HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 31
Mais les deux caractéristiques principales du problème de FitzHugh-Nagumo sont, d’une
part, la non-monotonie de l’équation (2.11) car aucune condition de monotonie n’est
imposée sur α et, d’autre part, même si α est très régulier (par exemple C ∞ ), la régularité
de la vitesse en espace est limitée par celle de v qui est au mieux C 1,β pour tout β < 1
(d’après les résultats de régularité pour l’équation de la chaleur non-homogène avec second
membre L ∞ ). Ce dernier point est une difficulté de taille qui nous empêche d’utiliser
les techniques de [13] qui nécessitent une vitesse au moins C 1,1 pour espérer obtenir des
propriétés de boule intérieures pour le front (voir la discussion correspondante dans le
§ 2.3.7).
2.3.3. Définition de solutions faibles. Dans [13] et [17], nous introduisons une nouvelle
notion de solutions pour ce genre d’équations :
Définition 2.9. [13, 17] Une fonction continue u : R N ×[0, T] → R est une solution faible
de (2.11) s’il existe χ ∈ L ∞ (R N × [0, T]; [0, 1]) tel que
(1) u est une solution de viscosité au sens L 1 de
⎧
⎨ ∂u
(x, t) = c[χ](x, t)|Du(x, t)|
∂t dans RN × [0, T],
(2.15)
⎩
u(·, 0) = u 0 dans R N .
(2) Pour presque tout t ∈ [0, T],
1 {u(·,t)>0} ≤ χ(·, t) ≤ 1 {u(·,t)≥0} presque partout dans R N .
De plus, nous dirons que la solution u de (2.11) est classique si, de plus, pour presque
tout t ∈ [0, T],
(2.16)
1 {u(·,t)>0} = 1 {u(·,t)≥0} presque partout dans R N .
La principale difficulté pour définir des solutions de ces équations géométriques est
l’épaississement éventuel du front (cf. § 2.1). Dans ce cas, l’ensemble {u(·, t) = 0} est de
mesure non nulle et t ↦→ c[1 {u(·,t)≥0} ] n’est pas continu de [0, T] dans L 1 (R N ). Lorque le
front ne s’épaissit pas, le choix de χ dans la définition est unique,
χ(·, t) = 1 {u(·,t)>0} = 1 {u(·,t)≥0} .
Cette définition a surtout un intérêt pour des équations qui sont bien posées lorsque la
dépendance non-locale est “gelée”, c’est-à-dire celles pour lesquelles nous savons résoudre
(2.15) au sens des solutions de viscosité d’équations avec dépendance L 1 en temps. En
effet, dans les équations qui nous intéressent (en particulier les dislocations), la convolution
régularise la vitesse en espace mais pas en temps (voir (1.8)) et (x, t) ↦→ c[χ](x, t) est
seulement mesurable en temps. Il existe une extension, due à Ishii [Ish85], de la théorie
des solutions de viscosité dans ce cadre somme toute assez naturel dans les applications
(mentionnons quand même que lorsque les discontinuités sont spatiales, le problème est
autrement plus délicat!). Nous ne donnerons pas de détails ici et renvoyons le lecteur
au travail de Ishii mentionné ci-dessus ainsi qu’à Nunziante [Nun90, Nun92], Bourgoing
[Bou08a, Bou08b] et à [13, Appendix A] où les résultats dont nous avons besoin sont
rappelés.