Méthodes spectrales pour une analyse en fatigue des structures ...

2 Simulations de Monte-Carlo 27
quinzaine de réalisations du processus considéré. Les caractéristiques du matériau en
fatigue sont β = 7 et C = 4.88×1029 . Le matériau considéré ne présente pas de limite
d’endurance.
Les résultats de ces simulations sont représentés Fig. 2.9. Pour les processus en bande
étroite (valeurs faibles de l’amortissement ξ ou du paramètre α), les simulations
confirment la théorie, à savoir que les trois méthodes donnent des estimations du
dommage équivalentes. Nous observons également que l’approximation de Rayleigh
prédit un dommage constant, quelque soit la largeur de bande du processus et la forme
spectrale, σs et ν + 0
étant constants. Lorsque la largeur de bande augmente, l’approxi-
mation de Rayleigh devient de plus en plus conservative. Ceci est dû au fait que, pour
un processus en bande étroite, chaque maximum est associé à un minimum de même
amplitude, contrairement à un processus large bande qui est constitué d’oscillations
de grandes amplitudes sur lesquelles se superposent des oscillations de faibles amplitudes.
Pour une même longueur d’échantillon temporel, le nombre de cycles rainflow
de grandes amplitudes est donc beaucoup plus faible pour un processus large bande
que pour un processus bande étroite. Par contre, la décroissance du dommage observée
sur les résultats des simulations rainflow, lorsque la largeur de bande augmente, est
très bien approximée par la méthode du single moment. Ceci est donc bien cohérent
avec les observations de Larsen & Lutes [17].
Quant aux temps de calcul, les routines relatives aux simulations rainflow ont été
implémentées en FORTRAN et les méthodes spectrales ont été implémentées dans
MATLAB. Les différentes simulations ont été effectuées sur une station de travail
de type DEC alpha. Pour chaque estimation du dommage, les simulations rainflow
prennent 130 secondes, alors que le calcul dure 1.8 s en utilisant l’approximation de
Rayleigh où l’évaluation de deux moments spectraux est réalisées, et 0.9 s en utilisant
le ”Single Moment” qui nécessite le calcul d’un seul moment spectral.
2.4.2 Distribution des cycles rainflow et du dommage
Le rapport
f(b)db = ∆(b)db
E[D]
(2.34)
représente la fraction du dommage associée aux contraintes dont l’amplitude est comprise
dans l’intervalle [b, b + db[, ∆(b)db est le dommage produit par unité de temps
par les cycles dont les amplitudes sont comprises dans l’intervalle [b, b + db[, comme
le montre l’éq. (2.24), et E[D] est le dommage total produit par unité de temps, en
prenant en compte tous les maxima positifs.
Dans l’hypothèse d’un processus en bande étroite, nous pouvons remplacer p(b) par la
distribution de Rayleigh dans l’éq. (2.24) qui constitue le numérateur de l’éq. (2.34).
Le dénominateur de cette même équation, E[D], est dans ce cas donné par l’approximation
de Rayleigh c’est-à-dire par l’éq. (2.30). En réduisant les amplitudes des
maxima par rapport à la moyenne quadratique du processus, η = b/σs, il est possible
de montrer que, pour une distribution de Rayleigh des maxima, la densité de