartographies ont été calculées à partir
des formulations fréquentielles des deux critères pour une durée d’observation du
chargement d’une minute ce qui correspond à la durée pendant laquelle le chargement
est appliqué au cours d’un vol. Nous remarquons que les contraintes induites par
les vibrations dépassent la limite d’endurance en fatigue multiaxiale du matériau
fictif uniquement sur la couronne inférieure de la tuyère. Les deux critères détectent
le même élément critique que les méthodes de calcul de durée de vie précédentes.
Les temps de calcul mesurés sont de 7 minutes pour l’application de la formulation
fréquentielle du critère de Crossland contre 16 minutes en utilisant la formulation
fréquentielle du critère de Matake.
Fig. 5.9 – Cartographie des valeurs locales de critères d’endurances sur la jupe
inférieure du divergent (formulations fréquentielles) : (a) critère de Matake, (b) critère
de Crossland

100 5. Analyse en fatigue du divergent du moteur Vulcain d’Ariane V
Si nous analysons plus précisément l’élément critique, nous trouvons une valeur locale
du critère de Crossland de 1.84, contre 1.85 pour le critère de Matake. Dans l’élément
le plus sollicité situé sous le tore d’injection, les critères d’endurance produisent des
valeurs voisines de 0.5.
5.5 Conclusion
Nous avons appliqué les méthodes fréquentielles de calcul de durée de vie (méthode de
la contrainte équivalente de von Mises et méthode du rainflow multiaxial) à un modèle
éléments finis de grande taille. En utilisant, pour des raisons de confidentialité, les
caractéristiques en fatigue d’un matériau hypothétique, nous avons démontré la faisabilité
de ce type de calcul en post-traitement de l’analyse spectrale d’une structure
par éléments finis, en utilisant les fonctions implémentées dans la toolbox MATLAB
développée pendant cette thèse. Nous remarquons que les deux méthodes produisent
des résultats identiques. L’application des formulations des critères d’endurance (de
Crossland et de Matake) permettent au concepteur de vérifier si les contraintes induites
par les vibrations restent en dessous de la limite d’endurance du matériau choisi
pendant la durée du chargement. Le temps de calcul très performant que nécessite
ce type de méthode permet d’envisager une optimisation en fatigue de modèles de
grande taille.

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Chapitre 6
Quelques perspectives
6.1 Introduction
Le principal intérêt des méthodes spectrales est de fournir une première estimation
qualitative rapide et correcte de l’endommagement sur des structures complètes
lorsque celles-ci sont soumises à des chargement aléatoires multiaxiaux. Dans ce chapitre
nous présentons quelques perspectives d’applications des méthodes que nous
avons développées au cours de notre recherche.
Dans la première application, nous utilisons un dispositif d’amortissement actif des
vibrations afin d’augmenter la durée de vie de la structure. En effet, si nous prenons
l’exemple d’un chargement unixial aléatoire, le dommage produit par un cycle
de contrainte d’amplitude s est proportionnel à s β , β étant une caractéristique du
matériau (5 < β < 20). L’introduction d’un amortissement des vibrations qui a pour
effet de diminuer l’amplitude des contraintes induites par celles-ci, à l’aide de capteurs,
d’actionneurs et d’une électronique de contrôle, peut donc être un moyen efficace
de lutte contre l’endommagement par fatigue. Les méthodes spectrales sont utilisées
dans ce cas pour étudier et quantifier l’effet de notre dispositif d’amortissement actif
sur la durée de vie. Cette application des capteurs et actionneurs piézoélectriques
a d’ailleurs déjà été envisagée pour résoudre un problème d’amorçages de fissures à
l’encastrement d’une dérive d’avion de chasse soumise au ”buffeting”, comme l’ont
montré Bogue et al. [1].
Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous couplons les méthodes spectrales d’analyse
en fatigue multiaxiale aléatoire à des routines d’optimisation structurale. Le processus
d’optimisation est itératif et nécessite, à chaque itération, l’estimation de la
sensibilité d’un résultat, comme la durée de vie, par rapport à la variation d’un paramètre
du modèle, comme l’épaisseur d’un composant de la structure. Le nombre
d’itérations nécessaire peut être très élevé dans le cas de problèmes complexes. La
rapidité des méthodes spectrales rend alors possible ce processus itératif coûteux en
temps de calcul.
Ces deux parties sont illustrées à l’aide d’une structure simple qui est ici une plaque
simplement appuyée et soumise à une excitation ponctuelle aléatoire.

