HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 15
par (1.18)-(1.19). La définition est remplacée par
{∫
}
(1.24) cap S (Ω) = inf |∇v| 2 : v ∈ H0 1 (Ω), v = 1 sur S ,
Ω\S
si Ω est seulement ouvert et même par une définition un peu plus compliquée (que nous
ne donnerons pas ici) dans le cas d’un ensemble borné général comme ceux avec lesquels
nous travaillons. Ceci explique pourquoi le calcul de l’énergie et, à plus forte raison, la
preuve de sa décroissance, est difficile.
Il a donc été nécessaire d’étudier le lien entre nos solutions et les solutions variationnelles
du problème (1.17) reformulé comme
(1.25)
inf {vol(Ω) + λ cap S (Ω)}.
S⊂⊂Ω⊂⊂R N
Pour cela, nous avons utilisé la notion de mouvements minimisants, introduite par Almgren,
Taylor et Wang [ATW93], qui consiste à approcher les solutions généralisées de
(1.20) par une suite de problèmes variationnels pour lesquels la décroissance de l’énergie
est facile à obtenir.
Mentionnons, pour terminer, que [10] a été écrit dans un cadre plus général qui, outre
(1.17), comprend aussi le problème
(1.26)
inf {cap S (Ω) avec per(Ω) = constante},
S⊂⊂Ω⊂⊂R N
qui, comme ci-dessus peut-être reformulé comme
(1.27)
inf {per(Ω) + λ cap S (Ω)}.
S⊂⊂Ω⊂⊂R N
La dérivée de forme du périmètre fait intervenir la courbure moyenne; le probleme d’évolution
correspondant est alors
−→
(1.28)
V Ωt (x) = ( H Ωt (x) + λ|Dv(x)| 2) −→ n Ωt (x),
où H Ωt (x) = Trace(D −→ n Ωt (x)) est la courbure moyenne de ∂Ω t en x (négative pour les
ensembles convexes). Le problème limite est un problème de Bernoulli extérieur généralisé
avec des termes de courbure. Ce cas rend l’étude bien plus délicate. En particulier, nous
avons dû développer une version géométrique non-locale du Lemme matriciel d’Ishii
[CIL92, Theorem 8.3] qui a été énoncé sous une forme générale pour servir à d’autres
applications.
1.3. Équation de Hamilton-Jacobi, contrôle stochastique et homogénéisation
de systèmes. Les travaux [9, 19, 15] traitent de questions plus classiques en EDP : nous
montrons des résultats d’unicité, d’existence et d’homogénéisation pour des équations de
Hamilton-Jacobi-Bellman.
Dans les deux premiers travaux, nous considérons une équation du type
⎧
⎨
− ∂u
∂t + G(x, t, Du, D2 u) + H(x, t, u, Du, D 2 u) = 0 dans R N × (0, T),
(1.29)
⎩
u(x, T) = ψ(x) dans R N ,