IFCPAR AR (ENGLISH) for CD - cefipra

Indo-French Centre for the Promotion of Advanced Research
IFCPAR
Mathematique pure et appliquées
Projet 4101-1
APPROXIMATION NUMÉRIQUE D'OPÉRATEURS
INTÉGRAUX A NOYAU NON LISSE
Professor Mario Ahues
Laboratoire de Math´ematiques de
l’Université de Saint-Etienne
(LaMUSE EA 3989)
Université de Lyon
Saint Etienne
Prof. Rekha P. Kulkarni
Department of Mathematics,
Indian Institute of Technology
Bombay
Mumbai
Durée: Trois ans (septembre, 2009 à août, 2012)
L'objectif central de ce projet est l'analyse numérique
d'équations de Fredholm de second espèce et du problème de
valeurs propres associé dans le cas monodimensionnel
(fonctions d'une seule variable) ou multidimensionnel
(fonctions de plusieurs variables). Les collaborateurs entendent
étendre les résultats actuellement disponibles pour des
opérateurs intégraux à noyau lisse aux cas non réguliers
suivants: (i) des noyaux continus mais non différentiables à
travers la diagonale de leur domaine, (ii) des noyaux
faiblement singuliers possédant des singularités algébriques
ou logarithmiques. L'idée cl´e pour traiter les opérateurs dont
le noyau possède certaines dérivées partielles discontinues est
de choisir avec pertinence les sous-intervalles de la formule de
quadrature numérique de sorte que l'ordre de convergence de
la méthode sous-jacente soit préservé malgré le fait que le
noyau ne soit pas différentiable en traversant la diagonale de
son domaine. Pour des noyaux faiblement singuliers, on
envisage de mener une étude comparative entre les techniques
de soustraction de la singularité et celles qui sont fondées sur
des procédures dites d'intégration produit. Aussi, une méthode
du type double grille utilisée avec une nouvelle approximation
de l'opérateur, inventée par l'un des chercheurs du projet, sera
proposée. Des schémas de raffinement iteratif seront
considérés pour le problème de valeurs et vecteurs propres.
Pour le cas multivariable, on souhaite étudier des procédures
de collocation et d'autres méthodes de projection aussi bien
que des techniques dites d'approximation globale. Les
collaborateurs entendent développer des logiciels stables et
performants pour tous ces algorithmes.
Réalisations
i) ´Etude de convergence et expansion asymptotique de
l'erreur dans le cas d'un noyau régulier (lisse) ;
ii) ´Etude des modifications appropriées dans la formule de
quadrature pour prendre en compte le caractère non
différentiable du noyau le long de la diagonale du domaine
de définition. (Cas des noyaux de Green) ;
iii) Recherche bibliographique sur les équations intégrales
singulières ;
iv) Préparation des programmes de calcul sur machine ;
v) Conclusion établissant que la linéarisation doit précéder la
discrétisation pour optimiser la qualité de la solution
numérique dans le cas non linéaire.
Articles de recherche publiés: Aucun
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