104 6. Quelques perspectives
6.2 Amortissement actif contre fatigue aléatoire
Les structures actives sont munies de capteurs, d’actionneurs et d’une loi de contrôle
permettant de déterminer la consigne envoyée aux actionneurs par un filtrage des
mesures réalisées par les capteurs. Lorsque les capteurs et actionneurs sont intégrés
à la structure, celle-ci est dite ”intelligente”. Dans l’exemple que nous traitons, nous
utilisons des céramiques piezo-électriques comme capteurs et actionneurs. Le couplage
électro-mécanique que présentent ces matériaux est utilisé pour le contrôle. En effet,
en se déformant sous l’effet de l’excitation, la structure impose une déformation au
capteur piezo-électrique. Celui-ci génère alors une tension électrique proportionnelle
à la déformation qu’il subit. Ce signal est mesuré et injecté dans l’algorithme de
contrôle. En sortie, le contrôleur envoie une consigne sous forme de tension aux bornes
de l’actionneur visant à lui imposer une déformation afin d’amortir les vibrations de
la structure. La théorie sur le contrôle des vibrations est présentée dans Preumont [4].
6.2.1 Description de la structure
A titre d’exemple, nous considérons une plaque simplement appuyée sur ces quatre
côtés et soumise à une force ponctuelle aléatoire. La PSD de cette force est illustrée à la
Fig. 6.1. La plaque de 1.1 mm d’épaisseur est en acier. Les caractérisques du matériau
en traction alternée sont données par les coefficients de l’équantion de Basquin :
β = 9.8 et C = 4.0641 × 10 88 , l’amplitude de la contrainte s(t) étant exprimée en Pa.
Fig. 6.1 – Plaque simplement appuyée soumise à une force ponctuelle aléatoire,
déformées modales : (a) mode 1 (b) mode 5
Dans ces conditions, les premier et cinquième modes de la structure, dont les déformées
sont illustrées à la Fig. 6.1, sont excités. Deux céramiques piezo-électriques sont collées
sur la plaque, comme l’indique également la Fig. 6.1. 1500 éléments coques ont été

6 Amortissement actif contre fatigue aléatoire 105
utilisés pour la discrétisation dans le modèle éléments finis. Les capteurs et actionneurs
piezo-électriques sont modélisés par des éléments coques de type laminés piezoélectriques,
mis au point au laboratoire par Piéfort & Preumont [3].
6.2.2 Conception d’un contrôleur multi-mode PPF
Grâce à la modélisation par éléments finis des capteurs et actionneurs piezoélectriques,
nous avons directement accès à la fonction de transfert entre la tension au
capteur et la tension à l’actionneur. Cette fonction de transfert est nécessaire pour la
conception de tout contrôleur. Le système complet constitué de la structure équipée
des céramiques piezo-électriques est alors modélisé sous formes d’équations d’états,
que nous obtenons directement par un post-traitement suite à une analyse statique
et dynamique de la structure.
Nous choisissons dans notre exemple un contrôleur ”Positive Position Feedback”
(PPF), qui consiste en un ou plusieurs filtres du second ordre amortis. Le contrôleur
agit alors sur le mode de vibration de la structure dont la fréquence est la plus proche
de la fréquence du filtre. Un réglage de la fréquence du PPF permet de cibler un mode
particulier de la structure. La mise en parallèle de plusieurs PPF permet également
d’amortir différents modes à différentes fréquences.
sans contrôle PPF5 PPF1 PPF5+PPF1
mode ξ ω (Hz) ξ ω (Hz) ξ ω (Hz) ξ ω (Hz)
1 0.020 73 0.020 73 0.049 74 0.059 73
2 0.020 131 0.024 128 0.021 118 0.025 130
3 0.020 228 0.048 213 0.020 230 0.048 214
4 0.020 235 0.020 233 0.020 235 0.020 234
5 0.020 293 0.048 275 0.020 294 0.049 275
Tab. 6.1 – Amortissements et décalages des fréquences obtenus suite au contrôle actif
Nous évaluons d’abord le dommage par unité de temps calculé en appliquant la
méthode spectrale de la contrainte équivalente de von Mises décrite au chapitre 2
sur la structure non contrôlée. L’analyse spectrale est alors réalisée avec 2% d’amortissement
sur les 5 modes. La cartographie obtenue est illustrée à la Fig. 6.2.a. Nous
évaluons ensuite les pôles et les zéros de la structure soumise uniquement à l’action
de la paire de PPF agissant sur le cinquième mode de la plaque. Nous déterminons
le gain g5. En fermant la boucle de contrôle agissant sur le cinquième mode, nous
obtenons alors des nouveaux amortissements modaux. L’analyse spectrale est maintenant
réalisée avec ces nouveaux amortissements donnés dans le tableau 6.1. Nous
considérons que les fréquences propres de la structure et les déformées modales restent
constantes. La cartographie du dommage correspondante est illustrée à la Fig. 6.2.b.
La même démarche est adoptée pour contrôler uniquement le premier mode, l’amortissement
de ce dernier donne une répartition de l’endommagement sur la plaque

