HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 9
1. Introduction
Mes résultats sont décrits précisément dans les paragraphes qui suivent. Dans cette
introduction, quitte à sacrifier un peu à la rigueur mathématique, j’expose les grandes
lignes des problèmes étudiés.
1.1. Évolution de fronts et équations de Hamilton-Jacobi. Les sujets centraux de
cette thèse sont les évolutions de fronts (ou d’hypersurfaces) avec une vitesse normale
prescrite et les équations de Hamilton-Jacobi. Un lien entre ces deux notions apparaît
naturellement quand on utilise l’approche par lignes de niveaux pour étudier l’evolution
d’un ouvert Ω t ⊂ R N dont le bord Γ t (le front) évolue avec une vitesse normale donnée.
L’approche par lignes de niveaux est un outil central dans mon travail et est présentée
en détail dans le § 2 (on trouvera aussi les références principales sur le sujet). Donnonsen
tout de suite une idée qui permet d’éclairer le lien avec les équations aux dérivées
partielles (EDP dans la suite). Imaginons que tout point x du front Γ t évolue avec une
vitesse V Ωt (x) −→ n Ωt (x), où −→ n Ωt (x) est la normale unitaire sortante de Γ t au point x (Γ t
est “orienté” par son “intérieur” Ω t ). L’idée est alors d’introduire une fonction auxiliaire
u : R N × [0, T] → R dans le but de représenter Γ t via l’ensemble de niveau 0 de celle-ci.
Cela conduit à définir u telle que
Pour tous t ≥ 0, u(·, t) = 0 sur Γ t , u(·, t) > 0 dans Ω t
et u(·, t) < 0 ailleurs.
La fonction u(·, t) ainsi définie est constante sur Γ t ; un simple calcul donne alors les
relations suivantes :
∂u
−→ Du(x, t)
(x, t)
n
∂t
Ωt (x) = − et V Ωt (x) = pour tout x ∈ Γ t
|Du(x, t)|
|Du(x, t)|
(les signes viennent de l’orientation de Γ t qui est traduite par le choix du signe de u dans
Ω t ). On en déduit alors l’EDP
∂u
(1.1)
∂t (x, t) = V {u(·,t)>0}(x)|Du(x, t)| pour tout x ∈ Γ t .
Cette EDP est posée a priori sur Γ t mais, pour les vitesses que l’on considère, on peut
l’étendre sur R N × (0, T] où T est un temps final (qui sera souvent +∞). Ce problème
d’évolution est appelée équation géométrique associée à la vitesse V et est complété par une
donnée initiale en t = 0 qui représente le front initial (Ω 0 est une donnée du problème). Si
l’on est capable de résoudre cette équation, on espère pouvoir retrouver l’objet géométrique
Γ t en posant
Γ t := {u(·, t) = 0} pour tout t ≥ 0.
À ce niveau, il convient de préciser que, même pour les évolutions les plus simples
qu’on puisse imaginer, les ensembles développent des singularités en temps fini ou même
des changements de topologie. Parallèlement, on ne peut espérer trouver des solutions
régulières à l’équation (1.1). On utilisera donc les solutions de viscosité pour résoudre
(1.1) qui sont des solutions faibles qui conviennent bien à ce genre de problèmes fortement
non-linéaires.
Selon les vitesses considérées, l’équation (1.1) prend diverses formes. Rappelons les plus
courantes et celles qui seront plus particulièrement l’objet de notre attention.