Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

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34 2. Fatigue uniaxiale aléatoire Fig. 2.16 – Méthode de Markov appliquée au processus unimodal pour ɛ = 0.03 : (a) matrice de transition observée, (b) matrice rainflow observée, (c) matrice de transition théorique, (d) matrice rainflow théorique. où T est la durée de la séquence de chargement et E[MT ] le nombre de maxima par unité de temps du processus s(t). Toutefois cette approximation n’est pas très performante, surtout dans le cas des processus large bande (Pitoiset et al. [26]). Une méthode alternative, dite méthode de régression, donnant la matrice de transition exacte à partir d’une PSD a ensuite été développée par Lindgren & Rychlik [19]. L’utilisation de cette méthode de régression et son application à l’analyse rainflow sont illustrés dans Frendhal & Rychlik [14], Rychlik et al. [34]. Notons enfin que la méthode de Markov peut être appliquée dans le sens inverse, c’està-dire pour reconstruire des séquences de chargement à partir d’une matrice rainflow donnée. Un comptage rainflow sur l’une des séquences reconstruites donne alors la matrice rainflow initiale (Rychlik [33], Dressler et al. [11]). Afin de montrer les résultats qui peuvent être obtenus en appliquant la méthode de Markov, nous avons traité le cas d’un processus bande étroite et d’un processus large bande. A titre d’exemple, il s’agit respectivement du processus unimodal avec un amortissement ξ = 0.03 et du processus bimodal avec un amortissement modal ξ = 0.03 et une distance entre les fréquences propres donnée par α = 0.8. Pour ces
2 Calcul des cycles rainflow à partir d’une PSD 35 Fig. 2.17 – Méthode de markov appliquée au processus bimodal pour α = 0.8 et ɛ = 0.03 : (a) matrice de transition observée, (b) matrice rainflow observée, (c) matrice de transition théorique, (d) matrice rainflow théorique. deux processus, les simulations rainflow (décrites au § 2.4.1) ont alors été utilisées afin d’établir d’une part la matrice de transition, appelée matrice de transition observée (à partir des historiques de la contraintes), et d’autre part la matrice rainflow, appelée matrice rainflow observée. Quant à la contrepartie théorique, la méthode de régression citée plus haut est implémentée dans la ”toolbox” MATLAB appelée WAFO. Cette ”toolbox” contient des fonctions MATLAB spécifiques à la résolution des problèmes statistiques liés aux processus aléatoires et plus particulièrement à l’analyse de la houle et la fatigue uniaxiale, voir The WAFO group [37]. Elle a été employée pour le calcul des matrices de transition théoriques. Le calcul de la matrice rainflow à partir de la matrice de transition a été effectué selon l’algorithme de Olagnon [23] (notons qu’une telle routine existe également dans la toolbox WAFO). La Fig. 2.16 montre les quatre matrices. La similitude entre les deux matrices théorique et les deux matrices observées est flagrante. Le dommage théorique est de DT = 2.0 × 10 −10 pour une durée T = 2 s, le
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