106 6. Quelques perspectives
Fig. 6.2 – Cartographie du dommage par unité de temps selon la méthode de la
contrainte équivalente de von Mises : (a) sans amortissement (b) avec amortissement
du mode 5 (c) avec amortissement du mode 1 (d) avec amortissement des deux modes
indiquée à la Fig. 6.2.c.
Nous passons maintenant à l’amortissement des deux modes simultanément. Comme
l’a montré Loix [2], il est préférable de procéder à une fermeture séquentielle des
boucles de contrôle en commençant par le PPF dont la fréquence est la plus élevée,
comme l’illustre la Fig. 6.3. Nous évaluons donc d’abord le lieu des pôles et des zéros
de la structure soumise à la paire de PPF agissant sur le cinquième mode, déterminons
le gain g5, puis nous évaluons le lieu des pôles et des zéros de la structure partiellement
contrôlée et soumise à l’action d’une seconde paire de PPF ciblant le premier mode.
Nous déterminons le gain g1 et les nouveaux amortissements modaux, indiqués dans
le tableau 6.1.
L’analyse spectrale suivie de l’évaluation de l’endommagement permettent de produire
la cartographie représentée à la Fig. 6.2.d. Comme le montrent ces résultats,
le contrôle actif est un moyen de réduire considérablement l’endommagement par
fatigue des structures flexibles soumises à des vibrations aléatoires. L’effet de l’amortissement
actif des deux modes de vibration excités sur les PSD des contraintes dans
un élément particulier est illustré à la Fig. 6.4. Comme nous pouvons le remarquer,

6 Optimisation contre fatigue aléatoire 107
l’amortissement des deux modes permet de diminuer considéralement l’amplitude des
contraintes normales et de cisaillement.
Fig. 6.3 – Fermeture séquentielle des deux boucles
Le tableau 6.2 met en évidence que la durée de vie de la structure est multipliée
respectivement par 3 ou par 4, au moyen de l’amortissement du cinquième ou du
premier mode. Un amortissement actif des deux modes excités permet de multiplier
la durée de vie par 160 !
sans contrôle PPF5 PPF1 PPF5+PPF1
durée de vie 10 h 30 h 43 h 1600 h
Tab. 6.2 – Résultat des simulations donnant les augmentations de durée de vie en
fonction de l’amortissement actif
6.3 Optimisation contre fatigue aléatoire
La rapidité des méthodes spectrales, pour une analyse en fatigue multiaxiale aléatoire,
permet également d’appliquer différents types d’analyses itératives telles que les
études paramétriques, l’optimisation, ou encore des plans d’expériences à un modèle
structural donné. Le modèle éléments finis est alors paramétré et selon la nature de
l’analyse choisie, les paramètres sont modifiés d’une itération à l’autre et les résultats
de l’analyse sont extraits à chaque boucle. Ce type de processus est illustré par le
schéma de la Fig. 6.5. Pour réaliser ce type d’étude, nous avons utilisé le logiciel
BOSS QUATTRO déjà interfacé avec la plupart des modules du code éléments finis
SAMCEF.
Dans ce paragraphe, nous réalisons une étude paramétrique suivie d’une optimisation
de la plaque simplement appuyée présentée précédemment. Celle-ci est excitée ponctuellement,
comme le montre la Fig. 6.1, en appliquant la PSD indiquée sur cette
même figure tronquée ici à 753 rad/s (120 Hz) afin d’obtenir uniquement une réponse
du premier mode de vibration. Les paramètres du modèle sont des épaisseurs, er et
ep, affectées à deux domaines distincts de la plaque, comme le montre la Fig. 6.6.
L’acier qui constitue la plaque présente des limites d’endurances en traction alternée

108 6. Quelques perspectives
Fig. 6.4 – PSD des composantes du tenseur des contraintes dans un élément particulier
sans amortissement puis avec amortissement
Fig. 6.5 – Etude paramétrique ou optimisation : schéma de principe
et torsion alternée respectives, f−1 = 252 MPa et τ−1 = 182 MPa, se produisant après
N = 2 × 10 6 cycles.
Nous choisissons alors d’étudier le domaine de conception allant pour les deux
épaisseurs de 1.1 mm à 2.2 mm avec un incrément de = 0.1 mm. Les valeurs locales
du critère de Crossland ont été calculées en appliquant la formulation fréquentielle
du critère proposée au chapitre 4 pour une durée d’observation T d’une heure. Nous
étudions alors la masse de la structure ainsi que la valeur maximale atteinte par le
critère de Crossland sur toute la structure en fonction des épaisseurs er et ep. La Fig.
6.7 montre les résultats de l’étude paramétrique, mettant en évidence un optimum au

