HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 17
où b 1 (t), b 2 (t), σ 1 (t), σ 2 (t) sont des matrices données de tailles adéquates, α s est un contrôle
(F t -progressivement mesurable) à valeurs dans R M et X s est la solution (adaptée) de (1.32)
associée au contrôle α s . Le but du problème linéaire quadratique est de minimiser le coût
quadratique
(1.33)
inf
α s
E
{∫ T
t
}
[〈X s , l 1 (s)X s 〉 + l 2 |α s | 2 ] ds + 〈X T , ψ 1 X T 〉 := V (x, t),
appelé fonction valeur du problème; l 1 (t) et ψ 1 sont des matrices carrées de la taille qu’il
faut et l 2 > 0 est une constante. L’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman associée (au
moins formellement) à ce problème est (1.29) si on pose
A = R M (non borné), ψ(x) = 〈x, ψ 1 x〉, G = 0,
b(x, t, α) = b 1 (t)x+b 2 (t)α, σ(x, t, α) = σ 1 (t)x+σ 2 (t)α, l(x, t, α) = 〈x, l 1 (t)x〉 + l 2 |α| 2 .
Si, de plus,
(1.34)
σ 2 (t) = 0,
alors, un calcul précis des termes de (1.29) donne
(1.35)
− ∂u
∂t − 1 2 Trace [ (σ 1 (t)x)(σ 1 (t)x) T D 2 u ] − 〈b 1 (t)x, Du〉 − 〈x, l 1 (t)x〉
+ 1 |b 2 (t) T Du| 2 = 0,
4l 2
où apparaît un terme quadratique (convexe) par rapport au gradient car
{
}
(1.36) sup − 〈b 2 (t)α, Du〉 − l 2 |α| 2 = 1 |b 2 (t) T Du| 2 .
α∈R 4l k 2
Le cas (1.34), ou plus généralement lorsque la matrice de diffusion σ dans H est bornée
par rapport au contrôle, est le cas que nous arrivons à traiter dans [9] : nous prouvons la
comparaison entre les sous- et sur-solutions de (1.35) à croissance au plus quadratique.
La méthode de Perron nous donne alors l’existence et l’unicité d’une solution de viscosité
continue pour des temps petits. De plus, nous prouvons rigoureusement que la fonction
valeur V donnée par (1.33) est l’unique solution de viscosité de (1.35), ce qui n’est pas
évident pour des problèmes de contrôle non bornés.
Si maintenant, σ 2 ≠ 0 dans le problème linéaire quadratique précédent, alors la définition
de l’hamiltonien H devient elle-même problématique; pour fixer les idées, supposons que
b 1 = 0, σ 1 = 0, l 1 = 0, b 2 , σ 2 sont des matrices identités et l 2 = 1. Alors
{
}
H(x, t, Du, D 2 u) = sup − 〈α, Du〉 − |α| 2 − |α|2
α∈R 2 ∆u M
est égal à +∞ dès que ∆u ≤ −2. Le lien entre le problème de contrôle stochastique
est l’équation d’Hamilton-Jacobi dans ce cas n’est pas clair. En général, la méthode de
résolution utilise la théorie du contrôle et nécessite des connaissances a priori sur la forme
de la fonction valeur (c’est une fonction quadratique en espace avec la bonne concavité
par exemple), ce que nous ne voulons pas utiliser. Nous renvoyons le lecteur au livre de
Yong et Zhou [YZ99] pour des détails. À notre connaissance, le seul travail qui n’impose
pas d’hypothèses sur la fonction valeur est celui de Krylov [Kry01]; pour cela, il suppose