HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 39
3. Cas du modèle de FitzHugh-Nagumo. Dans ce cas, la différence des vitesses dans (2.27)
s’estime par
|c[1 {u 1 (·,t)≥0}] − c[1 {u 2 (·,t)≥0}](·, t)| ∞ = |(α(v 1 ) − α(v 2 ))(·, t)| ∞ ≤ C|(v 1 − v 2 )(·, t)| ∞ ,
où v i est la solution de (2.14) avec χ = 1 {u i ≥0}. On poursuit alors le calcul (2.27) en
utilisant la forme explicite de v i donnée par le Lemme 2.8 et (2.29) :
∫ τ ∫ t ∫
δ τ ≤ |Du 0 | ∞ e C τ G(x − y, t − s) ( )
(2.30)
1 {−δτ ≤u 1 ≤0} + 1 {−δτ ≤u 2 ≤0} dydsdt.
0 0 R N
À ce niveau, on ne peut pas majorer G (ce qui permettrait de poursuivre la preuve
comme dans le cas des dislocations). De plus, la faible régularité de la vitesse (seulement
lipschitzienne en espace) ne nous permet pas d’espérer des propriétés de propagation de
boule intérieure. Il nous a fallu travailler beaucoup plus pour prouver une propagation
de cône intérieur uniforme et prouver que cette propriété de cône uniforme permettant
d’obtenir des estimations de périmètres suffisantes pour conclure.
Nous commençons par prouver que
(
{−δ τ ≤ u i ≤ 0} ⊂ E i (t) := {u i (·, t) ≥ 0} + 2δ )
τB(0, 1)
\ {u i (·, t) ≥ 0}.
η
La somme ci-dessus est ensembliste (voir les notations au § 5). L’inclusion signifie qu’on
peut contrôler les ensembles de niveau {−δ τ ≤ u i ≤ 0} en “élargissant” un peu (de 2δ τ /η)
l’ensemble de niveau 0. Ceci n’est bien sûr pas vrai en général (si les fonctions sont “trop
plates”) et utilise de façon essentielle la borne inférieure de gradient.
L’étape suivante consiste à montrer que les ensembles {u i (·, t) ≥ 0} satisfont une propriété
de cône intérieur uniforme, c’est-à dire qu’en tout point x du bord ∂{u i (·, t) ≥ 0},
on peut placer un cône Cx
ρ,θ d’ouverture θ et de hauteur ρ dont le sommet est x et
⊂ {u i (·, t) ≥ 0} (voir Figure 6). La preuve de ce résultat s’appuie sur (FN-3)
C ρ,θ
x
θ
ρ
Fig. 6
(vitesse strictement positive) et le principe du maximum de Pontryagine non-lisse (voir
Clarke [Cla83]) qui entraînent la création d’un cône intérieur uniforme (notons que ce
genre de technique est déjà utilisé pour la création de la boule intérieure uniforme dans