6 Optimisation contre fatigue aléatoire 109
Fig. 6.6 – Définition des deux paramètres du modèle
point A, point pour lequel le maximum du critère se situe juste à la limite d’endurance
du matériau, gCR = 1, pour une masse minimale de la plaque. La courbe d’iso-valeur
gCR = 1 est indiquée sur la figure, ainsi que deux droites d’iso-masses. Les points B et
C indiqués sur la même figure et situés sur la courbe d’iso-valeur gCR = 1 représentent
respectivement le point où la plaque est d’épaisseur uniforme et le point pour lequel
la masse de la plaque est la plus grande. Pour les trois points A, B et C, la plaque
ne présente, en théorie, pas d’amorce de fissure avant N = 2 × 10 6 répétitions d’un
chargement périodique aléatoire d’une durée d’une heure.
ep (mm) er (mm) f1 (Hz) m (kg)
A 1.7 1.9 111 0.72
B 2.2 1.4 115 0.82
C 1.8 1.8 113 0.76
Tab. 6.3 – Résultats pour les points A, B et C indiqués à la Fig. 6.7
Le tableau 6.3 montre les valeurs de la masse et de la fréquence du premier mode à
ces trois points particuliers du domaine de conception. Les cartographies des valeurs
locales du critère de Crossland correspondantes sont représentées à la Fig. 6.8.
Les algorithmes classiques d’optimisation implémentés dans BOSS QUATTRO, voir
Remouchamps & Radovcic [5], permettent de trouver cet optimum du domaine de
conception relativement facilement. La Fig. 6.9 montre la convergence de l’algorithme
d’optimisation appelé ”globally convergent method”, proposé par Svanberg [6], lorsque
ep et er sont au départ fixés respectivement à 1.1 mm et 2.2 mm. Pour cela, nous
définissons une fonction objective des deux paramètres ep et er, à savoir dans notre
cas la masse de la plaque, fonction que nous souhaitons minimiser. Simultanément,
il est possible de fixer des contraintes, c’est-à-dire des limites qui ne doivent pas être
excédées par l’une des réponses. La contrainte pour ce problème consiste à imposer
un maximum sur tous les éléments au critère, telle que gCR(sij(t), T ) ≤ 1, pour
T = 3600 secondes. Le but est donc de minimiser la masse toute se plaçant à la limite

110 6. Quelques perspectives
d’endurance du matériau dans la zone critique de la structure pour une excitation
aléatoire donnée. Le domaine de conception est défini par les limites imposées aux
deux paramètres, les deux épaisseurs, qui peuvent varier ici de 1.1 mm à 2.2 mm.
Fig. 6.7 – Etude paramétrique de la structure
Fig. 6.8 – Cartographies relatives aux points A, B et C indiqués à la Fig. 6.7

6 Conclusion 111
Nous observons à la Fig. 6.9 que l’algorithme converge, après 30 à 40 itérations, vers
le point A du domaine de conception indiqué à la Fig. 6.7.
Fig. 6.9 – Evolution et convergence : (a) de la masse de la plaque, (b) du maximum
sur tous les éléments de la valeur locale du critère de Crossland, (c) des épaisseurs ep
et er
6.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré deux applications possibles des méthodes spectrales
en fatigue multiaxiale aléatoire. Dans le premier cas, nous avons appliqué les
méthodes spectrales de prédiction de durée de vie pour évaluer rapidement l’effet d’un
contrôle actif sur la durabilité de la structure. La rapidité des méthodes spectrales
nous a permis de concevoir virtuellement un contrôleur. Dans la deuxième partie,
nous avons appliqué la formulation fréquentielle d’un critère d’endurance en fatigue

112 6. Quelques perspectives
multiaxiale aléatoire à un modèle structural paramétré. La rapidité de la formulation
fréquentielle a rendu possible la réalisation d’une étude paramétrique du modèle et
son optimisation. Des études équivalentes auraient été très difficiles à réaliser dans le
domaine temporel, à partir de réalisations artificielles du tenseur des contraintes dans
chaque élément fini du modèle de la structure.

BIBLIOGRAPHIE 113
Bibliographie
[1] Bogue A., Mulcahey B. & Spangler R., 1998. ‘Piezoceramic applications for product
vibration control’. Sound and Vibration, pp. 24–30.
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Université Libre de Bruxelles.
[3] Piéfort V. & Preumont A., 2000. ‘Modeling of smart piezoelectric shell structures
with finite elements’. In ‘ISMA 25’, Leuven, Belgium.
[4] Preumont A., 1997. Vibration control of active structures : an introduction. Kluwer
Academics Publishers.
[5] Remouchamps A. & Radovcic Y., 1999. Theoretical aspects about optimisation
methods and algorithms. Rapport Samtech s.a.
[6] Svanberg K., 1987. ‘Method of moving asymptotes - a new method for structural
optimization’. Int. J. Numer. Methods Eng., 24 :359–373.

