HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 23
(courbure anisotropique avec termes du premier ordre); [IS95] permet la prise en compte
de mouvements par courbure gaussienne; dans [4], nous donnons des hypothèses sur h pour
être capable de traiter des évolutions de graphes de solutions d’équations quasilinéaires
paraboliques (voir § 2.2 et aussi [12] où l’hypothèse (structure-h) est discutée). Pour des
cas non-locaux monotones, nous renvoyons à [Sle03, Kim03, DLKS04, Sro].
Néanmoins, précisons qu’une hypothèse fondamentale sur h est la suivante. Si X, Y ∈
S N sont des matrices symétriques (munies de l’ordre usuel) et A, B ⊂ R N sont de ensembles,
on doit avoir, pour tous t ∈ [0, +∞), x, p ∈ R N avec |p| = 1,
X ≤ Y et A ⊂ B =⇒ h(x, t, p, X |p ⊥, A) ≤ h(x, t, p, Y |p ⊥, B),
où “ |p ⊥” désigne la restriction à l’hyperplan orthogonal à p. La monotonie par rapport
à la matrice de courbure permet d’obtenir une équation (2.6) parabolique (ce qui est le
minimum pour espérer obtenir le principe de comparaison du Théorème 2.1) et la monotonie
par rapport au terme ensembliste correspond aux cas de mouvements monotones
décrits dans l’introduction (voir 1.13).
Pour résoudre (2.6), on utilise les solutions de viscosité qui sont bien adaptées à ce type
d’EDP fortement non-linéaires et singulières. Concernant le Théorème 2.2, on remarque
qu’on peut prendre un triplet (Ω 0 , ˜Ω 0 , Γ 0 ) avec très peu de régularité. Il suffit en fait
de choisir deux ouverts Ω 0 , ˜Ω 0 et un fermé Γ 0 tels que Ω 0 ∪ Γ 0 ∪ ˜Ω 0 = R N . Il est en
effet toujours possible de trouver une fonction u 0 ∈ BUC(R N ), et même lipschitzienne,
satisfaisant (2.8) (il suffit de prendre une troncature de la distance signée à Γ 0 ). On a
ainsi une évolution généralisée pour tout temps d’ensembles non-réguliers qui coincide
avec l’évolution classique quand tout est lisse.
Cette notion prend donc en compte l’apparition de singularités et les changements topologiques
du front (voir Figure 1 pour l’évolution d’une “haltère” par courbure moyenne
dans R 3 ). Le désavantage d’une telle approche réside principalement dans le fait que Γ 0
Fig. 1
est seulement une ligne de niveau d’une fonction uniformément continue et, de ce fait,
n’a aucune régularité. En particulier, il peut arriver que le front s’épaississe. Les exemples
les plus connus sont ceux de l’évolution par courbure moyenne du “huit” (voir Evans et
Spruck [ES91] et Figure 2) et de deux courbes gaussiennes asymptotes à l’infini (Ilmanen
[Ilm92] et Figure 3). Ces phénomènes sont à mettre sur le compte de problèmes de
non-unicité ou d’instabilité du mouvement.
La preuve du Théorème 2.2 repose sur le caractère géométrique de l’équation (voir
Barles, Soner et Souganidis [BSS93] pour une discussion) qui peut être expliqué par le