Manuscrit - laboratoire PROTEE - Université du Sud - Toulon - Var

l’environnement (Stedmon, Markager et Bro, 2003). Depuis ces travaux, l'application de PARAFAC
est devenu courante (Zepp et al., 2004 ; Stedmon et Markager, 2005 ; Cory et Mcknight, 2005 ;
Holbrook et al., 2006 ; Wang et al., 2007 ; Hunt et al, 2008 ; Luciani et al., 2008, 2009 ; Murphy et
al., 2008 ; Nie et al., 2008 ; Chen et Kenny, 2010 ; Chen et al., 2010 ; Gheorghiu et al., 2010).
III.C.1 Principe
PARAFAC est une méthode d’analyse de données basée sur un modèle trilinéaire. Cet algorithme
utilise un jeu de données, noté X, constitué de l’ensemble des MEEF mesurées. Chaque élément xi,j,k
de X correspond à l’intensité de fluorescence du i-ième échantillon obtenue pour la j-ième longueur
d’onde d’émission et pour la k-ième longueur d’onde d’excitation. Dans ce modèle trilinéaire, le jeu
de données X dépend de trois matrices A, B et C, appelées modes, dont les dimensions respectives
sont I×N, J×N et K×N avec N qui représente le nombre estimé de fluorophores, I le nombre
d'échantillon, J et K respectivement le nombre de longueurs d'émission et d'excitation mesurées. La
colonne a.n de la matrice A contient les facteurs de fluorescence (produit des concentrations et du
rendement quantique) du fluorophore n pour les I échantillons. Les colonnes b.n et c.n représentent
respectivement le spectre d’émission (composé de J valeurs) et le spectre d’excitation (composé de
K valeurs) du fluorophore n. Si le jeu de données X vérifie exactement le modèle trilinéaire, les
éléments xi,j,k ont la forme suivante :
N
∀ i , j,
k xi
j,
k = ∑
n=
a
b
c
, in jn kn
Équation 28
1
Dans le cas d'un jeu de données obtenues à partir de mesures de MEEF, il est extrêmement rare que
X suive exactement le modèle trilinéaire. Cela signifie donc qu'il existe un écart résiduel ei,j,k entre
l’intensité de fluorescence mesurée xˆ i,
j , k et le modèle trilinéaire xi,j,k. On a alors :
∀ i , j,
k x ˆ i,
j,
k ainb
jnc
kn + ei,
j,
k
N
= ∑
n=
1
Équation 29
L’algorithme PARAFAC estime les trois matrices A, B et C à partir du jeu de données X en utilisant
habituellement la méthode ALS « Alternating Least Squares ». L'avantage de PARAFAC par rapport
à toutes les autres méthodes de séparation de contributions est sa capacité à calculer une solution
unique de matrices A, B et C, à une permutation quelconque de leurs colonnes près.
Dans ce qui suit, nous rappelons brièvement le principe de la méthode ALS. Dans un premier temps,
on initialise les matrices A, B et C avec des coefficients aléatoires. Ensuite, on estime
successivement ces trois matrices en utilisant les relations suivantes :
( B, Ĉ)
ˆ
( Ĉ,
Â)
( B) ˆ Â,
 = f A
Équation 30
B f ˆ = Équation 31
B
Ĉ = fC
Équation 32
36