114 6. Quelques perspectives

Chapitre 7
Conclusions
Le premier chapitre nous a permis de faire le point sur les méthodes de prédiction de
durée de vie applicables à des pièces soumises à un chargement uniaxial aléatoire. Nous
avons d’abord présenté la méthode temporelle actuellement la plus généralement acceptée.
Elle est basée sur une décomposition du signal complexe en cycles élémentaires
de contrainte dont l’amplitude et la moyenne sont connues. Le dommage produit par
chacun des cycles extraits est ensuite calculé à partir de la courbe de Wöhler et du
diagramme de Haigh du matériau. La loi de cumul linéaire du dommage proposée
par Palmgren-Miner est ensuite appliquée afin de prédire la durée de vie de la pièce
soumise à la séquence de chargement considérée. Cette loi de cumul est, d’après la
littérature, valable dans le cas des chargements aléatoires stationnaires. La deuxième
partie du chapitre présente les méthodes spectrales développées pendant ces dernières
décennies. Des simulations de Monte-Carlo d’échantillons temporels de la contrainte
ont permis de comparer leurs performances respectives par rapport au comptage rainflow
et cumul linéaire effectués dans le domaine temporel, à partir de différentes formes
de spectres de diverses largeurs de bande. La conclusion de l’étude est que la méthode
du ”Single Moment” s’avère être la méthode spectrale la plus rapide, la plus simple
à implémenter dans un code éléments finis tout en se situant parmi les méthodes
spectrales qui approximent le mieux les résultats des simulations rainflow.
La même démarche a ensuite été réalisée dans le cas des chargements induisant des
états de contraintes multiaxiaux aléatoires. Nous avons décrit une méthode temporelle
basée sur le concept de plan critique et permettant d’estimer la durée de vie d’une
structure à partir des historiques locaux du tenseur des contraintes. La méthode
spectrale appelée contrainte équivalente de von Mises et développée au laboratoire en
1994 a ensuite été décrite. Elle est basée sur la réduction du problème multiaxial à un
problème uniaxial, en calculant un processus scalaire aléatoire qui est obtenu en combinant,
pour chaque fréquence, les PSD des composantes du tenseur des contraintes
selon le critère quadratique de von Mises. Cette méthode n’avait jusqu’alors jamais
été comparée à d’autres méthodes temporelles de référence. Nous avons ensuite proposé
pour la première fois une implémentation fréquentielle de la méthode dite du

116 7. Conclusions
rainflow multiaxial, développée initialement dans le domaine temporel. A l’aide du
modèle éléments finis d’une structure simple, soumise à des accélérations aléatoires
de ses supports, nous avons comparé les trois méthodes. Les cartographies du dommage
obtenues permettent de conclure que les méthodes fréquentielles fournissent de
très bons résultats qualitatifs et nécessitent des temps de calcul considérablement
réduits par rapport aux temps de calcul qu’exige la méthode temporelle. Nous rappelons
que pour une même structure, la cartographie du dommage est établie en 16
secondes en appliquant la méthode spectrale de la contrainte de von Mises, contre 90
secondes pour l’implémentation fréquentielle du rainflow multiaxial et une semaine
(604800 secondes) pour la méthode temporelle appliquée à 10 réalisations artificielles
du tenseur des contraintes dans chaque élément. Ces nouvelles méthodes spectrales
permettent de localiser les zones les plus endommagées de la structure ou encore
de comparer différentes conceptions d’un même composant. Nous préconisons alors
une approche de dimensionnement en deux étapes, la première consistant en une localisation
des quelques éléments les plus endommagés de la structure et la seconde
en l’application d’une méthode temporelle, menant à des prédictions plus précises,
à partir de simulations de réalisations du tenseur des contraintes dans ces quelques
zones.
Nous avons ensuite proposé des formulations fréquentielles de critères d’endurance
multiaxiaux. Nous supposons que les critères proposés dans la littérature et développés
pour des chargements multiaxiaux périodiques simples peuvent être appliqués à des
chargements complexes. Nous avons présenté pour la première fois, à notre connaissance,
une implémentation fréquentielle du critère plan critique de Matake et du
critère d’approche globale proposé par Crossland. Pour cela nous avons développé
des procédures permettant d’approximer les variables les plus importantes et les
plus largement utilisées en fatigue multiaxiale, à savoir une procédure spectrale de
détermination de l’amplitude de la contrainte de cisaillement et de l’amplitude de
la contrainte normale agissant sur le plan critique. D’autre part, nous avons mis au
point des méthodes fréquentielles afin d’approximer des variables globales telles que
les amplitudes des invariants du tenseur des contraintes et de son déviateur. Ces
propositions démontrent que de nombreuses approches basées sur des théories de la
science des matériaux, dans le domaine temporel, sont transposables dans le domaine
fréquentiel. Ce chapitre n’est donc par conséquent aucunement exhaustif, car l’approche
que nous adoptons peut être étendue à d’autres critères voire d’autres modèles
de prédiction de durée de vie. Les formulations spectrales des deux critères se sont
avérées être d’excellents outils d’approximation des critères d’endurance temporels
initiaux, offrant une rapidité de calcul de plusieurs ordres de grandeur supérieure à
celle offerte dans le domaine temporel. Ces nouveaux outils de conception peuvent
maintenant permettre de vérifier rapidement l’intégrité d’une structure soumise à un
environnement aléatoire, cette intégrité est assurée si les contraintes induites par les
vibrations aléatoires restent dans la zone de non fissuration de l’espace des contraintes
que définissent les différents critères pendant un temps d’observation suffisamment
long. Enfin, nous avons également mentionné que les capacités prédictives des critères
d’endurance multiaxiaux dépendent notamment de la variablité des directions des

