Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

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14 2. Fatigue uniaxiale aléatoire Fig. 2.3 – Définition d’un cycle rainflow Afin d’identifier des cycles à partir de l’historique de la contrainte, la méthode de comptage rainflow, proposée par Matsuishi & Endo [21], est considérée, depuis l’étude de Dowling [9], comme celle menant à des prédictions de durée de vie les plus proches de la réalité. Différents algorithmes ont été présentés dans la littérature, voir Downing & Socie [10], Amzallag et al. [1]. La procédure de comptage utilisée dans le cadre de notre étude est basée sur la méthode dite des quatre points présentée Fig. 2.3. Physiquement, une boucle fermée dans le plan contrainte-déformation s−ɛ est décrite pour chaque cycle rainflow extrait de l’historique de la contrainte. La décomposition du signal se déroule en plusieurs étapes : 1. Le signal est réduit à une séquence de maxima et minima locaux, appelée processus des extrema. 2. Les quatres premiers points successifs s1, s2, s3 et s4 sont examinés, ces quatre points forment trois étendues ∆s1,2,3 qui sont calculées : ∆s1 =| s2 − s1 |, ∆s2 =| s3 − s2 |, ∆s3 =| s4 − s3 | 3. Si ∆s2 ≤ ∆s1 et ∆s2 ≤ ∆s3, le cycle rainflow défini par le couple d’extrema (s2, s3) (zone grise sur la Fig. 2.3), est extrait du signal, son amplitude est définie par sa =| s2 − s3 | /2 et sa valeur moyenne est donnée par sm = (s2 + s3)/2. s2 et s3 sont éliminés du signal, s1 est raccordé à s4. 4. Sinon, le rang des quatres points est incrémenté d’une unité et le test précédant est appliqué.
2 Domaine fréquentiel 15 5. La procédure est répétée jusqu’au dernier point de la séquence des extrema. Suite à ces différentes étapes, certains points du signal n’ont pas été extraits. Ils forment un résidu, qui est un signal dont les étendues vont en croissant puis en décroissant. Le maximum et le minimum de la séquence de départ se trouvent dans ce résidu, formant ainsi la plus grande étendue observée sur la séquence considérée. La contribution au dommage de ce résidu est par conséquent non négligeable, c’est pourquoi il est nécessaire de le décomposer en cycles élémentaires. Pour cela, une nouvelle séquence de chargement est formée à partir du résidu, à la suite duquel est ajouté une nouvelle fois ce même résidu. De nouveaux cycles peuvent alors être extraits en appliquant la procédure précédente. L’ensemble de la décomposition est alors terminé. En pratique, il est possible de discrétiser les niveaux de contrainte en définissant n classes d’amplitudes. Chaque cycle rainflow (j, k) est une transition d’un extremum de niveau j (classe de départ) à un extremum de niveau k (classe d’arrivée), il peut alors être stocké dans une matrice rainflow R = r(j, k) de dimension n × n dite classe de départ - classe d’arrivée. Le calcul du dommage à partir de cette matrice rainflow est alors facilement réalisé à partir de la courbe de Wöhler, du diagramme de Haigh et de la loi de cumul de Palmgren-Miner. 2.2 Domaine fréquentiel Les méthodes de calcul de durée de vie en fatigue ont traditionnellement été développées dans le domaine temporel. Toutefois, lorsqu’une structure est soumise à des vibrations aléatoires, le calcul de sa réponse dynamique à partir d’un modèle éléments finis est souvent réalisé dans le domaine fréquentiel. La contrainte aléatoire est alors donnée sous forme de densité spectrale de puissance (power spectral densities, en anglais, notées PSD dans la suite du texte). 2.2.1 Définition d’une densité spectrale de puissance Dans la suite de ce travail, nous nous limitons aux processus aléatoires gaussiens stationnaires et ergodiques. Un processus est stationnaire si sa structure de probabilité n’est pas affectée par par un changement de l’origine des temps. La propriété d’ergodicité permet de remplacer des moyennes d’ensembles par des moyennes temporelles estimées à partir d’une réalisation unique du processus. Considérons un signal stationnaire x(t), sa transformée de Fourier n’existe pas car ∞ −∞ |x(t)|dt n’est pas une quantité finie. Ce problème peut être contourné en définissant sa transformée de Fourier tronquée :
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