117
contraintes principales. Nous avons par conséquent suggéré de baser un premier choix
du type de critère à appliquer sur cette variabilité et avons trouvé un outil fréquentiel
rapide de caractérisation de celle-ci.
Afin de montrer l’applicabilité des nos méthodes à des modèles éléments finis de
grande taille, nous avons réalisé l’analyse en fatigue de la tuyère divergente du moteur
Vulcain II d’Ariane V, soumise à un chargement de buffeting. Les méthodes spectrales
ont été programmées dans une ”toolbox” MATLAB interfacée au code éléments finis
SAMCEF. L’étude de cette tuyère a démontré la rapidité et l’efficacité des méthodes
spectrales ainsi qu’une possible utilisation industrielle de la ”toolbox”.
Nous avons terminé notre étude en abordant quelques possibilités d’utilisation de ces
méthodes rapides de prédiction en conception. Nous avons ainsi simulé l’effet d’un
amortissement actif des vibrations aléatoires à l’aide d’actionneurs et de capteurs
piézoélectriques reliés à une électronique de contrôle sur la durée de vie d’une structure.
Enfin, nous avons illustré la possibilité de coupler les méthodes spectrales à des
algorithmes d’optimisation structurale en vue de réduire la masse des structures soumises
à des chargements multiaxiaux aléatoires en assurant une durée de vie requise.

118 7. Conclusions

Annexe A
Simulation de processus
vectoriels gaussiens
Dans cette annexe, nous rappelons d’abord l’algorithme couramment utilisé pour la
génération de réalisations d’un processus gaussien stationnaire de variance et de forme
spectrale imposée. De tels échantillons peuvent être utilisés, comme nous l’avons vu
par exemple dans le chapitre 2, pour étudier la fatigue uniaxiale aléatoire, on parle
alors de simulations de Monte-Carlo. Ensuite nous présentons l’extension de cet algorithme
FFT (Fast Fourier Transform), utilisé pour générer des processus scalaires, à
la génération artificielle de réalisations de processus vectoriels aléatoires stationnaires
de matrice de PSD imposée.
A.1 Echantillons d’un processus gaussien stationnaire
Les paramètres importants de cette procédure sont :
– la durée de la réalisation T , qui contrôle la fréquence d’échantillonnage de la DFT
(Discrete Fourier Transform) : f0 = 1/T ,
– le nombre N de pas de temps choisi pour l’échantillon, qui contrôle la période
d’échantillonnage donnée par dt = T/N.
Le but de la procédure suivante est alors de générer une séquence de coefficients
de Fourier Cx(k) dont les amplitudes et les phases sont choisies de sorte que leur
Tranformée de Fourier Discrète Inverse (IDFT) produise la séquence temporelle x(i)
souhaitée. Nous rappelons que x(i) représente les valeurs échantillonnées d’un signal
de période T et de fréquence de coupure égale à la moitié de la fréquence
d’échantillonnage : fc = N/2T . De plus, si la séquence x(i) est réelle et si N est
un nombre pair, les coefficients de Fourier doivent satisfaire l’équation
Cx(N/2 + i) = C ∗ x(N/2 − i) i = 0, ..., N/2 (A.1)

120 A. Simulation de processus vectoriels gaussiens
où C ∗ x dénote le complexe conjugué de Cx. Ceci implique que Cx(N/2) et Cx(0) soient
réels.
L’amplitude des coefficients de Fourier doit également rendre compte de la répartition
fréquentielle de la puissance du signal, or pour un processus ergodique, nous avons
l’égalité :
T
1
x
T 0
2 ∞
(t)dt ≈ Φxx(ω)dω (A.2)
−∞
Nous pouvons ensuite discrétiser cette dernière équation avec un incrément temporel
dt = 1/N et un incrément fréquentiel dω = ω0 = 2π/T , ce qui donne
N−1
1
x
N
2 N/2
(i) ≈ 2 Φxx(kω0)ω0
i=0
k=1
(A.3)
En appliquant le théorème de Parseval qui stipule que le carré des coefficients de
Fourier peut être considéré comme la décomposition fréquentielle de l’écart type σx
du signal x(i), ce qui se traduit par la relation suivante :
σx = 1
N−1
N
i=0
x 2 (i) =
N−1
k=0
|Cx(k)| 2
(A.4)
et en combinant cette relation avec l’éq. (A.1), nous pouvons montrer que la somme
(A.3) peut être transformée pour donner :
N/2
2 |Cx(k)| 2 N/2
≈ 2 Φxx(kω0)ω0
k=1
k=1
(A.5)
Par conséquent, les coefficients de la DFT sont choisis de façon à représenter le contenu
fréquentiel imposé, en applicant la relation :
|Cx(k)| = [Φxx(kω0)ω0] 1/2 k = 1, ..., N/2 (A.6)
Les modules des coefficients de Fourier sont donc déterministes parce que la PSD est
déterministe. Pour générer une séquence aléatoire, nous choisissons alors des phases
φk telles que les valeurs de celles-ci pour différents indices k soient indépendantes et
uniformément distribuées dans l’intervalle [0, 2π[, la DFT est alors exprimée par
Cx(k) = |Cx(k)|e iφk k = 1, ..., N/2 (A.7)

A Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire 121
Le caractère indépendant des phases garantit leur distribution gaussienne par le
théorème de la limite centrale. Nous nous sommes jusque là préoccupé de la première
moitié de la séquence et déterminons alors la seconde moitié en utilisant la symétrie
(A.1). La réalisation temporelle du processus scalaire gaussien stationnaire est alors :
x(t) = 1
N−1
Cx(k)e
N
i 2πtk/N t = 1, ..., N − 1 (A.8)
k=1
L’échantillon temporel est bien réel et a la PSD désirée. Pour générer un échantillon
de moyenne nulle, nous choisissons enfin
Cx(0) = 0 (A.9)
Tout autre choix pour la variable aléatoire constituant les phases φk conduira à
une autre réalisation temporelle du processus, statistiquement indépendante de la
première et de même contenu fréquentiel. De tels générateurs de nombres aléatoires
présentant une distribution uniforme sur un intervale donné en utilisant la méthode
de Monte-Carlo sont très répendus. Nous passons maintenant à la généralisation de
cette procédure à la génération de processus gaussiens multidimensionnels.
A.2 Echantillons d’un processus vectoriel gaussien
stationnaire
Prenons pour exemple le processus vectoriel gaussien s(t) = (sx(t), sy(t), sxy(t)) de
matrice de PSD imposée
⎛
Φs(ω) = ⎝
Φsxsx
Φsysx
Φsxysx
⎞
(ω) Φsxsy (ω) Φsxsxy (ω)
(ω) Φsysy (ω) Φsysxy (ω) ⎠ (A.10)
(ω) Φsxysy (ω) Φsxysxy (ω)
Pour chaque fréquence ω, la matrice hermitienne Φs(ω) peut être diagonalisée, nous
obtenons alors
Φs(ω) = U(ω)Λ(ω)U H (ω) (A.11)
où l’exposant H désigne la matrice transposée conjuguée, et où Λ(ω) contient les
valeurs propres de Φs(ω) et U(ω) contient les vecteurs propres correspondants. Λ(ω)
est diagonale et réelle et la matrice U(ω) est unitaire (U H U = I).
Les composants diagonaux de Λ(ω) sont alors des processus aléatoires indépendants.
La matrice de rotation U(ω) définit la base dans laquelle l’indépendance est obtenue
pour la fréquence ω considérée. La matrice diagonale peut alors être transformée en
un processus vectoriel dont les composantes sont décorrélées. En appelant Z(ω, T ) la
transformée de Fourier de ce processus vectoriel de durée T , la relation

122 A. Simulation de processus vectoriels gaussiens
Λ(ω) = lim
T →∞
1
2πT E [Z(ω, T ), ZH (ω, T )]. (A.12)
est satisfaite. En combinant alors cette dernière équation avec l’éq. (A.11), nous obtenons
:
Φs(ω) = lim
T →∞
1
2πT E [U(ω)Z(ω, T ), ZH (ω, T )U H (ω)] (A.13)
Cette relation indique que si Z(ω, T ) est construite pour être la transformée de Fourier
du processus vectoriel, dont les composantes sont décorrélées, et défini par la matrice
Λ(ω), alors
S(ω, T ) = U(ω)Z(ω, T ) (A.14)
est la transformée de Fourier du processus vectoriel s(t), défini par la matrice de
PSD Φs(ω). La génération d’échantillons temporels à l’aide de la FFT peut donc être
appliquée à chaque composante du vecteur S(ω, T ).
La procédure décrite au paragraphe précédent peut alors être généralisée et appliquée
à la matrice de PSD Φs(ω) comme suit :
1. Détermination de la fréquence d’échantillonnage w0 = 2π/T à partir de la durée
T de la réalisation à simuler ;
2. Diagonalisation de la matrice Φs(ω) pour l’ensemble des fréquences de contrôle
wi, les matrices Λ(ω) et U(ω) sont ainsi obtenues, puis discrétisées pour donner :
Λ(kω0), U(kω0) k = 1, ..., N/2
3. Calcul des coefficients de Fourier correspondant aux différents processus constituant
le vecteur aléatoire (processus rendus statistiquement indépendants suite
à la diagonalisation de la matrice Φs(ω)) :
C i z(k) = [Λ i (kω0)ω0] 1/2 k = 1, ..., N/2 i = 1, 2, 3 (A.15)
où C i z est la composante i du vecteur des coefficients de Fourier et Λ i est la
composante i de la matrice diagonale Λ ;
4. Tirage d’une variable aléatoire φk indépendante pour chaque processus, chacune
des variables étant uniformément distribuée dans l’intervale [0, 2π[.
5. Changement de base afin d’obtenir les corrélations imposées :
Cs(k) = U(kω0)Cz(k) k = 1, ..., N/2 (A.16)

A Echantillons d’un processus vectoriel gaussien stationnaire 123
6. Calcul des valeurs conjugées sur l’autre moitié de la série de coefficients de
Fourier, par analogie à l’éq. (A.1) :
Cs(N/2 + i) = C ∗ s (N/2 − i) i = 0, ..., N/2 (A.17)
7. Application de la transformée de Fourier inverse à la série de coefficients calculés
pour les différents processus composant le vecteur aléatoire,
s(t) = 1
N−1
Cs(k)e
N
i 2πtk/N t = 1, ..., N − 1 (A.18)
k=1
Cette procédure peut être appliquée à des processus vectoriels stationnaires dont
les composantes sont conjointement gaussiennes, quelque soit sa dimension. Les
corrélations entre les différentes composantes sont ainsi respectées.

124 A. Simulation de processus vectoriels gaussiens

Annexe B
Facteur de pic
Nous considérons un processus aléatoire gaussien stationnaire de moyenne nulle x(t)
que nous observons pendant une durée T . Nous souhaitons alors connaitre la distribution
p(η, T ) de l’extremum le plus grand du processus pendant le temps d’observation
T , comme l’illustre la Fig. B.1.
Fig. B.1 – Définition du facteur de pic
Dans la littérature, la fiabilité W (T ) d’une structure est souvent définie comme la
probabilité que le processus ne dépasse pas, en valeur absolue, un certain seuil pendant
la durée d’observation T :
W (T ) = P rob (|x(t)| < b, 0 ≤ t < T ) (B.1)
Le problème de fiabilité est alors abordé en considérant le facteur de pic du processus.
Le facteur de pic est défini comme la partie réduite η de la valeur absolue de l’extre-

126 B. Facteur de pic
mum le plus grand, d’un échantillon temporel de durée T , par rapport à l’écart type
σx du processus :
η = b/σx
(B.2)
Si p(η, T ) représente la densité de probabilité du plus grand des extrema du processus
sur la durée T , la fonction de répartition s’écrit :
P (η, T ) =
η
0
= 0 η < 0
p(x, T )dx η ≥ 0 (B.3)
Cette fonction de répartition représente la probabilité que le plus grand des extrema
durant T , soit inférieur à η, ce qui correspond à la définition de la fiabilité donnée
ci-dessus. Il suit donc que la densité de probabilité du plus grand des extrema peut
s’écrire :
p(η, T ) =
∂W (η, T )
∂η
(B.4)
En considérant que les franchissements à pente positive d’un seuil de niveau b par
le processus stationnaire sont des évènements indépendants, il est par exemple possible
de montrer que le nombre de franchissements des différents niveaux dans [0, T [
constitue un processus de Poisson. Partant de ce modèle, la définition de la fiabilité
devient :
|x(t)|
W (η, T ) = P rob < η, 0 ≤ t < T = exp(−Ne
σx
−η2 /2
) (B.5)
où N est le nombre de demi-cycles donné par la relation :
N = 2ν + 0
T (B.6)
La densité de probabilité p(η, T ) s’obtient donc par dérivation de W (η, T ) par rapport
à η. La Fig. B.2 montre l’allure des densités de probabilité du facteur de pic pour
différents temps d’observation du processus, exprimé en demi-cycles. Nous remarquons
que, plus la durée augmente, plus la densité de probabilité est centrée autour de la
moyenne et plus la densité de probabilité se déplace vers les grandes valeurs des
extrema.
Toutefois, l’étude de telles variables aléatoires se résume souvent pour l’ingénieur
au calcul des premiers moments, à savoir la moyenne et l’écart type. Des formules

Fig. B.2 – Modèle de Poisson : densité de probabilité du facteur de pic pour différentes
durées d’observations T = N/(2ν + 0 )
127
explicites, basées sur le modèle de Poisson, ont donc été développée. Connaissant la
densité de probabilité p(η), la moyenne du facteur de pic est exprimé par l’intégrale :
E[ max
0≤t≤T |x(t)|/σx] = E[η] =
∞
ηp(η)dη
−∞
(B.7)
Une approximation de cette intégrale est donnée par la formule suivante :
E[η] = F (N) ≈ √ 2 ln N + 0.5772/ √ 2 ln N (B.8)
où N est le nombre de demi-cycles donné par la relation (B.6). L’écart type de la
valeur extrême peut également être estimé en appliquant la relation :
π 1
σ[η] ≈ σx √ √
6 2 ln N
(B.9)
Comme nous le remarquons, ce modèle ne tient pas compte de la largeur de bande du
processus, le seul paramètre étant le nombre de demi-cycles. Toutefois, des simulations
de Monte-Carlo montrent que la moyenne du facteur de pic diminue lorsque la largeur
de bande diminue pour une même durée d’observation du processus. Afin de tenir
compte de cette obervation, le modèle précédent peut être légèrement modifié et
remplacé par les formulations suivantes :

128 B. Facteur de pic
E[η] ≈ √ 2 ln κN + 0.5772/ √ 2 ln N (B.10)
où κ < 1 est un paramètre rendant compte de l’influence de la largeur de bande du
système. La formulation de κ approximant le mieux les résultats des simulations de
Monte-Carlo peut être déterminé selon l’équation :
κ = 1.5(1 − e −1.8δ ) δ < 0.5 (B.11)
κ = 0.94 δ > 0.5
où δ est un paramètre défini à partir de moments spectraux :
δ = (1 − m21 )
m0m2
1/2
L’effet de la largeur de bande sur l’écart type du facteur de pic est négligeable.
(B.12)

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